連續基數集合并集性質的探討及翻轉課堂教學注記

臧 睿

(東北林業大學 理學院，哈爾濱150040)

1 引 言

實變函數是數學與應用數學專業的主干課程，其在專業培養乃至后續研究生學習中的基礎作用不可忽視.從這門課程開始，此前數學分析、解析幾何等課程中限定在n空間中討論的定義和性質將逐步擴展到各類抽象空間中來討論.因其對學生的抽象思維，邏輯思維提出更高的要求，久之便產生“實變函數學十遍”的傳說，這也從側面說明該課程的學習需要付出更多的時間和精力.隨著高等教育改革的深入進行，各高校對課程設置比例和畢業學分要求進行了調整，為適應要求，很多課程的學時進行了壓縮，因此對課程內容設計、教學模式以及教材結構提出了新的要求，多位學者[1-5]對此進行了探討和研究.文獻[6]一直是作者任教專業的實變函數、泛函分析課程教材，因其結構嚴謹，邏輯清楚，難易適度，也被很多高校廣泛采用.在近些年的教學中，為應對學時不足的困擾，在課程內容和教材結構方面進行了一些思考和探索.例如連續基數，多年教學實踐表明集合的基數是學生剛開始學習實變函數時接受較為困難的部分.由于對正整數集非常熟悉，因此學生對可數集合往往理解較好，接受較快，但對連續基數的一些結論往往感覺較為抽象，例如連續基數集合的并集.本文結合連續基數集合并集性質的證明，淺談一些思路和方法.

2 連續基數集合并集性質注記

以下用c表示連續基數.關于c個基數為c的集合的并集，文獻[6]中第一章第五節推論2表述為：“設有c個集的并集，若每個集合的基數都是c，則其并集的基數也是c”.對此結論教材中解釋為：“對每一個被并的集，使之與平面xOy上平行于Ox軸的直線上全體點所成集合作成一一對應，也就得到所述的并集與平面xOy上全體點所成集合作成了一一對應”.對此解釋會產生的一個疑問是當集合互不相交時，這樣的一一對應是比較明顯的，但當集合相交非空時，這樣的解釋就會較為含混.比較文獻[6-14]，發現不同教材對類似內容的處理和表述不盡相同，文獻[7-10]中未列出相關結論，文獻[11-12]中的結論針對互不相交集合的并集，文獻[13]定理1.3.5表述為：“c個基數為c的集合之并基數為c”，在其證明中首先指出不妨假設集合互不相交，隨后對相交的情況進行了詳細證明.可見對該結論證明的一般處理是對互不相交的情況進行闡述，之后再推廣到一般情況，進行講解時用時較多.文獻[14]推論1.2.6給出了一般情況的直接證明，相比較而言更為簡潔，但文中敘述較略，學生首次學習理解較為困難.下面給出一種較為詳細的直接證明的處理方法.這種方法可以直接涵蓋文獻[14]推論1.2.6中關于可數多個和c個基數為c的集合并集的兩個結論的證明.

3 翻轉課堂教學案例設計

近年來，翻轉課堂教學模式受到廣泛關注，如果設計合理，也可以提升課程教學的效率.數學課程的特點決定其不適宜進行大學時比例翻轉課堂教學[15]，但在適當環節，結合適當內容進行翻轉課堂教學可以有效激發學生的思想活力，加深對課程內容的理解.以下是關于翻轉課堂方案設計的一些思考.

完備集與完備度量空間是度量空間中的重要定義，教學實踐中，很多學生容易將二者混淆.完備集是沒有孤立點的閉集，完備度量空間是指任何柯西點列都在空間中收斂，從定義描述的角度看，學生能理解二者的不同，但對二者聯系的理解往往不夠深入.這里可以給出由淺到深的幾個問題，引導學生逐步理解這兩種定義的區別和聯系.

問題1：完備集和閉集的關系是什么？問題2: 度量子空間完備與閉的關系是什么？問題3： 空間完備和空間本身為完備集的關系是什么？

問題1主要考察完備集的定義，完備集為沒有孤立點的閉集，因此完備集一定為閉集，反之引導學生舉出含孤立點的閉集的例子即可說明閉集未必為完備集.問題2主要考察學生對相關定理的熟悉程度，即度量空間的完備子空間為閉子空間，當空間完備時，閉子空間一定是完備的，當學生指出空間不完備時，閉子空間是否仍是完備的，即任意度量空間的子空間的完備性與閉性等價是否成立，可以給出以下反例：

例2考慮有理數集，度量為d(x，y)=|x-y|，此時空間(，d)不完備，令M=∩[a，b]， 則M為閉集，但不完備.

由此引導學生梳理出兩個定義的聯系：對于完備度量空間，完備集為完備子空間，完備子空間只是閉集，因此未必為完備集；對于一般度量空間完備集也未必為完備子空間.以上討論的子空間的完備與閉集或完備集的聯系，接下來可以提出問題3由學生思考，事實上例2的空間本身(，d)是完備集，但空間不完備，這說明空間本身為完備集與空間是否完備無關.

4 結 論

通過比較不同實變函數教材，梳理了連續基數并集性質的不同處理方式并得出相對高效的證明方式，說明結合不同教材的特點，深挖細究確實可以部分克服學時不足帶來的困擾.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.