成人高校統計學三類數值平均數的教學設計與思考

◇北京市東城區職工大學 王 波

算術平均數、調和平均數、幾何平均數是統計學中，描述數據分布集中趨勢的重要統計量。這三類平均數公式比較復雜，準確理解三類數值平均數的含義以及各自適用范圍，是合理運用統計分析方法解決實際問題的前提。針對成人學生的學情特點，恰當選擇典型、可深入挖掘的案例，在此基礎上設計由淺入深、環環相扣的一系列探索情境，會令學生對三類數值平均數及其公式有自我發現式的收獲，從而水到渠成地實現教學目標，提高了課堂教學效果。

統計學是成人高校財經與理工類專業的必修基礎課，該課程從對數據的收集、整理以及分析的學習過程，培養學生定量分析和認識客觀現象以及事物的能力。統計學中涉及的幾類數值平均數，屬于描述統計部分關于數據集中趨勢測度的主要內容[1]。對各種數值平均數的認知與學習，不但是后續課程的基礎，而且也有助透過事物現象看本質，從而正確分析、解決實際問題。眾所周知，成人高校的學生數學基礎差，而統計學又與數學關系極為密切，學生在抽象的統計學概念、公式的理解與記憶上，都存在不小的困難。現行統計學教材缺少具有針對性的設計，諸多因素令成人學生覺得統計學知識枯燥無味難于理解[2]。鑒于上述原因，成人高校統計學教師在課程的教學設計上要付出更多的努力，要深入研究知識的形成過程，充分調動學生的積極性，設計一些典型案例，讓學生的學習有“跳一跳看得到”的發現與獲得感，注重喚醒學生的求知欲望。對統計學的定義、公式、算法，要讓學生不但知其然，更要知其所以然，從而切實提高統計學的課堂教學效果。

針對教學對象的特殊性，成人高校統計學教師可在充分考慮學生認知基礎上，從精心選擇恰當的案例，并深入挖掘案例這個角度出發，使統計學知識的形成過程水到渠成，易于為學生接受與理解。[3]以下是關于統計學中三類數值平均數的教學設計與思考。

1 算術平均數的教學設計

案例1 計算n=5個樣本觀測值的均值：4，6，1，2，3。

此時，可將這幾個數據以及它們的算術平均數描繪在數軸上，如圖1所示。經引導，學生容易發現，即平均數左右兩側數據到平均數的距離和相等，這可以理解為算術平均數是該數據集的重心。更形象地解釋，如果把數據按大小排列，并把數軸想象成是蹺蹺板，則支點放在均值處時，可以達到平衡。通過這個案例，學生對算術平均數是數據集的中心位置就有了更加直觀的認識。將此特例推廣，容易得到算術平均數的性質：。進一步引導學生觀察圖1，如果讓數值6變大，其余數值不變，容易看出算術平均數會隨之增大，從而得出算術平均數易受極端值干擾的性質。

圖1 算術平均數的意義

案例2 假設某班級共30名學生，學生年齡分布如表1所示，計算該班學生平均年齡。

表1 某班學生年齡分布表

2 調和平均數的教學設計

很多統計學教材在引入調和平均數時或直接給出定義，或僅僅把調和平均數公式認為是算術平均數公式的變形，在此基礎上，根據實際問題資料的情況選擇用算術平均數或調和平均數公式。由于調和平均數公式形式很特殊，直接給出調和平均數的公式會讓學生感到莫名其妙；如果僅僅認為調和平均數公式是算術平均數公式的變形，又會讓學生感到調和平均數定義是多余的。可以采用如下案例引入調和平均數。

案例3 考慮一次去景區游玩并返回的行程，去程速度為80千米/小時；返程時交通比較擁堵，速度為20千米/小時。假定去程和返程走同一條路線，那么整個行程的平均速度是多少？

很多學生剛開始的一個很自然的想法，認為平均速度就是往返速度的平均，即千米/小時，然而很快又能發現好像什么地方不對。于是進一步，可設單程路長為 s 千米，則去程所用時間為小時，返程所用時間為小時。所以，往返行程的平均速度為：千米/小時。經過這樣一個探索發現的過程，學生會認識到不是所有平均都是用算術平均，此時便可較為自然地引入調和平均數及其公式。

在此案例中，如果去程與返程路線不同（即往返路長不同），其他條件不變，則平均速度為去程和返程速度的加權調和平均數，權數為相應路長，權數的作用仍然同于加權算術平均數。于是可以進一步得出加權調和平均數的公式：。

緊接著，可以將學生新舊知識相連接，拓展學生視野。如圖2所示，計算并聯電路的等效電阻。根據閉合電路歐姆定律可得并聯等效電阻為：。

圖2 并聯電路圖

并聯電路總電阻是兩個電阻R1和 R2的調和平均數的一半。并聯后的總電阻，比電路中任何一只電阻都小。將所學新知識與學過的舊知識相互關聯，對舊知識的再認識，可以加強學生對新知識的接受與認同。

3 幾何平均數的教學設計

幾何平均數是比較特殊的一類平均數，有其自身獨特的適用范圍。在教學中如果直接給出幾何平數的計算公式，學生很難一下子接受這種奇怪的平均數。可以從以下案例引入幾何平均數。

案例4 假設我們有一筆3年期理財，本金為10000元，每年的利率是變動的，3年的利率分別為1%、2%、15%，那么平均年利率是多少？按復利計算3年后本金和利息的總和是多少？

開始，學生們的自然的想法是平均年利率是這3年利率的算術平均數，即。此時教師可暫不揭穿事實的真相，引導學生以此平均年利率計算3年后的本利和，計算結果為元。然而用各年的年利率，計算的3年后的本利和應為元。兩次計算的結果不同，說明我們的算法有問題，問題就出在平均年利率的計算上。這時可引導學生，從方程的角度重新思考并計算平均年利率。設平均年利率為 x，則：整理之后可得平均年利率為。毫無疑問這個結果是真正的平均年利率。所以，在計算平均利率這樣的問題中使用算術平均數是不合理的。這時教師就可以順勢引入幾何平均數及其公式，并指出幾何平均數適用于數據本身是比率的形式，而且各比率的乘積等于總的比率。學生此時也能夠比較自然的接受幾何平均數定義及其公式了。

通過以上學習，學生知道了三類數值平均數。此時教師可進一步追問，既然它們都稱為平均數，那么這三類平均數又有什么關系呢？這時可通過圖3，帶領學生進一步從幾何直觀上認識三類平均數以及它們之間的數量關系。在這個半圓圖形里，令，則，再利用數學中兩個三角形相似的有關結論可得，于是得到三類平均數的數量關系是：調和平均≤幾何平均≤算術平均，當且僅當a=b時，三類平均數相等，并且三類平均數的大小都介于a和b之間。教師可引導學生把點P想象成半圓周上動點，在動態中感受三類平均數的變化情況與數量關系。

圖3 三類平均數的數量關系

4 結語

提高課堂教學質量，讓學生深刻領悟學科思想，進而內化為自身能力的提高，是教師教學上的永恒追求。對于基礎性、理論性、應用性均較強的統計學教學，尤其要考慮成人學生的認知基礎與學習規律，教學不能簡單地灌輸和生搬硬套現成公式。只要教師下大力氣沉下去，精心選擇一些貼近生活的典型案例，設計合理的環環相扣的教學環節，統計學的教學是能夠達到“隨風潛入夜，潤物細無聲”的良好課堂教學效果的。