多元積分的降維計算法

羅志剛

(湖北工業大學 理學院， 武漢430068)

1 引 言

下文提到的函數及其導數或偏導數都滿足問題所需要的連續性，所說的“多元積分”包括平面區域上的二重積分、空間區域上的三重積分、第二類曲面積分以及這些概念向更高維空間中的推廣.

湊微分法、換元法和分部積分法是計算一元函數積分的重要手段.但是，對于多元函數的積分，這些方法卻難以在重積分號下直接應用，除非事先用Fubini定理將多元積分化成累次積分，然后去計算一元函數的積分.以平面區域D上的二重積分

(1)

為例，如果將二重微分號“dxdy”理解成微分元dx與dy的普通乘積，那么在作變量替換x=x(u，v)，y=y(u，v)后，換元公式

2 解決方案

2.1 普通積分和外積分

解決上述問題的關鍵是將二重微分符號“dxdy”解釋成滿足反交換性的外積(實質上就是對積分區域規定了方向)

dx∧dy=-dy∧dx，

并且去考慮積分

(2)

這種積分的被積式其實是一個外微分形式.外微分形式是可以作形式運算的對象：它可以自由進行變量替換，也能進行湊微分(湊微分實際上是第一類變量替換)和分部積分.因此，討論多元積分的湊微分和分部積分問題的正確出發點不是(1)式而是(2)式.為了相區別，本文將(1)稱為普通積分，(2)稱為外積分(注意，“外積分”不是一個已經被大家采用的標準術語，僅僅在本文中使用).通常的微積分課程中定義的二重積分和三重積分就是普通積分.

盡管如此，普通積分與外積分之間還是有聯系的.如果對積分區域取合適的定向(右手定向)，就可以使得外積分正好與普通積分相等

(3)

計算普通積分時，為了能用上外積分和外微分形式帶給我們的便利，要先作這一步轉換，即將普通積分與一個外積分相關聯起來，然后去計算這個外積分.

2.2 外微分形式及其運算

高維空間中的外微分形式的一般理論可以參考文獻[1-3].為了避免過于抽象和形式化，這里只以二維空間和三維空間的情形為例子來說明其計算規則.

二維空間的外微分形式有三種：

ω0=φ(x，y)，
ω1=P(x，y)dx+Q(x，y)dy，
ω2=f(x，y)dx∧dy.

(4)

它們分別稱為0-形式，1-形式和2-形式.0-形式就是普通函數，1-形式是dx和dy的線性式，2-形式是dx∧dy的線性式.三維空間的外微分形式有四種：

(5)

由于∧運算滿足反交換性，兩個相同的微分元間作外積運算(比如dx∧dx)將得到零，所以二維空間的外微分形式不高于二次，三維空間的外微分形式不高于三次.

同一空間上的兩個外微分形式之間可以作外積，也可以對外微分形式再作微分(外微分).一般地，可以證明(當然，對上述二維空間和三維空間中的外微分形式可以通過直接計算來驗證)：

引理1[1](i)對任意兩個外微分形式的外積求微分的規則：

d(ω1∧ω2)=dω1∧ω2+(-1)pω1∧dω2，

(6)

其中ω1是p-形式；

(ii) (Poincare引理) 對任意外微分形式連續作兩次微分的結果為零：

d2ω=0.

(7)

對外微分形式作變量替換是直截了當的.例如，假定要對(4)中的ω2作第一類換元

ξ=φ1(x，y)，η=φ2(x，y).

根據外微分和外積的計算規則，有

(8)

括號內其實就是Jacobi行列式.所以

(9)

如果將式(8)寫成

(10)

則換元后的結果(9)可以用如下的形式化計算直接得到

這正是一元函數中的“微分形式不變性”向多元函數的推廣.這種推廣也意味著在計算多元積分時，如果將被積分式看作外微分形式，換元法和湊微分法將可以直接在積分號下應用.

2.3 對外微分形式的積分(外積分)

如2.1小節所述，外微分形式還可以作積分.普通微積分課中討論的第二類曲線積分和第二類曲面積分便是不同次數的外微分形式在流形(如曲線和曲面)上積分的具體例子.關于這些積分，有一個十分重要的定理：

引理2(廣義Stokes公式) 在任何流形S及其邊界?S上，對于外微分形式ω，有

(11)

這個定理的一般情形證明較復雜，讀者可以參考專著[3]，但它在二維空間以及三維空間的特例就是大家熟知的Green公式、Stoke公式和Gauss公式.廣義Stokes公式的作用如同Newton-Leibniz公式一樣：它們都將流形上的積分與流形邊界上的積分聯系了起來[2].

2.4 計算多元積分的降維法

算出積分的關鍵在于“降維”，Newton-Leibniz公式如此，化累次積分的方法也如此.廣義Stokes公式(11)左邊的被積式是比右邊高一次的外微分式，因此該公式也實現了“降維”，原則上它也可以作為計算多元積分的基礎.然而，通常情況下，(11)左邊為諸如(2)的形式，很難立刻找出ω使得dω=f(x，y)dx∧dy，這導致利用(11)實現“降維”比較困難.所以，在普通微積分課程中，幾乎總是只從右邊向左邊用(11)式而不是反過來用，畢竟求一個已知外微分形式的外微分很容易.

有了外微分的計算規則以及前面討論過的積分號下湊微分和變量替換的技巧，就可以使用這些規則和技巧一步步去找到符合要求的ω.下面寫出這個計算方案中的關鍵定理.

