深度研讀教材策略之二：再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程

周佳泉 李雪菲

【導(dǎo)讀】

“體積和體積單位”是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。它是學(xué)生在“圖形與幾何”板塊認(rèn)知水平上的一次大飛躍，實(shí)現(xiàn)空間認(rèn)知能力從“二維”到“三維”跨越的必經(jīng)之路。

在這部分內(nèi)容的實(shí)際教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)這樣一些問題：學(xué)生知道“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”，卻無法解釋為什么用“長(zhǎng)×寬×高”;他們清楚1立方厘米、1立方分米和1立方米的定義，卻不能大致估計(jì)一個(gè)書包、一個(gè)蘋果的體積……學(xué)生在學(xué)習(xí)的道路上，哪些地方“掉鏈子”了？該怎樣彌補(bǔ)？

來自昆明市盤龍區(qū)金康園小學(xué)的周佳泉老師，用實(shí)踐探究的方式給我們呈現(xiàn)了不一樣的“體積和體積單位”。希望能拋磚引玉，引起大家更多的思考。

【案例】

課堂實(shí)錄：

一、情境導(dǎo)入

師（出示尺子）：1厘米的線段上有多少個(gè)點(diǎn)？2厘米的線段上呢？

……

師：既然它們都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，那他們相等咯？

……

師：也就是說，我們用點(diǎn)作單位無法比較兩條線段的長(zhǎng)度，當(dāng)我們用厘米作單位的時(shí)候，就很容易比較它們的長(zhǎng)短了，是這樣嗎？

……

二、認(rèn)識(shí)體積

師：什么是體積？

生1：物體所占空間的大小，叫作體積。

師：那什么是空間呢？（生無語(yǔ)）

師：請(qǐng)坐。我們來看一段視頻。（課件播放相同杯子裝水再加土豆水溢出的視頻）

（生觀看）

師：同樣大小的杯子，為什么第三個(gè)杯子裝不了一杯水？為什么第一杯的水會(huì)溢出來呢？

……

三、認(rèn)識(shí)體積單位

（一）建立體積單位的必要性

師（課件出示書包和文具盒）：誰的體積大？

生（齊）：書包的體積大。

師：書包的體積到底有多大？

……

師：所以我們就需要有一個(gè)體積單位來對(duì)它進(jìn)行描述。常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米。

（二）認(rèn)識(shí)立方厘米

師（出示課件）：我們規(guī)定棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，它的體積就是1立方厘米。在你們學(xué)具盒里找一找，找出1立方厘米的小正方體。

（學(xué)生找到舉起來）

師：1立方厘米的小正方體和身體的哪一個(gè)部分大小差不多？

生1：和一個(gè)指甲蓋大小差不多。

師：比比看，我們的手指甲蓋有1立方厘米大嗎？

生2：沒有，厚度不夠。

……

師：生活中還有哪些物體的體積大約是1立方厘米？

……

師：看你們桌上的墨水盒，估計(jì)它的體積大約是多少立方厘米？

生（猜測(cè)）：20cm3、40cm3、80cm3、200cm3……

師：大家有什么辦法能夠知道這個(gè)墨水盒的體積是多少立方厘米？

生1：用體積是1立方厘米的小正方體來填充，能填充多少個(gè)，它的體積就是多少立方厘米。

……

師：一共能擺多少個(gè)？

生2：24×5=120個(gè)。

師：擺滿了嗎？

生（齊）：擺滿了。

師：也就是說，這個(gè)墨水盒的體積大約是……

生（齊）：120立方厘米。

師：和自己的拳頭比比，有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：差不多。

生2：我們的一個(gè)拳頭，大約就是120立方厘米。

……

（三）認(rèn)識(shí)立方分米

師：學(xué)了立方厘米，那你知道1立方分米是多大嗎？

……

師：它和我們身體的哪一部分大小差不多？

生1：和我們的兩個(gè)拳頭大小差不多。

生2：應(yīng)該是4個(gè)拳頭。

師：這位同學(xué)說1立方分米和我們的4個(gè)拳頭大小差不多，大家同意嗎？

生（用拳頭比畫）：是差不多。

師：真的嗎？高度夠嗎？

生（恍然大悟）：高度不夠，還要再來一層。（再加上4個(gè)拳頭）

……

師：請(qǐng)估計(jì)一下一個(gè)書包的體積大約是多少立方分米？

……

師：剛才我們已經(jīng)估算過，我們的一個(gè)拳頭大約是120立方厘米。一立方分米大約相當(dāng)于我們的8個(gè)拳頭，那1立方分米大約等于多少立方厘米呢？

