機床熱誤差的檢測與建模方法

趙萬芹， 劉昊棟， 施 虎

(1.西安交通大學， 機械制造系統國家重點實驗室， 西安 710049； 2.上海工程技術大學材料工程學院， 上海 201620)

隨著制造業的迅速發展，機床作為制造業的基礎，對其加工速度和精度提出了更高的要求。熱誤差是影響機床加工性能的重要因素，已成為機床加工誤差的最大誤差源，占比達40%～70%[1-2]。要提高機床加工精度，需要對機床熱誤差進行控制，主要包括：誤差防止法和誤差補償法[3-4]。前者主要通過減少熱源數目或降低熱源熱量，增加散熱路徑，以及采用熱穩定結構設計等方法來控制機床熱誤差[5]，是對機床硬件的設計和制造過程進行改進，因此又稱為硬件補償法，該方法可以在一定程度上降低熱源溫升、均衡溫度場和減少機床熱變形，但是補償成本高且補償效果不明顯，具有很大的局限性[6]。后者即誤差補償法也稱為軟件補償法，其主要機制為通過軟件輸入人為制造新的逆方向誤差，削弱甚至抵消原始誤差[7]，該方法無需對機床進行硬件上的改造，卻可使被加工工件精度顯著提高，較熱誤差防止法具有高柔性、高經濟性的優勢，因此在機械加工業中受到越來越廣泛的重視，并且已作為國際上提高數控機床精度的主要方法[8-9]。在誤差補償法中，獲得機床熱誤差并建立熱誤差模型是整個補償過程的核心與關鍵。現對熱誤差補償過程中上述兩項重要步驟展開敘述，論述了機床熱誤差的檢測方法和建模方法，并結合目前的研究現狀，展望了未來的發展。

1 機床熱誤差的檢測方法

機床熱誤差的檢測在整個誤差補償環節中有著相當重要的作用，檢測目的是對機床原始誤差參數進行精確測定，準確、快速、穩定地實現機床熱誤差的檢測是進行熱誤差建模、補償的基礎和前提[10]。機床熱誤差的檢測方式通常可以分為：直接法和間接法。

1.1 直接檢測法

直接檢測法是通過各類儀器對熱誤差直接測量，通過表盤或顯示界面可直接得到機床某個部件產生的熱誤差數值，因其測量方式簡便且精度較高，目前應用較為廣泛。直接檢測法的檢測裝置主要包括傳統測量儀器、位移傳感器、激光干涉儀等。需要說明的是，在采用直接檢測法對熱誤差進行檢測前，首先需要明確熱誤差的表現形式，目的是明確熱誤差的研究對象并確定機床的檢測部位。由于機床的不均勻溫升，致使某些溫升明顯的部件尺寸發生變化或同其他部件的相對位置改變，具體可表現為主軸變形，床身及立柱的熱膨脹變形，絲杠的膨脹，工作臺的變形等眾多方面[11]，其中，作為影響機床加工精度的最主要因素，主軸變形可以分解為軸向伸長，X、Y向熱漂移，X、Y向熱傾斜[12]，如圖1所示。

直接檢測法中傳統的熱誤差檢測工具包括直角尺、千分表、水平儀等，這一類儀器具有價格較低、操作簡單等優點，測量結果可通過表盤讀數直接獲得，故在工廠實際測量中應用較為廣泛[10]。陽紅等[13]在絲杠前端安裝百分表測量絲杠前端熱變形；Umezu等[14]利用千分表來測量主軸和夾具間的位移，得到了立式加工中心的主軸X、Y向熱傾斜夾角，并進行了各測點溫度與熱傾斜夾角的相關性分析。雖然傳統檢測工具檢測過程簡便，但由于其采用機械測量的方式，除去測量設備自身精度的限制，測量精度還會因人為誤差的存在而降低，因此應用場合受限，故近年來逐漸被學者們淘汰。

dx、dy分別表示主軸X向和Y向的熱漂移量；dz表示主軸軸向 熱伸長量；P、P′分別表示變形前和變形后主軸端部的位置；θx和θy 分別表示主軸繞X軸和Y軸的熱傾斜角度圖1 主軸熱變形[12]Fig.1 Thermal deformation of spindle[12]

