從特征值到特征向量以及相關應用

劉國華， 許 揚

(1.東南大學 數(shù)學學院，南京210000； 2.復旦大學 計算機科學技術學院，上海200433)

1 引 言

設A是復數(shù)域上的Hermite矩陣，DENTON P B.，等在文獻[3]中證明了A的特征值和特征向量之間滿足下面的特征-特征向量等式

其中λ1(A)，…，λn(A)是A的特征值全體，?l∈{1，…，n}，νl是A關于λl(A)的特征向量，Ml是A去掉第l行和第l列得到的n-1階矩陣，λ1(Ml)，…，λn-1(Ml)，是Ml的特征值全體.此外，(ν1，ν2,…，νn)按列分塊做成的n階方陣是酉矩陣，?(i,j)∈{1，…，n}2，νi，j表示νi的第j個分量.因此，特征值-特征向量等式反映了A的特征值，Ml(l∈{1，…，n})的特征值，A的特征向量的各分量這三者之間的關系.同時，作者們指出了類似的等式對域上的可對角化矩陣也成立，更一般地，上述等式可以推廣到交換環(huán)上的可對角化矩陣上.

本文首先證明了交換環(huán)上的可上三角化矩陣上的特征值-特征向量等式，所得結果包含了可對角化矩陣的情形，推廣了文獻[3]的結果.由于域上的任意方陣都可以在基域的代數(shù)閉包中上三角化[4]，因此本文的結論對域上的任意方陣都成立.在本文的第4節(jié)中，給出了特征值-特征向量等式的一個應用，利用交換環(huán)上的可上三角化矩陣上的特征值-特征向量等式，證明了對域上的矩陣A的特征值λ，若?l∈{1，…，n}，λ是Ml的特征值，則λ作為A的特征值其重數(shù)大于等于2，進一步的，當A可對角化時，前述命題的逆命題也是成立的.

2 一些定義、記號和引理

在本節(jié)中，給出文中需要的記號、定義和引理.

給定交換環(huán)R，n∈+，用In表示R上的n階單位矩陣.對R上的n階方陣A，?(i,j)∈{1，…，n}2，用A(i,j)表示A的第i行第j列的元素，并記A*是A的伴隨矩陣.

下面列出伴隨矩陣的若干性質，在[4]中，相應的結論是對數(shù)域上的方陣來敘述的，但相同的證明方法和結論對交換環(huán)也適用.

命題1設R是交換環(huán)，n∈+，A和B是R上的n階方陣，則

(i)A·A*=A*·A=det(A)I(n)；

(iii) 若A是上三角矩陣，則A*也是上三角矩陣，并且?t∈{1，…，n}有

(iv) 若A是對角矩陣，則A*也是對角矩陣；

(v) 若A是R上的n階可逆矩陣，則det(A) 是R中的乘法可逆元，且

利用命題1，可得下面的推論1，它是下文中主要借助的伴隨矩陣的性質.

推論1設R是交換環(huán)，n∈+，U是R上的n階矩陣，P是R上的n階可逆矩陣，則有

證由命題 1，得到

3 交換環(huán)上可上三角化矩陣的特征值-特征向量等式

設R是交換環(huán)，n∈，給定P是R上的n階可逆矩陣，D是R上的n階上三角矩陣，(c(1)，…，c(n))∈Rn，其中

c(i)=D(i,i)， ?i∈{1，…，n}.

(1)

記A=P·D·P-1，?i∈{1，…，n}，B(i)為A去掉第i行及第i列所得的n-1階方陣.

定理1是本文的一個主要結果，它是文獻[2]中特征值-特征向量等式的推廣，也可以看作特征值-特征向量等式內容的補充.

定理1取定l∈{1，…，n}，則有

(2)

(3)

證記U=c(l)·I(n)-D，由A=P·D·P-1可得到

c(l)·I(n)-A=P·(c(l)·I(n)-D)·P-1=P·U·P-1.

