新課標、新高考、新教材背景下教育質量檢測工具的跨區域研發項目成果展示

山西 李小麗 江蘇 胡道國 遼寧 閆海鵬

(作者單位：山西省平遙中學校 江蘇省宿遷市沐陽如東中學 天津市翔宇力仁學校)

【試題一】對于函數f(x)，若存在常數a≠0，使得x取定義域內每一個值，都有f(x)=f(2a-x)，則稱f(x)為準偶函數.下列函數中是準偶函數的是________(把所有滿足條件的序號都填上).

【試題解析】

剖析新定義：即函數f(x)是軸對稱圖形，且至少存在一條非y軸的對稱軸.

①只有當a=0時，滿足f(x)=f(2a-x)，所以f(x)不是準偶函數；

③設g(x)=-x2+2|x|，h(x)=-x2+2x-1+2|x-1|，易得h(x)=g(x-1)，因為g(x)是偶函數，關于y軸對稱，所以p(x)=2g(x)也是偶函數，而f(x)可看成是由p(x)向右平移1個單位長度所得，所以f(x)的圖象關于x=1對稱，即f(x)=f(2-x)；

綜上，滿足條件的是②③④.

1.命題依據

【學科型專業依據】本題對應高考填空題中14、15題的位置，對知識點、難度的考查類似，基本初等函數以及以基本初等函數為載體的復合函數和分段函數的性質是高考中的高頻考點.

【教育測量學依據】本題以山西省平遙中學高三年級學生為測試樣本，難度系數0.7，符合高考題的難度區間，是一道很好的創新題.

【教學經驗型依據】

易錯點學生易錯選①學生易受y=sinx的影響認為y=sin|x|也有無數條對稱軸易錯點學生易漏選③學生沒有掌握復合函數的奇偶性判斷以及不能很好地利用平移來把握奇偶性與對稱性的關系易錯點學生易漏選④學生不能很好地利用定義驗證函數的奇偶性與周期性

2.命題意圖

本題以一個新定義為載體，考查學生獲取新知識的能力和對新問題的探究能力，挖掘數學問題的本質：函數的奇偶性，對稱性，把握奇偶性與對稱性的區別與聯系(可通過函數的平移實現轉化)；奇偶性、對稱性、周期性三者是知二推一的關系.考查二次函數、三角函數、指數函數等基本初等函數與以絕對值函數為代表的分段函數的圖象與性質；考查復合函數的奇偶性與對稱性；另外還引進高等代數中一個特別重要的分段函數——狄利克雷函數，由此讓學生深刻體會奇偶性、對稱性、周期性的嚴格定義.提高學生對知識的整合運用能力，考查了數學抽象與邏輯推理的學科素養.

A.40 408 B.40 432

C.40 420 D.80 840

如果右焦點射出光線不沿長軸方向的話，經反射后匯聚到左焦點，相當于從左焦點再次射出光線，依然不沿長軸方向，經反射后匯聚到右焦點，即光線第一次回到右焦點經過的路程為4a即40 cm，故第2 021次回到該焦點所經過的路程長為2 021×40=80 840 cm；

如果右焦點射出光線沿長軸方向的話，分成兩種情況：第一類是經右頂點反射直接回到該焦點，光線經過路程為2a-2c即8 cm，第二類是路過左焦點經左頂點反射回到左焦點再次回到右焦點，光線經過的路程為2a+2c即32 cm.若按照第一類情況，光線第2 021次回到該焦點所經過的路程1 010×32+1 011×8=1 010×40+8=40 408 cm；若按照第二類情況，光線第2 021次回到該焦點所經過的路程1 011×32+1 010×8=1010×40+32=40 432 cm，故選ABD.

1.命題依據

【學科型專業依據】

教無定法，考無定勢，新高考下已無考試大綱，對學生的知識考查已回歸課本，注重定義本質的理解，性質內涵的研讀，知識鏈式的構建.命題的角度已呈現發散式、開放式、鏈條式等諸多特征.學科的核心素養要求學生不能靠單純的刷題，而要去平心靜氣地感悟數學，理解數學，并能夠應用數學.

【教育測量學依據】

新授課階段容易忽視對教材中衍生內容(閱讀部分等)的研究，重視概念、性質的解題應用；復習課階段零散知識點容易遺漏；乃至實際形成學生的知識“盲點”，同時，重視章節所謂“重難點”教學，忽視概念的來龍去脈，導致學生對概念的一知半解.

【教學經驗型依據】

易錯點1：對教材閱讀部分的圓錐曲線的光學性質，實際教學過程中很多教師會忽視，從而形成學生的知識盲點；

易錯點2：學生容易借助不沿長軸方向的反射形成單一模式認知，形成D選項，忽視光線沿長軸方向的反射情況；

易錯點3：意識到沿長軸方向的反射，但無法提煉出正確的運算形式導致結果出錯.

2.命題意圖

本題借助物理社團的光學實驗發現橢圓的光學性質，注重對學生的勞動教育、實際動手能力的鍛煉、發現問題、解決問題能力的培養；注重考查學生對橢圓基本性質、焦點三角形周長等的掌握，滲透分類討論、化歸與轉化的數學思想，體現學生直觀想象、數學運算、數學抽象學科核心素養，引導教師的教學要回歸教材，要“接地氣”，要重視對教材的研讀、知識的拓展.

(1)求橢圓的方程；

【試題解析】

(1)若選①.

若選②.

若選③.

因為Δ≥0,

因為Δ>0,

解得k=±1.

1.命題依據

【學科型專業依據】本題參照2020年新高考數學全國Ⅰ卷(供山東省使用)中的17題，命制為結構不良試題.圓錐曲線中直線與橢圓的位置關系是高考中的高頻考點.

【教育測量學依據】本題難度系數為0.32，符合新高考20，21題的難度區間.

【教學經驗型依據】

易錯點不熟悉題型結構不良試題,學生容易不知道選擇哪一個作為切入點易錯點P點坐標已知不會表示中點 PQ直線與橢圓方程聯立,利用韋達定理可以直接表示中點坐標,學生容易糾結于P點坐標已知,是否可以直接求出M點坐標易錯點計算失誤第(2)問中涉及兩次聯立方程組和應用韋達定理,對學生的計算能力與計算技巧考查較多

2.命題意圖

本題基礎性、應用性考查落實，以橢圓的相關知識點為背景，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的數學運算、邏輯推理的數學核心素養.