非線性網絡控制系統的帶約束分布式H∞模糊控制*

鄭秀麗, 陳明杰, 傅薈璇

(1.河南工學院 電氣工程與自動化學院,河南 新鄉 453003;2.哈爾濱工程大學 智能科學與工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

T-S模糊模型逼近非線性系統模型是解決非線性系統控制問題的一種有效方法。該方法建立起模糊控制系統與線性控制系統之間的聯系,為系統穩定性分析奠定了基礎。近年來,模糊系統的穩定性研究主要是基于T-S模糊系統和Lyapunov函數的,很多研究人員對模糊系統穩定性進行分析[1-5],研究了H∞穩定控制器設計[6-9]。隨著網絡通信技術和計算機技術發展,網絡控制系統(NetworkedControlSystems,NCS)因其成本低、重量和驅動要求低、結構簡單、可靠性高[10]等優點逐漸成為研究熱點。然而,在NCS中,信號通過通信網絡進行傳輸時會存在信號丟失問題,應用上述模糊控制方法很難取得較好的控制效果,使得系統分析和設計更加困難。針對這個問題,已經有了很多研究成果,如NCS控制方法的相關研究[11-13]、具有有限數據丟包的NCS穩定性分析等[14-15]。

但到目前為止,這些研究成果大都是針對線性系統的。本文針對一類非線性網絡控制系統(NNCS),在控制輸入受限的條件下,為解決系統分布式干擾和非線性問題,進行帶約束分布式H∞模糊控制器設計。首先利用T-S模型建立非線性對象的模型,然后利用分布補償方法設計一種分布式模糊狀態反饋控制器,滿足在控制約束條件下閉環NNCS系統的H∞性能穩定。利用有限差方法和線性矩陣不等式(LMI)最優化方法解決這種不理想模糊控制設計問題,通過仿真驗證所提控制方法的有效性。

1 問題描述

利用T-S模糊模型描述非線性網絡控制系統,則模型規則i為[16]:

IFθ1(t)ThenMi1,…,IFθl(t)ThenMil,那么:

(1)

式中,Mij是模糊集,x(t)∈Rn是狀態變量,u(t)∈Rm是輸入變量,w(t)∈Rp是干擾輸入,z(t)∈Rq是控制輸出,Ai,B1i,B2i,Ci,D1i,D2i是已知常數矩陣,r是IF-Then規則的個數,θ1(t),…,θl(t)是前提變量,在本文中假設θi(t)不依賴于輸入變量。任意給定(x(t),u(t)),則模糊系統輸出為:

(2)

(3)

(4)

基于并行分布補償方法,對式(2)和(3)采用模糊控制規律,則控制規則j為:

如果θ1(t),…,θl(t),那么

u=Kjx(t)

(5)

式中,Kjx(t)是狀態反饋控制器的增益矩陣。總的模糊控制器可以被表示為:

(6)

在工程實際中,通常希望設計一種不但穩定而且能保證適當性能指標的控制系統。為了減小w(t)的影響,一般采用H∞控制方法處理這類干擾抑制問題。

針對式(2)和(3)的模糊系統設計H∞控制器,在零初始條件下,需要考慮下面性能:

(7)

式中,P>0是n×n的正定矩陣,γ>0是H∞性能穩定準則。

為得到一個低于指定標準的干擾抑制,要求過程控制輸入有一個較高的量級。但是,在實際工程中這是不可能的,且控制輸入被限制在一定量級,因此,將量級限制引入控制輸入中:

(8)

式中,umax是給定正定標量。

當u(t)≡0時,式(2)的系統被稱為自然模糊系統;當w(t)≡0時,則被稱為無干擾模糊系統,引入下面的定義。

定義1 假設ρ>0,當u(t)≡0,w(t)≡0時,式(2)所示的無干擾模糊系統以指數ρ漸近穩定的充分條件是存在一個常數σ>0使下式成立[16]:

(9)

將式(6)帶入式(2)和式(3)得:

(10)

(11)

因此,針對如式(2)和式(3)所示的模糊系統,需要設計一個分布式H∞模糊控制器,使得如式(10)和式(11)所示的閉環系統也是帶γ干擾抑制的ρ指數穩定。

2 帶約束分布式H∞模糊控制器設計

選擇李雅普諾夫函數為:

V(x(t))=xT(t)Px(t)

(12)

式中,P>0,則V(x(t))沿如式(10)和式(11)所示的閉環系統對時間微分,因此:

dV(t)/dt=[Ax(t)+B1w(t)]TPx(t)+xT(t)P[Ax(t)+B1w(t)]=xT(t)[PA+*]x(t)+Γ1

(13)

式中,Γ1=2x(t)PB1w(t),*是對應矩陣的轉置矩陣。

根據定義1和定義2,由式(13)得:

(14)

因此,由定理1給出線性矩陣不等式形式的NNCS系統指數漸進穩定充分條件。

定理1 如式(2)和式(3)所示的模糊系統,對給定標量ρ>0和r>0,存在如式(6)形式的模糊控制器使得閉環系統是帶γ干擾抑制的ρ-ES,如果存在一個對角陣Q=diag{q1,q2,…,qn}>0,且存在m×n維矩陣Ri,i=1,2…,r,滿足下面的微分線性矩陣不等式(DLMI),則NNCS系統以ρ指數漸進穩定。