與傳統熱誤差檢測工具不同，位移傳感器是通過非接觸的方式來測量，還可以直接測量旋轉軸的狀態，且其有高靈敏性、強抗干擾性、可長時間穩定工作的特點，常用的位移傳感器有電渦流位移傳感器和激光CCD(charge coupled device)位移傳感器等。張腰等[15]使用電渦流位移傳感器測量立式加工中心Z向熱誤差變形量，獲取了隨該機床的溫度變化與對應熱變形變化的規律；張子祥等[16]將激光CCD位移傳感器安裝于鏜銑床的主軸Y向和Z向的平行位置，直接測量鏜軸兩個方向的熱誤差數據，得到了熱誤差隨時間變化的曲線，如圖2(a)所示，比對后選取了主導誤差Z軸誤差作為研究對象。雖然位移傳感器有眾多優點，但每種傳感器都有其局限性，如電渦流位移傳感器量程不大，為±500 μm；激光CCD位移傳感器體積較大，某些狹小空間安裝極為不便甚至無法使用。上述問題致使各類位移傳感器應用場合不同，需根據具體實驗環境選擇合適的傳感器。曹永潔等[17]結合主軸工作環境設計了熱誤差檢測系統，用于測量機床主軸工作時的熱變形，熱誤差檢測裝置如圖2(b)所示，其中，兩個激光CCD位移傳感器分別與檢驗棒X、Y向平行，測量X、Y向的主軸熱變形，電渦流位移傳感器置于檢驗棒下方，測量主軸軸向熱伸長。

圖2 熱誤差變化曲線及檢測裝置[16-17]Fig.2 The curve and the detection device of thermal error[16-17]

激光干涉儀因其采用非接觸式測量的方式，且測量速度快、測量精度高，20世紀末期投入市場即受到了機床制造業的青睞[18]，眾多學者將其應用于熱誤差的測量。林獻坤等[19]使用兩個雙頻激光干涉儀測量了進給軸的熱變形量，該測量系統采集到的熱誤差和溫度值一同作為樣本庫，為后續熱誤差模型建立提供數據。陳明等[20]采用激光干涉儀對某立式加工中心進給軸的熱誤差進行了測試，監測了進給軸近端、中端及遠端不同熱機時間的熱誤差變化，以用于同溫升變化的分析。此外，任小洪等[21]在實時測量機床溫度的同時采用激光干涉儀檢測出對應時刻機床的熱誤差值，隨后輸入到模型中，通過數控系統(CNC系統)進行反饋補償。雖然激光類儀器測量精度高，但其設備昂貴，光路調整困難且抗干擾性能較差，難以在高速加工過程中測量熱誤差[22]，故很多情況下將位移傳感器與激光干涉儀配合使用。孫志超等[23]使用激光干涉儀測量車床進給軸熱誤差值同時使用電渦流位移傳感器測量主軸熱誤差，將該機床主軸和進給軸耦合熱誤差建模補償。

1.2 間接檢測法

與直接檢測法不同，間接法無法直接得出熱誤差的具體數值，而是經由其他媒介間接地反映出機床的熱誤差狀況。常用的熱誤差間接檢測法有兩種：基于球桿儀檢測法和試切法。

1982年，Bryan發明了可以測量機床動態精度的球桿儀，該裝置由于測量簡單便捷且精度補償效果良好，現已被ISO 230國際機床檢驗標準推薦使用[10-24]。具體而言，球桿儀是通過兩端的精密球的插補運動所形成的軌跡來判斷熱誤差，將球桿儀的運動軌跡與標準圓進行比對，若與標準圓存在偏差，則誤差存在，通過簡單地辨識可以得到誤差[25-27]，其測量原理如圖3(a)所示。楊寶鵬等[28]基于如圖3(b)所示的球桿儀實驗裝置，測量了不同時間段的機床主軸漂移誤差。Delbressine等[29]利用球桿儀測量多軸機床的熱漂移，并對該類機床建立了預測精度可達60%的通用熱誤差模型。虞敏等[30]基于球桿儀提出了一種熱誤差檢測方法，通過將球桿儀運動軌跡設計為X、Y軸聯動構成的圓錐體，建立桿長變化值與主軸熱變形量之間的空間矢量幾何關系，并以補償實驗進行了驗證。盡管球桿儀檢測過程簡單，但其只能在較小空間內測量誤差，且其安裝時會存在原始誤差，可采取一定措施減小但無法完全避免。

圖3 球桿儀測量原理及實驗裝置Fig.3 The measuring principle and the experimental device of ball bar

