基于微分方程的高滲性高血糖狀態(tài)診斷模型

李 星 羅振國 范建華 黃 瓊 李石生 黃 麗

（衡陽師范學(xué)院南岳學(xué)院，湖南 衡陽 421008）

0 引言

作為糖尿病嚴(yán)重急性并發(fā)癥之一，高滲性高血糖綜合征的患者經(jīng)常會出現(xiàn)嚴(yán)重高血糖，甚至昏迷。當(dāng)前，高血糖高滲狀態(tài)的病人最主要臨床表現(xiàn)是血漿胰島素水平比糖尿病酮癥酸中毒者還要高很多，針對這一類糖尿病患者，在臨床上還沒有找到有效的治愈方法。

2019年10月，東莞臺心醫(yī)院通過26例實際研究對象進行臨床診斷和生化檢查，進行靜脈輸液補充鉀、鈉和胰島素，通過觀察患者的滲透壓、失水量以及血糖水平，從而得出糖尿病高滲昏迷患者應(yīng)及時進行靜脈輸液。2020年6月，山東省陽谷縣人民醫(yī)院內(nèi)分泌科通過對照組與觀察組，分別進行常規(guī)治療與優(yōu)化治療，通過比較患者的各數(shù)據(jù)指標(biāo)，得出了高血糖高滲狀態(tài)患者應(yīng)采用優(yōu)化治療來改善心肌功能、緩解炎癥反應(yīng)。現(xiàn)有文獻都是通過實際患者入手，通過實際的案例與所得結(jié)果為實驗結(jié)果，但是都只是探討其治療原理和患病原因，并未建立血糖與胰島素之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。因此，建立血糖與胰島素之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是十分必要的，及時檢測了血糖含量的變化來量化血糖與胰島素之間的作用。

1 模型的建立

1.1 問題的提出

糖尿病屬于新陳代謝類疾病，明顯的臨床表現(xiàn)是尿和血液中含有很多的糖分。糖尿病發(fā)生的機理是患者體內(nèi)胰島素缺乏，糖不能被身體組織充分消耗利用而滯留于血液中，導(dǎo)致血糖過高。葡萄糖耐量試驗是一種常見診斷糖尿病的方法，該試驗要求測試者在試驗前3 d維持正常飲食，保證攝入足量的碳水化合物；在測試前1 d晚餐后禁食；試驗一般在早晨進行，先抽血化驗血糖量，然后讓測試者服用劑量約100 g的葡萄糖，服糖后的0.5～5 h內(nèi)對受試者血液中的葡萄糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)做幾次測量分析，根據(jù)受試者的血糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)能否恢復(fù)到攝入葡萄糖之前的質(zhì)量分?jǐn)?shù)和需要的時間來推斷受試者是否患有糖尿病。簡要流程歸納為3個步驟：第一，前3d正常飲食；第二，前1d晚餐后禁食；第三，實驗的當(dāng)天早晨先抽血化驗化驗血糖量。

但是使用葡萄糖耐量試驗的主要困難在于對實驗結(jié)果如何進行正確的解釋沒有一個公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)。為此建立了一個簡單的數(shù)學(xué)模型，用來估計和解釋葡萄糖耐量試驗的結(jié)果。

1.2 模型的分析

（1）由于葡萄糖是動物組織和器官的能源，在新陳代謝過程中起著重要的作用，因此，假設(shè)每種動物都有一個最佳血糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)，與最佳質(zhì)量分?jǐn)?shù)的過度偏差會引起嚴(yán)重的病情，甚至死亡。

（2）在自我調(diào)節(jié)過程中，血糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)受到胰島素、腎上腺素、甲狀腺素生長腺素等激素的影響和控制。