如果被積式能化成dω1∧dω2，其中ω1，ω2是兩個外微分形式，則有

定理1降維公式

(12)

證由(6)和(7)有

d(ω1∧dω2)=dω1∧dω2+(-1)pω1∧d2ω2=dω1∧dω2，

然后兩邊積分，應用一次廣義Stokes公式(11)即證.

很多時候，被積式可能難以立即湊成dω1∧dω2這種形式，這種情況下可以用分部積分法：

定理2分部積分公式

(13)

證將(6)式兩邊積分，然后應用廣義Stokes公式(11)即得.

上述定理1和定理2給出的公式并不見于其他文獻或書籍，其名字是本文作者所取，是否合適還有待商榷.作為定理2的特例，對積分(2)，有

推論

(14)

證在(13)中取ω1=x，ω2=f(x，y)dy，然后注意到

以及ω1=x是0-形式，即證第一式.第二式

然后使用第一式已證明的結論，即得.類似的結論也能應用到三重積分.

文獻[4-5]也研究過重積分的分部積分問題，得到的結果與這里的推論相當.由于沒有采用外微分方法，他們的結果不容易記住，也難以推廣到更高維的空間中去.

初等微積分課本一般不介紹外微分.即使介紹，也僅止于用來說明怎樣將幾個基本公式統一到廣義的Stokes公式下[2]，很少注意到外微分運算實際上可以用來對被積式作湊微分以及分部積分等各種變換，更沒有注意到廣義Stokes公式(或降維公式)可以為多元積分的計算提供一種不同于化累次積分的新方案.這正是本文所特別要強調的內容.

3 計算示例

這一節舉若干計算實例來具體說明上節中所闡述的方法.

第一個例子計算二維空間中的2-形式的外積分，所選擇的問題的是求普通二重積分，因此第一步總是要將普通積分與適當定向了的平面區域上的外積分相關聯起來，然后去計算相應的外積分.

解為了詳細說明本文的方法，采用多種方法來計算.首先有

其中積分區域取正側(即正z軸的那一側)定向.之后，可以用前一節的方法來處理被積分式.

法1湊微分法. 按照外微分法則，可以得到

其中最后一步使用了降維公式(12)，將積分轉化到邊界?D上.完成邊界上的積分，有

注意，其中的σ和?σ要正確定向.

法3分部積分法. 應用上一節中的推論(14)，得到

右邊第二項

所以

下面的例子是計算三維空間中的2-形式在曲面上的積分.這種類型的積分實質上就是普通微積分課程中所討論過的第二類曲面積分.

解考慮到曲面的定向，有

其中ω=(z2+x)dy∧dz-zdx∧dy，對ω的外積分在曲面S的上側面作.

法1將積分分成兩項，分別湊微分，然后轉化到曲面邊界上積分.第一項積分

上式右邊第一項用降維公式(12)后算得

第二項使用公式(14)，得到

所以

其中D={(x，y)|x2+y2≤4}.故原式=8π.

法2參數法(即換元法).用柱坐標系

x=ρcosθ，y=ρsinθ，z=ρ2/2，

參數所在的區域為σ={(ρ，θ)|0≤θ≤2π，0≤ρ≤2}，所以

從而

故原式=8π.其中考慮到問題的對稱性，事先將明顯為零的項省去了.當然，這個例子還有其他更簡單的方法，此處不討論.

關于怎樣將一般形式的第二類曲面積分轉換到對邊界的積分，文獻[6-7]給出了若干定理.例如，文獻[6]中的定理3中的結論，用本文的方法可以這樣得到

之后將最后一個積分中的被積式當作W(x，y，z)，反過來求積分可以得出P(x，y，z)，從而實現了“降維”，與文獻[6]殊途同歸.但本文的方法更簡潔、更普遍、更易于應用.

最后，計算三維空間中的3-形式在區域V(已定向)上的外積分

時，可以先利用降維方法轉化成區域邊界?V上的第二類曲面積分，將?V分片參數化之后按例2的方法作出其上的積分.我們選取文獻[5]中的例子，用本文的方法來演示一遍.

解首先

這里V的定向是使得?V的定向沿著外法向.

作柱坐標變換得dx∧dy∧dz=d(ρcosθ)∧d(ρsinθ)∧dz=ρdρ∧dθ∧dz，所以

其中，參數區域

σ={(ρ，θ，z)|0≤ρ≤1，0≤θ≤2π，0≤z≤ρ+1}.

又ρdρ∧dθ∧dz=ρdρ∧dθ∧d(z+ρ+1)=d(z+ρ+1)∧ρdρ∧dθ，分部積分后得到

第一項

第二項求出被積式中的外微分，之后作分部積分(或湊微分后直接使用降維公式(12))得

其中的參數區域

δ={(ρ，θ)|0≤ρ≤1，0≤θ≤2π}.

最后，將結果收集起來，有

這個例子綜合使用了變量替換、湊微分、分部積分、降維等方法.值得注意的是，有了外微分的計算方法，這些技巧都可以在積分號下直接完成，無需記住太多的定理和公式.

此方案對于更高維空間中的各種外微分形式的積分仍然成立，在此無需舉更多的例子.

4 結 論

只有考慮外微分形式的積分，多元積分的被積式才能自由地進行換元、湊微分和分部積分.結合廣義Stokes公式，問題可以不斷“降維”，從而得到一種無需化累次積分計算出多元積分的方法，其精神與使用Newton-Leibniz公式計算一元函數的積分相一致.文中列舉了一些例子，說明這些方法都切實可行.

致謝感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.