生：120×8=960立方厘米。

師：也就是快接近……

生2：1000立方厘米了。

師：那我們大膽地猜測(cè)一下，1立方分米會(huì)等于多少立方厘米？

生3：1立方分米=1000立方厘米。

師（用PPT演示）：

……

師：證明我們的猜測(cè)……

生（齊）：是對(duì)的！（師板書：1dm3=1000cm3）

（四）認(rèn)識(shí)立方米

師：如果用立方分米做單位來測(cè)量我們這間教室內(nèi)部空間的大小，合適嗎？

……

師：想要真正見識(shí)一下1立方米的視覺效果嗎？

生（齊）：想！

師（擺出1立方米的正方體框架）。

生（驚嘆）：哇！

師：“哇”是什么意思？

生：太大了！

師：生活中哪些物體的體積大約就是1立方米？

……

師：大約能鉆多少個(gè)人進(jìn)去？

……

師：滿了嗎？

生（齊）：滿了。

師：真的嗎？

生5：還沒有。如果人可以堆起來，還可以往上再擺。

……

師：這就意味著1立方米大約相當(dāng)于幾個(gè)同學(xué)的體積？

生（齊）：24個(gè)。

師：其實(shí)24個(gè)同學(xué)之間……

生6：還有空隙。

師：那把這些空隙也塞滿呢？

……

師：已經(jīng)快接近……

生（齊）：1000立方分米了。

……

生2：這和1立方分米等于1000立方厘米，道理是一樣。

（師板書：1m3=1000dm3）

師：請(qǐng)大家估計(jì)一下我們這間錄播教室內(nèi)部的空間大約是多少立方米？

（生有些為難）

師：老師告訴大家：教室前后長(zhǎng)15米。這就意味著一排可以……

生1：擺15個(gè)。

師：寬是8米。

生（多數(shù)學(xué)生激動(dòng)）：可以擺120個(gè)！

師：擺滿了嗎？

生（齊）：沒有，只擺滿了一層。

師：這間教室的高度是3.3米，我們把它大約當(dāng)作3米。

生：360個(gè)！

師：也就是說這間錄播教室的內(nèi)部空間大約是……

生（齊）：360立方米！

四、鞏固練習(xí)

師：請(qǐng)猜一猜這是哪種東西的體積？

……

師（PPT出示大貨車車廂數(shù)據(jù)）：你知道這個(gè)大貨車車廂的內(nèi)部空間是多少立方米嗎？

……

五、知識(shí)整合

師：在學(xué)習(xí)了體積單位之前，我們還學(xué)過哪些關(guān)于圖形的測(cè)量單位呢？

……

師（用PPT演示水龍頭滴水）：很多個(gè)點(diǎn)聚集在一起，就形成了線段。這時(shí)候要測(cè)量它的長(zhǎng)度，我們用什么來測(cè)量呢？

……

師（用PPT演示）：很多根線段排列起來就成為……

生：一個(gè)面。

……

師（PPT演示）：很多個(gè)面疊加起來就成為……

生：體！

……

六、小結(jié)

師：這節(jié)課我們學(xué)了哪些知識(shí)？

……

【思考】

“體積和體積單位”知識(shí)內(nèi)容并不多，但抽象程度高，學(xué)生理解起來并不容易。來自昆明市盤龍區(qū)金康園小學(xué)的周佳泉老師，本著“讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的完整過程”這一教學(xué)原則，聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，做到觀察與推理相結(jié)合、在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力中滲透數(shù)感訓(xùn)練。牢牢抓住“占據(jù)空間”這一核心，多層次、多角度創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在豐富的體驗(yàn)活動(dòng)中，最終突破從二維空間到三維空間的質(zhì)變點(diǎn)——“高度”的理解。