直接檢測法和基于球桿儀的熱誤差檢測過程中，普遍是使機床空轉來模擬加工時地狀態，上述方法忽略了加工過程中的刀具磨損變形等因素的影響，而試切法是通過機床真實加工出來工件的尺寸參數，與標準件進行比較分析，進而反推出機床產生的熱誤差。如齒輪加工精度與徑向熱誤差存在函數關系，加工過程中測量齒輪M值(又稱跨球尺寸或圓柱尺寸)間接得到蝸桿砂輪磨齒機的徑向熱誤差[31]。以試切的方式進行熱誤差檢測，能夠更真實、準確地反映機床的加工精度，獲得的熱誤差數據的可信度也較高。2012年，由中國中航工業成都飛機工業公司提出的S型檢測試件具有眾多零件的典型結構特征，能夠有效檢測機床加工精度，S型試件在ISO國際會議獲得一致認可，并通過其作為標準試件的草案[32]。雖然間接檢測法能夠反映機床真實加工時的精度狀況，但該方法無法完成對整個加工系統的解耦與評估，且檢驗周期長、成本高。

綜上所述，在選擇機床熱誤差的測量方法時，要權衡直接和間接檢測法的利弊，選擇最優的方案來獲取熱誤差數據，以保證能為接下來的機床熱誤差建模工作提供準確的數值。

2 機床熱誤差的建模方法

機床熱誤差建模是獲取測點溫度與熱誤差間關系的數學模型。熱誤差模型以測點溫度為輸入值，熱誤差為輸出值，通過建立的模型，根據溫度值便可預測機床即將發生的熱變形。所以在熱誤差補償中，建模技術是重點，熱誤差模型精度的優劣直接決定了機床加工精度的提升效果[33-34]。高預測精度與強魯棒性是衡量熱誤差模型是否優異的標準，依據這個標準學者們尋找到了一系列建模法，如多元回歸分析法、人工神經網絡法、支持向量機法、灰色理論分析法及貝葉斯算法等。

2.1 多元回歸分析法

多元回歸分析(multiple regression analysis，MRA)是一種以單個或多個變量為輸入、單一變量為輸出的建模法，因該方法建立的模型具有高預測精度、高可靠性、表述簡單等優點[35]，被廣泛應用于各個領域，如醫學[36]、自然科學[37]、統計學[38]等。基于多元回歸分析法建立的機床熱誤差模型，以多個溫度測點的溫度值為自變量，以機床的熱變形誤差作為因變量，可以表示為[39-40]

Y=β0+β1X1+β2X2+···+βnXn+ε

(1)

式(1)中：Y為熱變形誤差；β0，β1，…，βn為自變量溫度值的回歸系數；ε為常數項；X1，X2，…，Xn為自變量溫度值。

Chen等[41]于1993年首次將多元回歸分析用于機床誤差建模中，以進給軸工作位置與熱誤差間的函數方程進行了表示，模擬了熱誤差有關的11項誤差。羅勇等[42]對NL201HA型數控臥式車床X軸進行了回歸建模分析，在進行升溫降溫實驗后繪制了熱變形擬合曲線，如圖4所示，其中，Δy為熱誤差增量，升溫段模型誤差預測值與實際值的最大擬合殘差為4.8 μm，降溫段模型的最大擬合殘差為2.6 μm，預測效果較好。余蔚荔等[43]在篩選出最優的溫度測點后，基于多元回歸分析對銑床主軸建立了Y向、Z向熱誤差預測模型并進行了補償，誤差補償后，Y向最大熱誤差值由45.0 μm減少到3.2 μm，Z向由28.0 μm減小到3.8 μm，機床精度得到明顯提高。

圖4 線性回歸模型擬合曲線[42]Fig.4 The fitting curve of linear regression model[42]

還需要說明的是，MRA模型對于結構、工況均為比較簡單的機床具有較好的預測能力[44]，但在對模型系數選取時可能會與實際情況相反，使熱誤差模型穩定性降低，此外，模型構建時可能會出現超越方程，使得求解過程變復雜、運算的收斂性變差[45]。

2.2 人工神經網絡法

人工神經網絡(artificial neural network，ANN)是一種模仿人腦神經元對信息處理并組建網絡的建模法。人工神經網絡具有很強的逼近任意非線性函數的能力，且能夠并行處理并存儲數據，故該方法具有較強的魯棒性和容錯性[46-47]。

1986年，反向傳播(back propagation，BP)神經網絡由Rumelhart等[48]提出，BP神經網絡作為一種誤差反向傳播的前饋型網絡，現已成為應用最為廣泛的ANN之一。圖5展示了一個典型的三層神經網絡的結構，分別為輸入層、隱含層和輸出層，在神經網絡工作時，三層結構逐層處理輸入的信號，當輸出層的輸出信號大于期望誤差時，輸入信號會進行反向傳播，并自調整BP神經網絡的權值和閾值，使模型輸出可以不斷接近期望輸出[49]。

