考慮非線性本構和小初始變形的單壁碳納米管的Bernoulli-Euler梁模型

王騰飛， 黃 坤,2*， 郭榮鑫,2

(1.昆明理工大學建筑工程學院工程力學系， 昆明 650500; 2.云南省土木工程防災重點實驗室， 昆明 650500)

碳納米管在1991年被發現以來一直是研究熱點[1]，它作為一種新型的材料，具有很多優秀的機械、化學、電學的性質，在各個領域有著廣泛的應用[2-4]。利用其特殊的性質可以制作很多性質優異的構件，因此可望在復合材料、傳感器和納米電子等眾多領域得到廣泛應用[5]。為了挖掘其巨大的應用潛力，對碳納米管力學行為進行充分的研究非常有必要。目前連續介質力學法是研究碳納米管最為廣泛的方法，應用連續介質力學對其研究時，碳納米管可以作為連續梁和殼模型來考慮。Huang等[6]用非局部彈性理論和Bernoulli-Euler梁模型結合，研究了具有初始變形的單壁碳納米管的靜力和動力學特性。Yoon等[7]基于彈性梁模型對碳納米管進行研究，分析了彈性介質中多層碳納米管的固有頻率和振動模態。

從幾何上看，碳納米管可視為石墨烯按照不同的方式卷曲而成，大量理論和實驗證明，當碳納米管管徑曲率減小到一定數值(納米管的管徑較大時)，碳納米管的彈性模量等力學性能參數與石墨片層十分接近，因此碳納米管與石墨烯應力應變關系是一樣的, 近期的理論和實驗表明，石墨烯的應力應變關系是非線性的[8-10]。對于單層石墨烯片，Lee等[8]通過單軸實驗拉伸得到了其二次非線性本構關系，但目前對于此非線性本構關系，仍未被研究人員應用在碳納米管上。在碳納米管的研究中，碳納米管的初始變形一直是不可忽視的，它對碳納米管的力學行為有顯著的影響。為此，以石墨烯的非線性應力應變關系為基礎，建立具有小初始變形的Bernoulli-Euler梁模型。并通過該模型研究單壁碳納米管受均布荷載作用下的靜力彎曲和受迫振動行為，并分析了非線性本構中非線性項和初始變形對碳納米管各項運動特性的影響規律。

1 單壁碳納米管的Bernoulli-Euler梁 理論

如圖1所示，兩端鉸支的碳納米管簡化為連續梁模型，長度為l，初始變形為w0，分布力為p(x,t)，其中t為時間，pz和px為外力，其方向分別為坐標軸z和x方向。w為碳納米管z方向的位移。放在直角坐標系內。

p為p的向量式；i、k分別為坐標軸x和z方向的單位向量圖1 單壁碳納米管模型Fig.1 Single-walled carbon nanotube model

碳納米管的二次非線性本構為[8]

(1)

式(1)中：E為二階線彈性系數；σxx和εxx分別為軸向應力和應變；D為三階彈性系數，當D=0時本構式恢復為宏觀虎克定理表達式。

根據Bernoulli-Euler梁理論假設[11]，位移場的方程為

(2)

式(2)中：u1、u2、u3分別為沿x、y、z坐標軸的位移；u、w分別為點(x,0)在中平面的軸向和橫向位移分量。理論中，橫向剪切應變和橫向法應變將被忽略。

對于兩端不可移動的碳納米管梁，采用Von Karman位移應變方程來表示x軸向應變張量[11-12]為

(3)

由式(1)可以得到軸向力N和彎矩M的表達式為

(4)

(5)

式中：A為碳納米管的橫截面積。

將式(3)代入式(4)、式(5)得到軸向力和彎矩的表達式分別為

(6)

(7)

針對經典的細長梁，主要與軸向應力有關，剪應力的影響是次要的，因此可以不考慮剪力的影響，僅考慮軸向的應力和應變。由牛頓第二定律得Bernoulli-Euler梁理論的控制方程為[11-13]

(8)

(9)

式中：m為碳納米管質量。

將式(6)、式(7)代入式(8)、式(9)得

(10)

(11)

令px=0且將式(10)中的高次項舍去，得縱向運動方程為

(12)

對于細長梁，縱向慣性項可以忽略，因此縱向位移u主要是由橫向變形引起的，在這種情況下，可以從式(12)推出得

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：c1(t)、c2(t)為時間的函數，它們由u的邊界確定，對于兩端鉸支的梁，它的邊界條件是u(0)=u(l)=0，得

(17)

將式(11)中的高次項舍去，得

(18)

將式(13)～式(15)代入式(18)中得

(19)

將式(17)代入式(19)得

(20)

(21)

歸一化邊界條件為

(22)

由于方程(21)中含有積分項，無法通過求解得到精確的解析解，故，使用變分法求解方程的近似解。本文根據伽遼金法可以直接對原控制方程進行積分求解這一特性。在滿足歸一化邊界條件下，假設一組基函數作為微分方程的近似解。

(23)

(24)