(15)

(16)

式中,Δij=[AiQ+B2jRi+*],R(x)=2ρQ。

因此,模糊控制器的增益矩陣為:

Ki=RiQ-1,i=1,2…,r

(17)

證明:設P=Q-1,Ri=KiQ,i=1,2…,r,利用文獻[1]中的定理2,我們可以推斷如果對于一些對角陣Q>0和一些矩陣Ri,i=1,2…,r,如式(15)所示DLMI成立,那么下面的不等式成立:

(18)

通過舒爾茨補,式(18)可等價為:

(19)

由式(11)、(14)和式(19),我們可以得到:

(20)

對式(20)從t=0到t=∞積分得:

(21)

整理得:

(22)

因為t≥0時,V(t)≥0,從式(22)可得:

現在證明如式(14)所示的無干擾系統是ρ-ES的。當w(t)=0時,式(20)可被簡化為:

(23)

dV(t)/dt+2ρV(t)<0,?t≥0

(24)

利用文獻[2]中的引理1,由式(24)得出式(10)和式(11)的無干擾系統在希爾伯特空間是ρ-ES的。由P=Q-1,Ri=KiQ,可以得到式(17)。

注釋1 很明顯,如式(1)所示的模型包含一類特殊情況B2j(·)=B2,D2j(·)=D2。在這種情況下,定理1中如式(15)所示的DLMI可簡化為:

(25)

式中,Δij=[AiQ+B2Ri+*]。

從定理1的證明過程中可知, 若存在一個對角陣Q>0, 矩陣Ri,i=1,2…,r, 滿足如式(15)所示的DLMI,則式(20)成立。當t>0,對式(20)從0到t進行積分:

(26)

V(t)≤φ,t>0

(27)

式中,φ>0是標量。

基于定理1,?t>0,如式(8)所示的控制約束能加入如式(6)所示的分布式H∞模糊控制器中,因此得到定理2。

定理2 假設存在一個對角陣Q>0,一個矩陣Ri,i=1,2…,r,滿足如式(15)所示的DLMI。如果式(28)和式(29)的代數線性矩陣不等式(ALMI)成立,則?t>0,如式(8)所示的控制約束能被引入如式(6)所示的分布式模糊控制器中。

(28)

(29)

證明:通過舒爾茨補并基于定理的假設條件,式(28)和式(29)可以分別表示如下:

(30)

(31)

由式(30)可得到式(31)。在式(31)兩邊前后分別乘φumaxP,可得:

(32)

(33)

由式(6)和式(33),?t>0,可得:

(34)

由式(32)和式(4),式(34)可表示為:

(35)

由式(27)和式(35),?t>0,則如式(8)所示的控制約束可以實現。

為使衰減標準γ盡可能小,對一些給定標量ρ>0,在式(15)或式(25)、式(28)和式(29)的D/ALMI的條件下,研究下面的最優化問題:

(36)

很明顯解決上式最優化問題很困難。然而,利用有限微分方法和現有的線性矩陣不等式最優化技巧,式(36)中的最優化問題能被近似解決。

首先進行離散化,在單位時間內認為時間導數反演微分存在,即dQ(t)/dt≈Q(k)-Q(k-1)。但是,對于給定標量ρ>0,式(15)和式(25)所示的DLMI可被下面的離散線性矩陣不等式近似為:

(37)

(38)

(39)

式(28)和式(29)所示的ALMI可被下面的離散線性矩陣不等式近似為:

(40)

(41)

對于給定標量ρ>0,在式(37)或式(38)、式(40)和式(41)的線性矩陣不等式的條件下,一種不理想的帶約束的分布式H∞模糊控制器設計問題可以轉化為近似線性矩陣不等式最優化問題:

(42)

注釋2 注意由反向微分(即dQ(t)/dt≈Q(k)-Q(k-1))得出式(15)和式(16)的DLMI時間變量近似值誤差。基于標準的歐拉方法的分析結果,誤差被表示為:e0.5φE,E=max‖dQ(t)/dt2‖F是已知常數,φ是離散化的時間單位量,很明顯,當φ→0時,誤差收斂于0。

3 仿真驗證

基于T-S模糊模型的非線性系統:

規則1:如果x(1)是h1(x(1)),那么

規則2:如果x(2)是h2(x(2)),那么

分布式H∞模糊控制器如下:

控制規則1:

如果x(1)是h1(x(1)),那么u=K1x(t)

控制規則2:

如果x(1)是h2(x(1))(x(1)),那么u=K2x(t)

式中,K1=[-0.57 0.5],K2=[-0.86 0.15]。

圖1 無外界干擾的閉環系統狀態響應 圖2 干擾不為0的閉環系統狀態響應

圖3 輸出信號

4 結束語

本文針對一類NNCS分布式干擾抑制控制問題進行了研究。重點在于設計帶約束的分布式H∞模糊控制器,以DLMI和ALMI形式給出了保證系統魯棒性能的充分條件是使衰減標準γ最小化,利用有限微分方法和LMI最優化技巧設計帶約束的模糊控制器。這種帶約束的模糊控制器便于工程實現,在實踐中具有很高的應用價值。