借助幾何畫板，助力解題教學

甘肅 張建文

(作者單位：甘肅省岷縣第一中學)

由于信息技術的迅猛發展,教師授課方式在逐漸發生變化，以幾何畫板為主要媒介的圖形教學和解題教學的形式也隨之發生變化.本文主要研究論述了幾何畫板的主要作用和使用原則，以及在解題教學中如何借助幾何畫板輔助學生作圖分析.以案例的形式和師生互動的方式展現幾何畫板以及圖形分析的特點，在培養學生直觀想象核心素養方面有很大的促進作用.同時在極力推單元教學的浪潮下，運用多媒體創新教學方式已經成為教學研究的主要領域.下面筆者就以核心素養主題下借助幾何畫板進行教學探究進行簡單論述.

一、幾何畫板的作用

幾何畫板作為一種技術手段，能夠多角度的輔助教學，提高教學效果,對課堂教學產生了深遠影響.幾何畫板在教學中的重要作用主要體現在以下幾個方面：

1.幫助教師進行教學設計.課堂教學應遵循知識的發生發展過程和學生的認知規律,在有關圖形教學的時候,教師可以借助幾何畫板直觀展現圖形的幾何特征，分析點線面之間的位置關系和動態變化規律.幾何畫板作為課堂技術支持手段,能夠解決教師作圖慢效果差的困境,提高教師的課堂駕馭能力，助力教師教學水平的提升.

2.驗證作圖結果，幫助學生培養直觀想象素養.直觀想象素養是六大核心素養之一,主要通過學生描述和繪制圖形進行培養的.在課堂教學中,學生可以直觀觀察標準圖形的特點,糾正自己的思考錯誤,通過教師的引導，形成科學有效的思考方法.同時在解題教學中,可以借助幾何畫板來驗證自己作圖的正確性,糾正自己錯誤的作圖方式，提高作圖的效率.

3.優化教學策略.基于核心素養的教學設計更注重教學情境的設計,幾何畫板能夠提供不同形式的教學情景,由單一轉向多樣,使得學生在思考中觀察,觀察中思考,切實優化教學策略.教學有法,教無定法,貴在得法,教師要結合具體學情，借助幾何畫板可以設計多樣化的教學過程,主要在立體幾何、函數圖象和解析幾何等知識模塊中有較好的應用.

二、幾何畫板的使用原則

幾何畫板在高中數學作圖教學和解題教學中具有強大的作用，我們在培養學生直觀想象核心素養的時候一定要創造性的應用幾何畫板.注意在使用幾何畫板的過程中應該遵循以下基本原則：

1.適應性原則.高中數學教學內容設計包含多個不同的模塊,在處理不同學習模塊的教學內容時，用到的教學手段也不盡相同.在涉及圖形教學或動態演示的教學內容時，可以嘗試幾何畫板,直觀形象地展現知識的生成過程和變量之間的變換關系,這能極大的激發學生的學習興趣.

2.主次性原則.先進教學技術的應用旨在提高學生的數學能力,幾何畫板作為教學輔助手段,是配合教師來促進學生思維發展的重要工具.一般地,學生先要經歷獨立的思考過程，對圖形的生成過程和動態變化在大腦中有一定的預演,但是存在一定的不解和迷惑,這時幾何畫板通過直觀展示圖形的變化過程和動態特點就可以達到事半功倍的效果.這個教學先后順序若顛倒就會極大地抑制學生的思維發展,不利于教育教學效果的提高.

3.適量性原則.對于幾何畫板在教學中的應用要遵循適量性原則,適量就是要控制幾何畫板的使用頻率.一堂課的容量應該體現在學生的思維量上面,換言之就是應用信息技術手段都是為了促進學生的思維發展.根據教學內容的自身特點思考是否使用幾何畫板、怎樣使用幾何畫板以及幾何畫板在一堂課教學中的比例問題等.適量的圖形演示可以快速解決學生的思維困惑，提高學習的趣味性.

4.適時性原則.教學不是簡單機械的知識灌輸,而是思想和思想的碰撞.古代教育思想家孔子說“不憤不啟，不悱不發”就體現了教學的適時性原則.在學生經歷了獨自思考后進行圖形演示，在學生能夠基本厘清變量間的變化過程后展示動態圖形,這樣在恰到好處的時間點應用幾何畫板更能夠提高課堂教學效率,不至于使得教學過程過于單調，以促進學生積極思考.