圖5 BP神經網絡結構Fig.5 The structure of the BP network

BP神經網雖然得到了廣泛的應用，但它也存在不足之處，如收斂速度慢，訓練時間長，有網絡冗余性、遺忘性，存在局部極小、過度擬合等現象[50]。因此近年來學者往往將該建模方法進行預處理以避免其劣勢。吳金文等[51]為避免BP網絡產生局部極小值的問題，使用粒子群算法結合模擬退火法來優化了BP網絡，對機床Y軸、Z軸方向進行了建模預測，優化前最大預測誤差分別為7.3 μm和7.5 μm，優化后誤差控制在3 μm以內，分別為2.3 μm和2.6 μm。

徑向基函數(radial basis function,RBF)神經網絡，同BP神經網絡類似，同樣有三層結構，輸入層、隱含層和輸出層，輸入信號同樣被輸入層、隱含層和輸出層逐層處理，不同的是，BP和RBF神經網絡的隱含層不同，RBF神經網絡的隱含層往往為徑向基函數，該函數需要更多的神經元，但是它的訓練速度也將更快，尤其是在輸入信息樣本數較大時，徑向基神經網絡往往能達到很好的效果[52]。陳松等[53]以5個測點溫度作為模型輸入值，建立了銑床主軸的RBF神經網絡熱誤差預測模型，發現該模型預測值與實測值最大相差2.7 μm，且在導入補償系統補償后，最大熱誤差由43 μm減小到2.2 μm，大幅度提高機床精度。

ANN構建熱誤差模型時，雖然可以逼近任意非線性函數，但是很難選擇使模型預測精度達到最優的網絡結構，且因權值和閾值的不確定性，模型中可能會出現過擬合現象，此外，ANN模型往往需要較大的計算量，會增長反饋控制所需的時間，影響建模和補償效率[54-55]。

2.3 支持向量機法

支持向量機(support vector machines，SVM)，于1964年由Vapnik等[56-57]提出，被認為是針對小樣本統計和預測學習的最佳理論。該方法建模后的模型結構簡單，有著較強的泛化能力，能處理少樣本、非線性、高維數等問題，且能避免ANN中局部最優的問題，可以得到全局最優解[58-59]。

但由于支持向量機的核函數參數的選取會對模型精度有較大影響，因此核函數的選取至關重要[60]。林偉青等[61]率先將最小二乘支持向量機用于機床主軸熱誤差預測中，該方法的核函數為最小二乘線性系統，經建模和分析后，熱誤差預測值與熱誤差測量值的絕對百分比誤差為1.88%，模型擬合精度高。劉善林等[62]基于支持向量機對數控加工中心不同時間的熱誤差進行預測，選取了高斯徑向基作為其核函數，以第一批數據作為建模數據，并與多元回歸模型進行了比對，如表1所示，發現當實際加工時的環境溫度接近于模型預測時的環境溫度時，支持向量機的預測精度遠高于多元回歸模型，在3、4月份的試驗中，兩種模型的預測精度相差不多，而當環境溫度變化巨大時，多元回歸模型的預測精度反而更高，由此也得出支持向量機對影響因素有著高敏感性，因此該模型的魯棒性較差。

表1 5批試驗參數的預測精度[62]Table 1 The prediction accuracy of five test parameters[62]

2.4 灰色系統理論法

灰色系統理論模型(grey system theory model，GM)是鄧聚龍創立的灰色系統理論的核心內容，可對由數量少、無規律的樣本組成的系統的內在發展規律進行描述[63-64]。2006年，李永祥等[65]應用三種灰色系統GM(1，1)模型進行了車床徑向熱誤差的建模，三種模型分別為普通GM(1，1)模型、新信息GM(1，1)模型(只引入一個新變量)、新陳代謝GM(1，1)模型(每引入一個新變量，剔除一個舊變量)，建模前通過試驗測量獲取28組數據，將前18組進行建模，后10組進行驗證，如表2所示，序號11為模型預測相對誤差平均值，得出了灰色模型的預測優勢，且隨著新老數據的不斷更替，模型預測效果會不斷提高，最大相對誤差只有13.51%。同樣，李志偉[66]基于灰色理論模型突出的非線性擬合功能，對輪槽銑床主軸箱過建立灰色理論熱誤差預測模型，結果證明溫度測點實測值與理論模型預測值接近，因此灰色理論模型具有準確性較好的預測水平。

