d-作用下保測系統的限制敏感性

張瑞豐， 朱曉凡

(合肥工業大學 數學學院，合肥230601)

1 引 言

1948年，Shannon將統計物理中的概念引申到通道通信的過程中時提出了Shannon熵的概念，開創了“信息論”.隨后，1959年，Kolomogorov和Sinai借助Shannon信息論中的思想，引入了測度熵的概念，首次將熵與動力系統結合起來.之后Adler，Konheim和McAndrew于1965年在拓撲動力系統中用開覆蓋定義了連續映射的拓撲熵.1971年，Bowen利用分離集和張成集給出了拓撲熵的等價定義.

1971年，Ruelle[1]首次嚴格的給出了初值敏感依賴的定義，受到人們的廣泛關注.1986年，Devaney把初值敏感依賴作為定義動力系統混沌的重要條件，給出了比Li-Yorke混沌更直觀的定義——Devaney混沌.熵和敏感性都是反映系統復雜程度的重要指標，敏感性和熵之間的關系也一直是專家學者感興趣的研究方向.2005年Cadre和Jacob在文獻[2]給出了兩兩敏感的概念，并說明弱混合蘊含兩兩敏感，同時證明了正熵蘊含兩兩敏感.之后，2012年，Domenico Aiello和Hansheng Diao[3]在其基礎上給出了限制敏感性和限制兩兩敏感的定義，并研究了限制敏感性、限制兩兩敏感性與測度熵之間的關系.

2 準備知識

Λn={g=(g1，g2，…，gd)∈d∶|gi|

λn=#Λn，#Λn代表集合Λn中元素個數.

定義1[6]設(X，B，μ)是一個概率空間，G為作用在空間上的d-作用，若對?g∈Λn和?B∈B，都有

g-1B∈B且μ(g-1B)=μ(B)，

則稱(X，B，μ，d)是一個保測系統.

定義2[6]設(X，B，μ，d)是一個保測系統，如果對任意?g∈Λn滿足g-1B=B的B∈B，必有μ(B)=0或μ(B)=1，那么稱系統(X，B，μ，d)是遍歷的.

定義3[6]設(X，B，μ)是一個概率空間，μ∈M(X)，G為作用在空間上的d-作用A={A1，A2，…，Ak}是一個有限可測剖分，定義剖分A測度熵為

進一步定義G關于剖分A的測度熵為

定義G關于μ的測度熵為

hμ(G)=suphμ(G，A)，

這里A取遍X所有有限可測剖分.

定義4(X，B，μ，d)是一個保測系統，ρ是X上與測度μ相容的度量.如果對μ-a.e.x∈X，存在δ>0，a>0，使得對所有ε>0，存在n∈，及存在g∈Λn有

μ{y∈Bε(x)∶ρ(gx，gy)>δ}>0，

則稱(X，B，μ，d)是限制敏感的.

定義5(X，B，μ，d)是一個保測系統，ρ是X上與測度μ相容的度量.如果存在a>0，δ>0使得對μ×μ-a.e.(x，y)∈X×X，存在n∈，及存在g∈Λn使得

ρ(gx，gy)>δ，

則稱(X，B，μ，d)是限制兩兩敏感的.

稱δ為敏感性常數，a為漸進率，根據定義，如果δ為敏感性常數，則任意δ′<δ也是敏感性常數；如果a為漸進率，則任意a′>a也是漸進率.

3 主要結果及證明

性質1設(X，B，μ，d)是一個保測系統，ρ是X上與測度μ相容的度量，且ρ是μ-正則的，如果(X，B，μ，d)是限制兩兩敏感的，則其也是限制敏感的.

證假設(X，B，μ，d)是有限制兩兩敏感常數δ和漸進率a的限制兩兩敏感的，由定義可知對a.e.x∈X，a.e.y∈X，存在n∈，及?g∈Λn，使得ρ(gx，gy)>δ.

因為ρ是μ-正則的，對上述x，取c>0，使得

(1)

考慮對任意ε≤δ，εΜ=sup{ε′<ε∶μ(Bε′(x))<μ(Bε(x))}.若μ(BεM(x))=μ(Bε(x))，則取ε′<εM非常接近εM，使得

μ(Bε(x)Bε′(x))>0，μ(Bε′(x))≥cμ(Bε(x)).

