半正態分布參數的序貫概率比檢驗

胡宏昌， 王 婧

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石435002)

1 引 言

序貫分析法是A.Wald在二戰期間為滿足軍火的質檢工作而提出的，序貫概率比檢驗是序貫分析的重要內容之一，其成果豐富(參見文獻[1-4]).文獻[1]對序貫概率比檢驗作了較系統地介紹，給出了在伯努利分布和正態分布的序貫概率比檢驗，并且利用隨機游動的性質導出序貫概率比檢驗(SPRT)的統計性質；文獻[5-6]分別研究了指數分布和泊松分布中參數的序貫概率比檢驗，給出了相應情形下序貫概率比檢驗平均樣本容量計算公式，并進行了隨機模擬.

正態分布是最重要而又非常常見的分布，由該分布可以產生半正態分布.關于半正態分布的研究成果雖然不能與正態分布相提并論，但還是存在一些(參見文獻[7-10])，其中文獻[9-10]給出了半正態分布的相關結論.然而，似乎沒有人研究半正態分布的序貫概率比檢驗，本文將對此進行初步探討，以便拓寬大學生在學習《概率論》和《數理統計學》的相關知識和視野.

2 半正態分布中參數的序貫概率比檢驗

先給出半正態分布的定義，然后用SPRT法研究半正態分布中參數的檢驗問題.

定義[7]如果隨機變量X的概率密度為

其中參數θ>0，則稱隨機變量X服從參數為θ的半正態分布，簡記為X～HN(θ).

設X1，X2，…取自總體X～HN(θ)的一個樣本，其觀測值為x1，x2，….討論如下簡單的假設檢驗問題：

H1∶θ=θ1?H2∶θ=θ2(其中不妨設0<θ1<θ2).

為此，考慮似然比統計量

(1)

對于給定的兩個常數A，B(0

則當λn≥B時，可得

(2)

當λn≤A時，可得

(3)

于是由(2)，(3)式可得停止法則為

(4)

3 SPRT的一些性質

性質1令Zi=ln(f(Xi，θ2)/f(Xi，θ1))，則存在函數h=h(θ)≠0使得E(exp{hZ1})=1.

由介值性定理容易證明下式成立

由此即可得到E(exp{hZ1})=1.

性質2[1]若存在h=h(θ)≠0使得E(exp{hZ1})=1，則檢驗的操作特性函數的近似公式為

性質3平均樣本容量的近似計算公式如下：

證由于EX2=θ2， EX4=3θ4(參見文獻[7])，所以

(5)

(6)

(7)

這里Eθ1τ*， Eθ2τ*由下面四種情形確定：

(8)

(9)

其中

(10)

(11)

其中

4 模擬算例

下面舉出一例將SPRT法與Neyman-Pearson檢驗法所需平均樣本容量進行比較，說明前者優于后者.

取θ1=1.0，θ2=1.2，在給定的檢驗水平下SPRT法所需要的平均樣本容量的近似值見表1、表2及表3.

表1 Eθ1τ*的近似值

表2 Eθ2τ*的近似值

表3 Eτ*的近似值

為了說明SPRT法的優越性，將其平均樣本容量(見表3)與使用Neyman-Pearson檢驗法時所需要的平均樣本容量n(見下表4)相比較(見表5).為此，先給出n的表達式.

表4 N-P檢驗法下的最優樣本容量

表5 SPRT平均樣本量與N-P檢驗法的最優樣本容量之比

由中心極限定理得

從而經計算可得

其中uα，u1-β為標準正態分布的分位數.

由表5可知，在半正態分布中，SPRT所得平均樣本量相對于N-P檢驗法最優樣本量的占比最少約為36.28%，最多約為46.93%，占比均在35%-50%之間.序貫概率比檢驗中所得的平均樣本容量要比固定樣本容量的最優檢驗所得的樣本量還要少得多，由此可顯現序貫概率比檢驗高效的特點.

5 結 論

本文考慮了半正態分布中參數的序貫概率比檢驗，主要得到了檢驗的停止法則、操作特性函數和平均樣本容量，并用模擬算例說明了序貫概率比檢驗中所得的平均樣本容量要比固定樣本容量的最優檢驗所得的樣本量還要少得多.這些內容將在正態分布和假設檢驗的教學中具有指導作用，拓寬高校大學生的統計學知識和視野.

致謝本文在參考了陳家鼎教授等十篇文獻的基礎上完成，采納了審稿專家的寶貴修改意見.為此，對相關作者及審稿人表示衷心的感謝！