探討三角形內(nèi)角平分線在解題中的妙用

2021-07-14 03:52:10甘肅胡全勇陜西童永奇

教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2021年4期

甘肅胡全勇陜西童永奇

(作者單位：西北師大育才學(xué)校陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué))

三角形問題是初中平面幾何知識的重點(diǎn)內(nèi)容，尤其三角形的內(nèi)角平分線，它不但在初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用廣泛，而且在高中數(shù)學(xué)中也一直廣泛應(yīng)用.近年來，筆者重點(diǎn)研究高中數(shù)學(xué)題型的歸納與總結(jié)，如一個(gè)知識點(diǎn)的命題方向有哪些，每個(gè)方向怎么解決問題，本文就三角形內(nèi)角平分線在高中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用做出詳細(xì)的歸納、總結(jié).

定理1：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

定理2：三角形一個(gè)角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例.

類型一：內(nèi)角平分線與平面向量基本定理的結(jié)合

將三角形內(nèi)角平分線定理2與平面向量的基本定理相結(jié)合，可迅速解決相關(guān)問題(即實(shí)現(xiàn)“秒殺”).

類型二：內(nèi)角平分線與向量模長公式及分類三角形的結(jié)合

典例2在△ABC，BC=4,AC=5,AB=6,點(diǎn)D在邊AB上，CD是△ABC的角平分線.

(1)求CD的長；(2)求△ACD的面積.

分析：求三角形中角平分線的長和求有關(guān)三角形的面積，是解三角形部分的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn).一般圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，因此需要細(xì)致分析，看準(zhǔn)結(jié)構(gòu)，厘清關(guān)系，最有效的方法就是讀題畫圖，把題設(shè)中的每個(gè)信息通過畫圖傳遞在腦海中加工.

解析：為了便于分析，先根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示.

又注意到∠ADC+∠CDB=π，即cos∠ADC+cos∠CDB=0，所以可得

解法三(運(yùn)用平面向量基本定理和模長公式)：

解法二：由海倫公式得

類型三：內(nèi)角三角平分線與焦點(diǎn)三角形的結(jié)合

所謂焦點(diǎn)三角形是指橢圓、雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)和曲線上任意一點(diǎn)構(gòu)成的三角形，這些三角形中就有一類特殊的與角平分線有關(guān)的命題.處理此類問題，一是運(yùn)用三角形內(nèi)角的兩邊上存在兩點(diǎn)關(guān)于內(nèi)角平分線對稱；二是充分考慮橢圓和雙曲線的定義.

評析：該題的求解思路與典例3相同，可運(yùn)用雙曲線的定義直接解決目標(biāo)問題，相對簡單一些.

類型四：內(nèi)角平分線與雙曲線過焦點(diǎn)直線的垂直問題

以前教學(xué)雙曲線與過交點(diǎn)直線問題，我感覺只有兩個(gè)字“頭痛”，主要是題非常小，但運(yùn)算量特別大，后來研究發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)軸是兩條漸近線構(gòu)成角的角平分線，靈活運(yùn)用導(dǎo)致運(yùn)算量非常小，有時(shí)還可以達(dá)到“秒殺”的解題效果.