三、幾何畫板的應用

幾何畫板作為信息技術融入教學的典型代表,在不同知識模塊當中具有不同的表現，下面就分類體現幾何畫板對教學的輔助作用.

1.函數中的參數問題

在解題教學中,對于函數零點問題或是函數中參數求解問題,通常需要繪制函數圖象來進行思路分析.一般地，繪制函數圖象都是通過對函數性質的分析來進行的,但這樣繪制的函數圖象通常在圖象的走勢和特殊點處有誤差,此時通過幾何畫板準確繪制函數圖象,用以糾正作圖誤差，輔導學生進行理性思考.

例1.已知函數f(x)=(x-1)ex.

(1)若關于x的方程f(x)=λx只有一個根，求實數λ的取值范圍；

(2)若x=0是函數g(x)=2f(x)-ax2的極大值點，求實數a的取值范圍.

教學案例分析(師生互動過程)：

師：直線x=0有何特點？如何作出函數h(x)的圖象？

生：可知直線x=0為函數h(x)的一條漸近線，而且有：

當x→+∞時，h(x)→+∞；當x→0+時，h(x)→-∞；

當x→-∞時，h(x)→0；當x→0-時，h(x)→+∞.

由此可以得到函數h(x)的草圖如圖.

師：現在我們利用幾何畫板作圖檢驗:

觀察比較自己的手工草圖與標準圖象之間有何差異？

生：雖然單調性一致，但是自己作圖的規范性和準確性還是有一定的偏差.

師：現在利用幾何畫板動態演示兩圖象的交點情況：

h(x)與y=λ圖象有兩個交點

h(x)與y=λ圖象只有一個交點

生：由此可知λ的取值范圍是(-∞,0].

師：第二問g(x)=2(x-1)ex-ax2,g′(x)=2xex-2ax=2x(ex-a).

由于x=0是g(x)的極大值點,所以x=0是g′(x)的零點，且y=g′(x)在x=0附近的取值是先正后負.如何理解“y=g′(x)在x=0附近的取值是先正后負”？

生：函數y=g′(x)在x=0附近單調遞減，而且g′(0)=0.

研究函數g′(x)=2x(ex-a)的簡圖，可以確定y=g′(x)在x=0處取值的正負情況.

①當a≤0時，ex-a>0,y=g′(x)的取值正負與y=x完全一致,如圖：

可知x=0不滿足題意.

②當a>0時，令g′(x)=0，得x=0或x=lna.g′(x)=2x(ex-a)的取值正負y=x(x-lna)完全一致.作y=x(x-lna)的圖象：

通過觀察圖象，可知a的取值范圍是(1,+∞).

師：非常好！我們可以利用幾何畫板作出函數g′(x)的準確圖象，比較分析與自己所作簡圖的異同.

生：雖然自己作圖太粗糙，但也能說明問題.

思考與總結：此例題是師生互動的真實過程,題目的解答依賴于學生直觀想象思維,需要學生自己形成解答思路,但作圖時可能會有所偏差，所以教師可以通過幾何畫板進行模擬演示,糾正學生作圖時的誤差,提高學生的直觀想象能力.同時化歸與轉化思想的運用處處都在,值得一提的是,將導函數的簡圖轉化為二次函數進行手工作圖,既保證了題意不變又簡化了求解過程.

例2.函數f(x)=ex|ex-2|+2,若函數f(x)在區間[m,n](m

( )

分析：根據題意,需要借助于函數f(x)的圖象來進行分析.由于解析式中含有絕對值符號,可以考慮寫成分段函數進行研究.

生：分段判定函數的單調性,再分段畫圖,最后整體分析，關鍵是作出比較準確的圖象.

①當x≥ln2時,f(x)=e2x-2ex+2,

所以f′(x)=2e2x-2ex=2ex(ex-1)>0，

故f(x)在[ln2,+∞)上單調遞增,且f(ln2)=2.