具體說來，有以下四個(gè)方面值得我們借鑒：

1.在“占據(jù)空間”上做足文章。

物體占據(jù)空間的現(xiàn)象，對(duì)大家來說司空見慣。但要真正從數(shù)學(xué)的高度去深入理解，卻非易事。從學(xué)生回答“一個(gè)指甲蓋的體積大約是1立方厘米”“4個(gè)拳頭大約相當(dāng)于一立方分米”等真實(shí)想法來看，物體在高度方向上占據(jù)空間的特性常常被他們忽略。周佳泉老師通過水被土豆擠占空間而溢出杯外體會(huì)到了空間就是物體存在于現(xiàn)實(shí)中的“位置”，通過多次提問“裝滿了嗎？”最終讓學(xué)生明白“只鋪滿了底層”是不夠的，還可以沿著高度再鋪這樣的若干層。從而，真正理解了從二維空間到三維空間的質(zhì)變點(diǎn)是“高度”。

2.補(bǔ)足體積單位之間的“階梯”。

教材中只給出了“1立方厘米”“1立方分米”和“1立方米”的體積單位概念，很多老師在實(shí)際教學(xué)中也僅限于這三個(gè)體積單位尺度的落實(shí)。但在實(shí)際生活中，體積尺度在幾十立方厘米、幾百立方厘米的物體隨處可見，估測(cè)這些物體的體積并形成個(gè)性化的參照標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于幫助學(xué)生建立體積單位表象具有無可替代的作用，進(jìn)而能對(duì)推算立方分米與立方厘米之間的進(jìn)率做出大膽而合理的猜測(cè)。估測(cè)書包和自己身體的體積，也有同樣的價(jià)值。從“看體積猜物體”的活動(dòng)可以看出，學(xué)生對(duì)體積單位的表象建立已經(jīng)很牢固，并形成了良好的數(shù)感。

3.理解體積測(cè)量的本質(zhì)是“單位累加”。

在本節(jié)課中，周佳泉老師并沒有刻意地去講解長(zhǎng)方體體積的“計(jì)算公式”，但實(shí)際上學(xué)生已經(jīng)會(huì)計(jì)算了。最根本的原因在于：老師牢牢抓住體積“占據(jù)空間”這一基本特性，通過多次的操作、體驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生理解用體積單位去“占據(jù)”一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)，從長(zhǎng)、寬兩個(gè)維度可以占據(jù)這個(gè)長(zhǎng)方體的底層，再向高度發(fā)展才能完全占據(jù)這個(gè)物體內(nèi)部的全部空間。即：用每排個(gè)數(shù)×排數(shù)得到底層的體積單位數(shù)，再×層數(shù)就可以得到體積單位的總數(shù)。理解了這一點(diǎn)，“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”這一算法已經(jīng)呼之欲出了。到此為止，學(xué)生已經(jīng)完全理解了體積測(cè)量（計(jì)算）的本質(zhì)就是單位累加——一個(gè)長(zhǎng)方體里能包含多少個(gè)體積單位，它的體積就是多少。

4.初步歸納了“點(diǎn)、線、面、體”之間的關(guān)系。

“積點(diǎn)成線，積線成面，積面成體”，這些抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系到了高中或大學(xué)，理解起來可能非常容易，但對(duì)小學(xué)生來說，它們似乎是“不同世界”的獨(dú)立存在。本案例中，周佳泉老師采用現(xiàn)實(shí)生活中最常見的例子——“水龍頭滴水”“織布機(jī)織布”“紙張疊放”生動(dòng)形象地使學(xué)生理解了點(diǎn)、線、面、體之間可以互相轉(zhuǎn)化的幾何特性，為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下了理性的種子。這個(gè)部分的設(shè)計(jì)，絕對(duì)不是可有可無的點(diǎn)綴，而是對(duì)整節(jié)課的一個(gè)高度升華。滲透辯證唯物主義思想的啟蒙教育，絕不是一句空洞的口號(hào)，它就實(shí)實(shí)在在地存在于我們的教學(xué)行為之中。

完整經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，表面上看似乎是“把一個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)教得過于費(fèi)力了”，但從深層次觀察，對(duì)同一個(gè)思維點(diǎn)用不同的載體、形式去不斷呈現(xiàn)，才能充分照顧學(xué)生的個(gè)體差異，使學(xué)生對(duì)概念的理解真正達(dá)到應(yīng)有的思維高度。