(2)

μ(Bε(x)Bε′(x))>0.

根據(1)式可得

(3)

根據上述x和ε′，對a.e.y∈Bε(x)Bε′(x)，存在n∈，及?g∈Λn，有ρ(gx，gy)>δ.

由(2)，(3)式可知

μ(Bρ(x，y)(x))≥μ(Bε′(x))≥cμ(Bε(x))，

故

所以(X，B，μ，d)限制敏感的.

性質1說明了在ρ是μ-正則的情況下，限制兩兩敏感性比限制敏感性強.敏感性和熵都是反映動力系統復雜程度的量，自然地，想要研究敏感性與熵之間的關系.文獻[7]中給出了amenable群作用系統下非遍歷情形的Shannon-McMillan-Brieman定理，amenable群包括所有的有限群，緊致群和可解群，d是一類特殊的amenable群.

引理1(Shannon-McMillan-Brieman定理：非遍歷情形) 設(X，B，μ，d)為一個保測系統，G為一個可數離散amenable群，對G中任何滿足增長條件的temperedFφlner序列{Fn}以及X的有限可測剖分P，對μ-a.e.x∈X都有

且

定理1設(X，B，μ，d)是一個保測系統，μ是X上的無原子概率測度，ρ是X上與測度μ相容的度量，且是μ-正則的，令A={A1，A2，…，Ak}是X的一個有限可測剖分使得對所有?i有diamAi<δ，令hμ(G，A)是G關于剖分A的測度熵.如果(X，B，μ，d)是有漸進率a和限制兩兩敏感常數δ的限制兩兩敏感的，則有

證假設(X，B，μ，d)是有限制敏感常數δ和漸進率a的限制兩兩敏感的，由定義知：選x∈X使得對μ-a.e.y∈X，存在n∈，及?g∈Λn使得

ρ(gx，gy)>δ.

(4)

ρ(gx，gy)<δ， ?g∈Λn

(5)

由于ρ是μ-正則的，存在c>0使得

因為μ是無原子概率測度，故當r→0時，μ(Br(x))→0.對任意的整數n，令εn滿足

e-(n-1)c>μ(Bεn(x))≥e-nc.

于是

兩邊取對數得

即

由題設可知(X，B，μ，d)是有限制敏感常數δ和漸進率a的限制兩兩敏感的，則存在

及存在g∈Λi，使得ρ(gx，gy)>δ.由(5)可知y?Cn(x)，斷言得證.

故由斷言得

令

由Shannon-McMillan-Brieman定理

定理1說明了對于一個保測系統來說，限制兩兩敏感意味著正測度熵，自然地，想要知道限制敏感與熵之間的關系.在證明定理2的過程中要用到文獻[8]中的amenable群作用下遍歷版本的 Brin-Katok熵公式：

其中BFn(x，ε)={y∈X∶ρFn(x，y)<ε}={y∈X∶ρ(gx，gy)<ε，對任何g∈Fn}.

定理2設(X，B，μ，d)是一個遍歷系統，μ是無原子概率測度，ρ是X上與測度μ相容的度量.如果則對所有x∈X，(X，B，μ，d)是有漸進率a和敏感常數δ的限制敏感的.

證假設對所有x∈X，(X，B，μ，d)不是有漸進率a和敏感常數δ的限制敏感的.存在一個正測集A，使得對?x∈A和δ>0，存在ε(δ)≤δ，對所有n∈，及?g∈Λn，有

μ{y∈Bε(δ)(x)∶ρ(gx，gy)>δ}=0，

(6)

對這樣的n，令

ρn(x，y)∶=max{ρ(gx，gy)∶?g∈Λn}，Bn(x，δ)={y∈X∶ρn(x，y)≤δ}，

ρ(gx，gy)≤δ， ?g∈Λn

(7)

故

利用Brin-Katok熵公式，存在x∈A使得

與已知條件矛盾，假設不成立，所以對所有x∈X，(X，B，μ，d)是有漸進率a和敏感常數δ的限制敏感的.

4 結 論

致謝非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.