（3）在糖代謝過程中，體內(nèi)分泌胰島素、胰高血糖素、糖皮質(zhì)激、甲狀腺素、生長激素等激素來保持血糖正常水平。

由此可見，糖代謝的自我調(diào)節(jié)是十分復(fù)雜的，要建立一個反映各種激素的調(diào)節(jié)機理的數(shù)學(xué)模型是十分困難的，必須增加一些假設(shè)和進行適當(dāng)?shù)睾喕ρ琴|(zhì)量分?jǐn)?shù)的調(diào)節(jié)主要取決于各種激素和內(nèi)分泌物的綜合作用，胰島素在糖代謝中起著降低血糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)的作用，而其他激素和內(nèi)分泌物主要起著增加血糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)的作用。因此，這個數(shù)學(xué)模型主要涉及2個質(zhì)量分?jǐn)?shù)，血液中葡萄糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)（用G表示）和激素的凈質(zhì)量分?jǐn)?shù)（用H表示），降低血糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)的激素被認(rèn)為將增加H，增加血糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)的激素被認(rèn)為將減少H。

1.3 模型的建立

問題一：假設(shè)對血糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)起調(diào)節(jié)作用可用一個綜合參數(shù)H描述：

綜合參數(shù)最佳值（正常值）：H0

問題二：G和H相互制約和相互影響，自動由正常水平G0和H0調(diào)節(jié)。

問題三：由于g=G-G0，h=H-H0（其中，g為葡萄糖濃度之差，h激素濃度之差）相對較小，所以可得：

其中F1（G，H），F(xiàn)2（G，H）分別表示血糖濃度的變化和激素濃度的變化與G，H的函數(shù)關(guān)系式，J（t）是引起血糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)增加的外部速率，且滿足。

作變換：g=G-G0，h=H-H0，經(jīng)過分析整理后可到微分模型：其中=-m4，mi＞0，i=1，2，3，4。

1.4 參數(shù)的估計

（1）G0很容易取得，而H0無法得到。

（2）在進行葡萄糖耐量試驗時，接受葡萄糖的時間很短，而接受葡萄糖0.5 h后才進行檢測，因此，取接受葡萄糖后某個時刻為零時刻，不妨設(shè)J（t）≡0，可推出：其中：

（3）特征方程：λ2+2αλ+=0不妨設(shè)：，取，則可求得模型的解為：

可得血糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)的表達式：G（t）=G0+Ae-αtcos（ωt-δ），有4個參數(shù)：，α，ω0，δ=arctan

（4）確定參數(shù)方法：首先，進行4次測試，得到一個由4個方程組成的方程組，再最優(yōu)化方法——最小二乘法確定4個參數(shù)，具體如下：minf（A，α，ω0，δ）=[Gi-G（ti）]2式中，Gi為時間ti時的測量值，i=1，2，…，4。

1.5 模型的檢測

由于參數(shù)α對G的測量誤差很敏感，任何含有參數(shù)α的診斷糖尿病的標(biāo)準(zhǔn)都是不可靠的。而參數(shù)ω0對G的測量誤差不敏感，可以將ω0可作為定量分析的基本值，從而將相應(yīng)的自然周期作為診斷糖尿病的指標(biāo)。對大量正常人和病人做葡萄糖耐量試驗，將試驗的結(jié)果擬合出相應(yīng)的t0，由統(tǒng)計分析可得結(jié)論：（1）正常人t0的范圍為每千克體重攝入葡萄糖1.75 g，則t0＜4 h；（2）糖尿病患者t0的范圍為每千克體重攝入葡萄糖1.75 g，則明顯t0＞4 h。

2 模型的應(yīng)用

取上海華山醫(yī)院對466位正常人做葡萄糖耐量試驗，測量一組數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 葡萄糖耐量試驗

代入血糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)的表達式，解四元方程組，可以得出4個參數(shù)的值：A=610.5794，α=1.5926，ω=0.8645，δ=1.7990由t0=，可得t0=3.4674 h＜4 h，從而診斷出試驗人員不是糖尿病患者。

3 結(jié)語

用數(shù)字公式和圖表來處理一些醫(yī)學(xué)實際問題，經(jīng)過大量數(shù)學(xué)的推導(dǎo)得到一些醫(yī)學(xué)問題的定量結(jié)果，從而使得疾病的診斷和治療有了較好的理論依據(jù)，可以避免誤診。本文為提高糖尿病臨床診斷的準(zhǔn)確率提供一些有效參考價值。