②當x

所以f′(x)=-2e2x+2ex=2ex(-ex+1)，

故f(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,ln2)上單調遞減,

且f(0)=3,f(ln2)=2.

根據單調性作簡圖如圖：

師：此圖正確嗎？能否據此獲得m,n的取值范圍？

生：假設此圖正確,還需要解兩個方程.

①當x

當x

師：函數f(x)的圖象該如何調整？

生：可以從函數值的變化規律上尋找突破口,考慮極限問題.當x→-∞時,f(x)→2,故函數簡圖可以調整為如圖：

師：我們可以利用幾何畫板來驗證作圖的正確性.

生：雖然我們自己作出的圖象和準確圖象有一定的差距,但是也能夠說明圖象趨勢.

師：如何理解“f(x)在[m,n]上的取值范圍是[2,3]”？

思考與總結：此題解答的基礎是準確地作出函數圖象的簡圖.作圖過程能夠訓練學生大腦繪圖,培養學生直觀想象的素養,作圖的嚴謹性體現出學生理性思維的嚴謹性.幾何畫板作為現代信息技術教學工具,合理利用幾何畫板能夠提高課堂教學效果,但是不能代替學生進行獨立思考.

2.動態變化中的最值問題

現將其沿圖中虛線折起，使得P1,P2,P3,P4四點重合為一點P,從而得到一個多面體.下面關于該多面體的命題,正確的是________，(寫出所有正確命題的序號)

①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為5πa2.

分析：在折疊問題中，需要先根據圖形變化繪制出幾何體的直觀圖，在折疊過程中要明確哪些幾何元素之間的關系發生變化，哪些幾何元素之間的關系沒有發生變化，由此確定該幾何體當中幾何元素的關系，進而進行推理得到新的結論.

師：折疊過程中哪些幾何元素之間的關系發生了變化？

生：P1,P2,P3,P4的位置發生變化，且與邊AC的相對位置發生變化,構成新的三角形PAC.

師：哪些幾何元素之間的關系沒有發生變化？

生：四個角∠AP1B,∠BP2C,∠CP3D,∠AP4D的大小沒有變,△ABC,△ADC沒有變化.

師：該多面體有哪些新的性質或特點？

又由于PD⊥PC,PD⊥PA,所以PD⊥平面PAC.同理得PB⊥平面PAC.

師：你能描述一下圖形的形狀嗎？你能作出它的簡圖嗎？

生：該多面體可以這樣構成：由Rt△PAC出發,過直角頂點P作垂線PB⊥平面PAC,在此垂線上有點D滿足PD=PB.據此可以構造該幾何體的簡圖.

師：我們一起來體會圖形的折疊過程,驗證自己的分析是否正確.

幾何畫板演示圖形的折疊過程：

圖形折疊過程具體為：圖①→圖②→圖③.為了使得原多面體看起來更加直觀,可以將該多面體適當旋轉得到圖④和圖⑤.你能說說該幾何體的特征嗎？

圖①

圖②

圖③

圖④

圖⑤

圖⑥

師：如何求解該三棱錐的外接球半徑？

生：由于該三棱錐的對棱對應相等,所以可以將該三棱錐放置在長方體當中,使得長方體的外接球就是該三棱錐的外接球.如圖：

思考與總結:折疊問題的關鍵是要思考清楚圖形的變化過程,以及折疊過程中哪些幾何元素發生變化,哪些幾何元素沒有發生變化,同時要確定折疊后點線面之間的相互關系.幾何畫板在折疊問題教學中可以很好地輔助學生思考,幫助學生厘清幾何元素之間的關系,但需要提醒的是幾何畫板使用的時間節點,盡量在學生經歷獨立思考之后再由教師展示圖形的折疊過程.

四、總結與展望

運用多媒體優化解題教學，需要授課教師能夠熟練運用幾何畫板，能夠準確快速地繪制常用函數的圖象和常用幾何模型，能夠合理恰當的梳理解答流程，結合學生學習知識的最近發展區和知識發生發展過程，創造性地引導學生進行思考.當然借助于幾何畫板進行解題教學只是常規教學的一部分，也有一定的局限，比如耗時多，過多使用可能會有一定的依賴性等，正因如此，我們才要深入思考教學的各個方面，創造性地進行教學設計.