在上式的兩邊取伴隨矩陣，利用推論1，得到

(4)

下面來考察U*，注意到D是上三角矩陣，因此U是上三角矩陣，并且

U(l,l)=c(l)-D(l,l)=c(l)-c(l)=0.

由命題1的(iii)可得U*是上三角矩陣，并且?i∈{1，…，n}-{l}，有

(5)

(6)

另一方面，?k∈{1，…，n}，直接計算可得

(7)

下面證明定理中的兩個結論.首先，?k∈{1，…，n}，由(4)和(7)可得

(8)

由U*是上三角矩陣及(5)知

再利用(6)和(8)，并注意到U=c(l)·I(n)-D，由上式移項即得(2)對k成立.其次，由(4)，(5)和(6)可得

再由(7)，即得

結合上面二個等式就證明了(3).

推論2若D是對角矩陣，則?(l，k)∈{1，…，n}2，

即

上述推論是域上可對角化矩陣的特征值-特征向量等式在交換環(huán)上的推廣.當R是域時，由D是對角陣知(c(1)，…，c(n))恰是A的特征值全體，再由A·P=P·D可得對?r∈{1，…，n}，P的第r列是A關于c(r)的一個特征向量.最后，?k∈{1，…，n}，設(μ(k，1)，…，μ(k，n-1))是B(k)在R的適當擴域中的特征值全體，于是?(l，k)∈{1，…，n}2，由推論2 可得

上式反映了A的特征值，B(k) 的特征值，A特征向量的各分量之間的關系.進一步的，若R是復數(shù)域，A復正規(guī)矩陣，并且P是酉矩陣，則上式可寫成

即為文獻[3]中的特征值-特征向量等式.

4 對域上方陣的一個應用

設F是域，n∈，n≥2，給定A是F上的n階矩陣，取定λ是A的特征值，記B(i)為A去掉第i行及第i列得到的n-1階方陣，?i∈{1，…，n}.

首先，利用第3節(jié)的結果來說明，若λ也是B(k)的特征值，則作為A的特征值，λ的重數(shù)一定大于等于2.即下面的推論3 和推論4.

證取定F的一個代數(shù)閉包k，于是存在k上的可逆矩陣P和上三角矩陣D，滿足A=P·D·P-1(文獻[1]).因此矩陣D的對角線元素(d(1)，…，d(n))是A的特征值全體，又因為λ是A的特征值，故存在(不妨取定)l∈{1，…，n}，使得d(l)=λ.對l用定理1的(3)，即得

再由k是域，故存在t∈{1，…，n}-{l}，使得d(t)=λ.結合d(l)=λ，就得到了作為A的特征值，λ的重數(shù)大于等于2.

推論4設?k∈{1，…，n}，λ是B(k)的特征值.則作為A的特征值，λ的重數(shù)大于等于2.

下面的推論5說明，當A可對角化時，推論4的逆命題也成立.

推論5設A在F上可對角化，則下面兩個命題等價：

(i)作為A的特征值，λ的重數(shù)大于等于2；

(ii)?k∈{1，…，n}，λ是B(k)的特征值.

證由推論 4，只需證(i) ? (ii).設有F上的可逆矩陣P和對角矩陣D滿足A=P·D·P-1.由(i)，存在(不妨取定) (t，r)∈{1，…，n}2，使得

t≠r，d(r)=λ，d(t)=λ，

(9)

?k∈{1，…，n}，對(t,k)用推論2，并注意到d(t)=λ，得到

det(λ·I(n-1)-B(k))=0，

即λ是B(k)的特征值.

5 結 論

本文推廣了DENTON P B等人關于特征值特征向量的結果，證明了文獻中的結果可以推廣到域上的可對角化矩陣中的相關等式，更一般地，上述等式可以推廣到交換環(huán)上的可對角化矩陣上.豐富了線性代數(shù)的基礎理論.

致謝作者非常感謝《大學數(shù)學》的審稿專家，他們的建議使作者受益良多！作者從相關的參考文獻中也得到了很多啟發(fā)，在此表示感謝！