表2 模型預測結果與測量值比較[65]Table 2 Comparison of model prediction results with measured values[65]

但與ANN相比，GM模型預測能力較弱，會因無關數據的存在或新舊數據的更替而對模型精度產生較大影響，且其并無自學習、自組織能力。因此，張毅等[67]提出了一種基于灰色理論預處理的人工神經網絡機床熱誤差補償模型(GM-ANN模型)，并將該模型的熱誤差和殘差同GM模型和ANN模型進行了比對分析，分別如圖6(a)、圖6(b)所示，證實了GM-ANN模型的高預測精度，將車削中心的加工精度提高70%，有效彌補了GM模型和ANN模型的缺點。

圖6 GM-ANN、GM、ANN熱誤差和殘差比對[67]Fig.6 The comparison of thermal error and residual value of GM-ANN, GM and ANN[67]

2.5 貝葉斯網絡

1988年，Pearl[68]提出了貝葉斯網絡(Bayesian network，BN)；2008年，白福友[69]率先利用貝葉斯網絡對機床熱誤差進行建模。貝葉斯網絡可以處理不完備數據集，相比于ANN，其優勢在于解決復雜設備不確定性和關聯性引起的問題，其模型建立流程如圖7所示[70]，首先進行先驗貝葉斯網絡構造，隨后基于樣本數據進行學習與建模，最后基于貝葉斯網絡的推理與熱誤差預測補償。文獻[70-72]基于貝葉斯網絡進行了一系列探索，發現在熱誤差模型建立時，若只有較少的溫度測點數據，則模型是以先驗網絡為主導，而隨著溫度測點數據的增多，模型預測更多地以數據為基礎，符合認知規律。Shi等[73]經聚類和相關分析優化溫度測點后，提出了一種基于貝葉斯神經網絡的熱誤差建模方法，經試驗證明該模型有著較高的預測精度，且在不同工況下，最大熱誤差從18.2 μm減小到5.14 μm，使進給驅動系統的熱誤差約減少了71%。但是BN同ANN一樣，若想達到最優的預測效果，必須選擇能夠最為準確描述研究對象的網絡結構，然而BN的網絡結構復雜，且具有多項式復雜度，隨著因素的增加，模型算法的復雜度將會呈指數型增長，極大的限制了BN的效果。

圖7 貝葉斯網絡建模流程圖[70]Fig.7 The flowchart of Bayesian network modeling[70]

3 結論與展望

針對機床熱誤差補償環節中的熱誤差檢測方法和熱誤差建模方法展開敘述，得出如下主要結論。

(1)機床熱誤差的檢測方法和工具頗多且各自都有獨特的優點，但也都存在各自的限制，如傳統測量工具測量精度不能保證，位移傳感器安裝會因機床內部環境而受限，激光干涉儀不能在高速加工條件下測量，球桿儀測量量程較小，試切法周期長、花費多，因此，實際測量中，需根據試驗現場的工作狀況選取一種或多種方法或工具的組合，以保證獲取的熱誤差數據盡可能準確。

(2)機床熱誤差模型選擇會很大程度上影響到熱誤差補償的效果，五種方法所建立的熱誤差模型，都有著彼此無法替代的優勢，也各有缺陷，表現為：MRA表述簡單、預測精度高但可能會因超越方程的出現使運算變復雜；ANN能夠自學習、自組織、自適應，卻會存在過度擬合現象；SVM能對少樣本的數據集進行有效預測，但模型魯棒性較差；GM可以對無規律的樣本進行預測，但預測精度較低；BN能夠分析不完備的數據集并進行預測，但其網絡模型難以確定。

(3)針對機床熱誤差的檢測與建模方法，筆者認為還可以進一步探究：首先，誤差防止法是從根本上控制熱誤差的方法，在機床設計階段對其結構優化是至關重要的，除此之外，熱誤差檢測時的安裝空間受限等問題，也可在機床設計階段得以解決，如適當增大內部空間，或機床內部增加自監控裝置，能夠實時檢測機床溫度和熱誤差狀態。隨著對機床精度要求的不斷提高，單一預測模型的魯棒性和其補償后的精度無法滿足補償要求，對上述5類模型的優化仍是熱誤差建模研究中的熱點。此外，5類模型中有的模型預測精度高，但需要較多參數和大量計算，有的模型只需少量樣本和計算，但預測精度低，因此尋找到既滿足高預測精度又只需少量數據，或能在二者間找到最優平衡的新模型，是熱誤差建模的研究方向之一。