一類非線性分數階微分方程的數值解

金艷玲

(山西大學商務學院，數學教研部，太原 030031)

分數階微積分是一個古老的課題，分數階微分方程在高能物理、化學、醫學、生物學等方面都有著廣泛的應用。探討微分方程的求解方法尤為重要，但精確解卻很難獲得。很多學者在分數階微分方程的數值解方面都做了大量的研究。文獻[1]采用了基本的分數差分法、Adomain分解法、和變分迭代法對一類線性分數階微分方程的數值解進行了討論，并利用實例給出各種方法計算效果的對比。文獻[2]利用樣條插值方法討論了一類非線性微分方程的數值解。[3]則用分數樣條法解決了分數階線性微分方程組的數值解。文獻[4]-[9]討論了小波分析方法在分數階微分方程求解中的應用。則在文獻[1]所討論的方程中，改變其分數階導數項，并利用分數差分法探討其解。

1 基本概念

在分數階微積分的發展過程中，出現過以下幾種基本定義Riemann-Liouville分數階積分算子：

(1)

J0f(x)=f(x)，

(2)

(3)

Caputo意義下函數f(x)的分數階導數

(4)

注：DαJαf(x)=f(x)

(5)

Gr-nwald-Letnikov意義下的分數階導數

(6)

2 主要方程

主要討論了如下方程：

(7)

文獻[1]中討論的方程為下列方程中g(t)=1的情況。

特別地，當g(t)=1,n=1,0<α≤1時，此方程的形式恰為分數階弛豫方程：

(8)

當g(t)=1,n=2,1<α≤2時，此方程的形式恰為分數階振蕩方程：

(9)

3 方法討論

差分法是解決微分方程數值解的有力工具。對于分數階微分方程，利用Grnwald-Letnikov意義下的分數階微分的定義及其等價性，使用分數差分法也是行之有效的。所以，對于上述微分方程，我們利用定義3可以得到以下差分形式：

(10)

其中：tn=nhun=u(tn)

(11)

(12)

4 數值算例

我們考慮如下方程

(13)

其中

(14)

經過探討可知，該方程的精確解為u(t)=t3-t2

利用分數差分法，使用遞推公式

(15)

利用Matlab軟件，分別取步長為0.1和0.01，可得到數值解與真值對比圖如下:

通過上述例子的討論，并由圖表可以看出，數值解與精確解的對比數據，誤差隨著h的減小而減小，進一步說明該算法在求解此類分數階微分方程中很有效。