行列式的幾何意義及多面體體積的計算

何朝葵， 鄭蘇娟， 孫中喜

(河海大學(xué) 理學(xué)院，南京211100)

1 引 言

行列式作為線性代數(shù)中一個重要的基本內(nèi)容，為了讓學(xué)生深刻理解行列式的概念有學(xué)者在行列式教學(xué)中嘗試了新的方法[1]，也有學(xué)者從有向體積的幾何直觀視角來探討行列式[2].在一般的線性代數(shù)教材關(guān)于向量的混合積時，都會介紹三階行列式的幾何意義，那么對于任意一個n階行列式，它是否也具有類似的幾何意義呢？本文學(xué)習(xí)有限元方法中的面積坐標(biāo)的概念[3]，引入體積坐標(biāo)，利用多重積分證明了行列式和多面體體積的關(guān)系，從而解釋了行列式的幾何意義.

2 有趣的結(jié)論

結(jié)論1如果P0(x0)和P1(x1)為數(shù)軸上兩點，令

則|D|=|x1-x0|=d(P0P1),即二階行列式D的絕對值為數(shù)軸上點P0(x0)和P1(x1)之間的距離.

結(jié)論2若P0(x0,y0),P1(x1,y1)和P2(x2,y2)為平面上三個點，令

則三階行列式|D|=2SΔP0P1P2,其中SΔP0P1P2為這三點確定的三角形面積.

結(jié)論3若Pi(xi,yi,zi)(i=0,1,2,3)為空間中的四個點，令

則

根據(jù)向量混合積的幾何意義有|D|=V平行六面體=6V(ΩP0P1P2P3),其中V平行六面體為以P0Pi(i=1,2,3)為鄰邊的平行六面體的體積，ΩP0P1P2P3表示由這四點形成的四面體，V(ΩP0P1P2P3)為ΩP0P1P2P3的體積.

從以上三個結(jié)論，猜想

定理設(shè)Pi(xi1,xi2,…,xin) (i=0,1,2,…，n)為n維空間中n+1個點，令

則有|D|=n!V(ΩP0P1…Pn),其中ΩP0P1…Pn為n維空間中由這n+1個點兩兩連接所確定的n+1面體，V(ΩP0P1…Pn)表示這個n+1面體在n維空間中的體積.

證由于

消去L0,得

所以

=……

因而 |D|=n!V(ΩP0P1…Pn).

3 行列式的幾何意義及多面體體積的計算

根據(jù)上面的分析，對于任意一個行列式

令P0(0,0,…,0),Pi(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…，n),由于

則|D|可以理解為n維空間中由這n+1個點Pi(i=0,1,…，n)所構(gòu)成的n+1面體體積V(ΩP0P1…Pn)的n!倍.利用行列式的幾何意義可以求空間中多面體的體積，例如在空間中有如下一個多面體(圖1)，其中各個點的坐標(biāo)分別為

圖1 圖2

通過連接點P2和P4,把多面體分割成4個四面體(圖2)：ΩP1P2P4P5,ΩP1P2P3P4,ΩP6P2P4P5,ΩP6P2P3P4, 由于

因此該多面體體積等于

V=V(ΩP1P2P4P5)+V(ΩP1P2P3P4)+V(ΩP6P2P4P5)+V(ΩP6P2P3P4)

5 結(jié) 論

對行列式的幾何解釋有助于加深對行列式概念的理解.對于空間中的一個多面體，可以利用剖分軟件把多面體剖分成多個四面體單元，從剖分信息中提取每個四面體單元四個結(jié)點的坐標(biāo)，就可通過行列式求得它們的體積，把所有四面體單元體積累加求和就得到多面體的體積，這很容易在軟件上編程實現(xiàn)，如果多面體有邊界面為曲面，則可對邊界面部分剖分加密，從而得其體積的近似值.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家的建議.