式(24)中：η為碳納米管的變形幅值。

式(24)可寫為

(25)

2 靜態彎曲分析

去掉式(25)的慣性項可得碳納米管的靜力學方程為

(26)

如圖2所示，當碳管存在小初始變形時，初始變形與外激勵的方向一致時強化了系統的剛度，當方向相反且受力小于一個臨界值時同樣強化了其剛度。但當受力大于這一臨界值時弱化了系統的剛度，因此初始變形使靜力變形變得復雜。當忽略小初始變形時，靜力學方程中的二次項消失，非線性本構中的非線性項對碳納米管的靜力學性質產生了顯著的影響，弱化了其剛度，隨著外激勵的增加，這種影響越加明顯。如圖3所示，當存在非線性本構中的非線性項時，靜力彎曲變形隨著初始變形的增加而減小，強化了碳納米管的整體剛度。當荷載和初始變形方向相反時，由于初始變形的存在使系統的變形變得復雜。

圖2 非線性本構的非線性項或初始變形對碳納米管 靜力彎曲的影響Fig.2 Effect of nonlinear terms of nonlinear constitutive or initial deformation on static bending of carbon nanotubes

3 一階受迫振動

(27)

(28)

對于式(28)的解可以設為

(29)

因為外激勵是O(ε2)階的，O( )表示為同階無窮小，為保證一致，設ω-k1為O(ε2)階，有

ε2σ=ω-k1

(30)

式(30)中：σ為頻差；ω為頻率。

將式(29)、式(30)代入式(28)中，并令兩端的ε0、ε和ε2的系數分別相等，得

(31)

(32)

fcos(k1T0+σT2)

(33)

式(31)的通解可以寫為

(34)

(35)

式(35)中：cc表示其左邊各項的共軛復數。

(36)

將式(34)和式(36)代入式(33)，得

cc+NST

(37)

式(37)中：f為外激勵；′表示關于T2的導數；NST表示比例于exp(±3ik1T0)的項，如果有

(38)

(39)

(40)

式中：

γ=σT2-β

(41)

將式(40)、式(41)中消去β得

(42)

所以到二次近似為止，得

(43)

令式(39)、式(42)中的D2α=D2γ=0，系統的穩態解為

(44)

(45)

式(44)、式(45)的平方后求和得

(46)

設α≠0時，將式(46)整理為

(47)

對于(15,15)單壁碳納米管，參數與上例一致。目前，碳納米管的阻尼系數尚缺乏系統的研究。為簡化討論，取2ε2c=0.05，其中,c=2.5，得ε=0.1。通過式(46)，令f=5得到對應的頻響曲線如圖4、圖5所示。

如圖4所示，初始變形可以使碳納米管的力學性質由硬非線性變為軟非線性，所以初始變形對碳納米管的力學性質的影響很明顯。當存在初始變形時，即為軟彈簧時，非線性本構中的非線性項相比初始變形對其影響較小。當不存在初始變形時，即為硬彈簧時，非線性本構中的非線性項對其影響很大，在一定頻差范圍內，起了剛度弱化的作用。如圖4、圖5所示，單一的分析一個變量可以得出，初始變形和非線性本構中的非線性項都能改變振幅的分岔點的位置，在分岔點處，碳納米管的振幅會伴隨參數的輕微變化而突然改變，這對結構振動產生了顯著影響。通過式(46)，并取定σ=5的數值，可得到對應的激勵振幅響應曲線，如圖6、圖7所示。

圖4 考慮非線性本構的非線性項或初始變形時的 頻響曲線Fig.4 The frequency response curve when considering the nonlinear term of the nonlinear constitutive or initial deformation

圖5 D=-2 TPa時不同初始變形對頻響曲線的影響Fig.5 The effect of different initial deformations on the frequency response curve for D=-2 TPa

如圖6所示，當不存在初始變形時，振動方程中的二次非線性項消失，兩條曲線都出現了分岔點，非線性本構中的二次非線性項改變了分岔點的位置。當存在初始變形時，在一定范圍外加荷載的作用下，兩條曲線是單調的，即二次非線性項使分岔點消失，顯著改變了碳納米管的力學行為。在這種情況下，非線性本構中的非線性項相比初始變形對結構的影響較小。如圖7所示，當同時考慮非線性本構中的非線性項和初始變形時，這兩種因素使碳管在一定范圍外激勵荷載作用下極大強化了系統剛度，顯著降低了振動效應。

圖6 考慮非線性本構的非線性項或初始變形時的 響應曲線Fig.6 The response curve when considering the nonlinear term of the nonlinear constitutive or initial deformation

圖7 D=-2 TPa時不同初始變形對響應曲線的影響Fig.7 The effect of different initial deformations on the response curve for D=-2 TPa

4 結論

(1)在靜力彎曲中，初始變形誘發了二次非線性項使碳管靜力變形變得復雜。非線性本構誘發的非線性項弱化了碳管的剛度。

(2)在受迫振動中，初始變形和非線性本構中的非線性項都能改變振幅的分岔點的位置。