2021年全國新高考Ⅰ卷數學試題評析

山東 叢以權

(作者單位：山東省招遠市教學研究室)

2021年普通高等學校招生全國統一考試數學全國(新高考Ⅰ卷)的命題，貫徹落實了高考內容改革總體要求，實施德智體美勞全面發展的教育方針，聚焦核心素養，突出關鍵能力考查，落實立德樹人根本任務，充分發揮考試的引導作用，切實體現高考的育人功能.試題突出數學本質，重視理性思維，堅持素養導向、能力為重的命題原則；倡導理論聯系實際、學以致用，突出方向性、堅持科學性、反映時代性、體現民族性，通過設計真實問題情境，體現數學的應用價值；穩步推進改革，科學把握必備知識與關鍵能力的關系，科學把握數學題型的開放性與數學思維的開放性，穩中求新，體現了基礎性、綜合性、應用性和創新性的高考考查要求.

一、試卷總體分析

(一)考查范圍

全國新高考Ⅰ卷是第二次使用，適用于山東、湖北、江蘇、河北、廣東、湖南、福建七省.教育部正式推行新教材改革是2019級，所以本次高考數學所涉及的范圍仍為過渡教材內容，依據《新高考過渡期數學科考試范圍說明》，科學設計考試內容，重點關注《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中的公共內容，并將這些內容確定為過渡時期的數學學科考試的重點內容.整個試卷嚴格控制在考試范圍內，起到了很好的過渡作用.

(二)題型與結構

《深化新時代教育評價改革總體方案》提出了構建引導考生德智體美勞全面發展的考試內容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械刷題”現象的要求.新高考Ⅰ卷很好地貫徹了這一精神，在2020年的基礎上又有所變化，比如去年考過的結構不良試題，今年沒有考查，但是填空題的一題兩空仍進行了體現(第16題).試卷結構和去年相同，仍為單選題8小題40分，多選題4小題20分，填空題4小題20分(含一題兩空)，解答題6小題70分，其中第1小題10分，其余均為12分，全卷試題總量為22道，共150分.

(三)難度把控

2021年新高考Ⅰ卷進一步強化高考“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能，在基礎性、綜合性、應用性和創新性問題比例方面把控得當，體現了先易后難、逐步深入的特點，對考生知識與能力、心理與品質等綜合能力考查到位.比如單項選擇的前6道、多選題的第9，10題、填空題的第13，14題，以及解答題的第17，18，19，20題都是側重基礎方面的考查，而第7，11，12，15，22題則體現了綜合性與應用性的考查，第8，16題和第21題在創新性方面有所體現.整份試卷重視數學核心素養，適合不同層次的考生，考查角度靈活，難度適中.

(四)問題情境

從整體看，相較于2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)，對生活實踐問題情境和學習探究問題情境的考查有所增加，在第8題設置了取小球的概率情境考查獨立事件的概念，在第16題設置了傳統工藝的剪紙情境，考查數列的項與數列求和問題，在第18題設置了“一帶一路”知識競賽情境，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望問題.從某個角度上看，第12題作為命題者改變傳統的立體幾何情境，用向量的方法表達點與直線的位置關系，應該說是對問題情境很好的創新.

二、創新試題評析

【例1】(2021·新高考Ⅰ卷·7)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則

( )

A.eb

C.0

【解析】解法一：做出y=ex的圖象，如圖觀察圖象可得，b>0，同時點(a,b)只能在y=ex的圖象的下方，所以b

令f(x)=(a+1-x)ex，則f′(x)=(a-x)ex，顯然x∈(-∞,a)時,f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，當x∈(a,+∞)時,f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，所以f(x)在x=a處取得最大值，要使b=(a+1-x)ex有兩解，只需b0,ex>0，所以b=(a+1-x0)ex0>0，即0

【評析】本題以曲線的切線為載體考查考生對數學的理解，能夠滿足不同層次考生的需要，對考生數學核心素養的考查到位.

【例2】(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性；

【解析】(1)f(x)=x(1-lnx),x∈(0,+∞)，

所以f′(x)=1-lnx-1=-lnx，

所以當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增；

當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.

綜上，f(x)在(0,1)上單調遞增，f(x)在(1,+∞)上單調遞減.

不妨令x1∈(0,1)，x2∈(1,e)，則2-x1>1.

①證明22-x1，

即證f(x2)=f(x1)

令h(x)=f(x)-f(2-x)，

則h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]，

因為x∈(0,1)，所以x(2-x)∈(0,1)

故h′(x)>0恒成立，h(x)單調遞增，

所以h(x)

因為2

②證明x1+x2

證法一：因為x2>1,e-x1>1且f(x)在(1,+∞)上單調遞減，

即證f(x2)=f(x1)>f(e-x1)，

令φ(x)=f(x)-f(e-x),x∈(0,1)，

則φ′(x)=-ln[x(e-x)]，令φ′(x0)=0，

x∈(0,x0),φ′(x)>0,φ(x)單調遞增；

x∈(x0,1),φ′(x)<0,φ(x)單調遞減.

又x>0，f(x)>0，且f(e)=0，故x→0，φ(0)>0，

φ(1)=f(1)-f(e-1)>0，所以φ(x)>0恒成立，

x1+x2

證法二：因為x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)>x1，要證x1+x2

只需證x2(1-lnx2)+x2

g′(x)=1-lnx>0，所以g(x)在x∈(1,e)上單調遞增，

所以g(x)

證法三：因為f′(e)=-lne=-1，所以f(x)在(e,0)處的切線方程為ω(x)-0=-1×(x-e)，即ω(x)=e-x，

由(1)可知，當x∈(0,e)時，f(x)是凸函數，則有f(x)<ω(x)，

令t=f(x1)=f(x2)，則t=f(x2)<ω(x2)=e-x2，

可得t+x2x1，x1∈(0,1)，

所以x1+x2

證法四：不妨設x2=tx1(t>1)，由x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)可得，

要證x1+x2

【評析】本題為導數、不等式的綜合應用，其中極值點偏移問題是高考考查的熱點內容，證明不等式往往和函數的單調性有關，證法一和證法四分別構造不同的函數，利用函數單調性進行證明，證法二和證法三分別利用x1(1-lnx1)>x1和切線放縮，使問題簡單明了.

【解析】利用樹狀圖， 可快速得到不同規格圖形的種數為5，同時可得S1=120×2,S2=60×3,S3=30×4,S4=15×5，

【評析】本題以民間剪紙藝術為情境，考查數列的項與錯位相減法求和問題，數學抽象是關鍵，對于不同的問題情境建立數學模型是重點考查的核心素養，這也是數學本質的體現.

( )

A.當λ=1時，△AB1P的周長為定值

B.當μ=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值

(作為多項選擇題，此題答案已經很明顯，D選項一定正確.)

【評析】本題以正三棱柱為載體，以向量的方法表達位置關系，這種情境的展示應該說是一次創新，考查的知識仍然是立體幾何的基礎知識，如線面平行、線線垂直、線面垂直等，解題的關鍵是把問題弄清，確定λ或μ的值相當于確定了點P的位置，本題放在選擇題的最后一題，難度不是很大，如果將P置于整個正方形BCC1B1中，則難度會加大.