幾種弧度制概念形成方式的比較與改進(jìn)

浙江 毛浙東

(作者單位：浙江省寧波市北侖中學(xué))

弧度制是高中數(shù)學(xué)中的一塊重要內(nèi)容，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵.弧度制作為一堂經(jīng)典的課例頻頻在各類教學(xué)研討活動(dòng)中被展示，這也讓我們看到了弧度制“百花齊放”的一面.本文通過(guò)對(duì)幾種常見(jiàn)的弧度制概念形成方式的比較，博采眾家之長(zhǎng)，對(duì)弧度制概念的教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)，充分挖掘弧度制的文化價(jià)值和育人價(jià)值，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.幾種常見(jiàn)的弧度制概念形成的方式

方式1：通過(guò)類比直接給出概念

有部分教師認(rèn)為，弧度的概念是人為規(guī)定的，沒(méi)有必要讓學(xué)生對(duì)概念的形成過(guò)程進(jìn)行探究，更何況讓學(xué)生自主探究弧度制的概念是有難度的，弄不好就會(huì)冷場(chǎng)，因此很多教師會(huì)選擇類比的方式直接將定義拋給學(xué)生.

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)概念引入 問(wèn)題1:同學(xué)們還記得哪些度量長(zhǎng)度和度量重量的單位?問(wèn)題2:對(duì)于不同的度量單位,它們之間有何關(guān)系?概念形成 師:長(zhǎng)度可以用米、千米、英里等不同的單位測(cè)量,物體的重量可以用公斤、磅等不同的單位衡量,那么角除了用初中學(xué)過(guò)的角度制來(lái)度量,也有其他的度量方式,我們今天就來(lái)學(xué)習(xí)這種新的度量方式———弧度制.教師利用課件展示:1弧度角和弧度制的概念,并給出π=180°是弧度制和角度制的互換公式

方式2：從進(jìn)制統(tǒng)一的角度拋出概念

教師從進(jìn)制統(tǒng)一的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將六十進(jìn)制的角度轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的弧度制.

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)概念引入 問(wèn)題1:初中我們學(xué)習(xí)過(guò)角度,同學(xué)們覺(jué)得1度角是如何定義的?問(wèn)題2:角度制是幾進(jìn)制?我們現(xiàn)在比較常用的是幾進(jìn)制?概念形成 師:角度制下帶著度、分、秒的各單位角進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí),由于是六十進(jìn)制,運(yùn)算比較麻煩.是否可用十進(jìn)制的度量方式,來(lái)重新定義角呢?教師課件展示:1弧度角和弧度制的概念

方式3：從生活情境中提煉概念

教師通過(guò)生活情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)，在生活情境中提煉出“弧長(zhǎng)與半徑比值為定值”的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力.

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)概念引入 問(wèn)題1:用扳手?jǐn)Q緊螺帽,是大家非常熟悉的場(chǎng)景,你能從中看出扳手轉(zhuǎn)動(dòng)與螺帽轉(zhuǎn)動(dòng)之間有什么特點(diǎn)和聯(lián)系?概念形成 問(wèn)題2:扳手的手柄從點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)到B,螺帽上的點(diǎn)A1也跟著轉(zhuǎn)動(dòng)到了點(diǎn)B1,同學(xué)們從中發(fā)現(xiàn)幾何數(shù)量之間具有哪些相等或不等關(guān)系?師生共同探討,形成弧度制的概念和1弧度角的概念

方式4：通過(guò)弧長(zhǎng)、半徑、角度三者關(guān)系的探究形成概念

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)概念引入 師:在扇形中,圓心角的大小是否與弧長(zhǎng)和半徑有關(guān)?概念形成 探究:角度分別為30°,60°,90°的圓心角,當(dāng)半徑r=1,2,3,4時(shí),分別計(jì)算弧長(zhǎng)l與半徑r的比值,計(jì)算完成后進(jìn)行小組討論,并總結(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.學(xué)生發(fā)現(xiàn):當(dāng)角度變化時(shí),比值lr會(huì)變化,當(dāng)角度不變時(shí),比值lr不變,即角的大小由比值lr決定.師:我們不妨就用弧長(zhǎng)與半徑的比值,來(lái)重新度量角,即α=lr,并稱這種度量方式為弧度制,同學(xué)們認(rèn)為弧度制下的1度角該如何進(jìn)行定義?學(xué)生通過(guò)討論,形成1弧度角的概念

方式5：從初中學(xué)過(guò)的弧長(zhǎng)公式中引出概念

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)已學(xué)過(guò)的弧長(zhǎng)公式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形和剖析，發(fā)現(xiàn)與本課內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，并啟發(fā)學(xué)生探究新的知識(shí).

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)概念引入 問(wèn)題1:請(qǐng)同學(xué)們回憶初中對(duì)1度角是如何定義的?問(wèn)題2:大家還記得弧長(zhǎng)公式嗎?概念形成 小組討論:觀察弧長(zhǎng)公式,當(dāng)圓的半徑r固定時(shí),弧長(zhǎng)l與圓心角的度數(shù)n之間是一種怎樣的關(guān)系?學(xué)生發(fā)現(xiàn):弧長(zhǎng)公式l=nπr180變形后可得n=180π·lr,這個(gè)公式解釋了圓心角n與lr的值一一對(duì)應(yīng),也就是說(shuō)用弧長(zhǎng)與半徑的比值lr可以表示圓心角.問(wèn)題3:我們能否從中給出角度的另一種定義?你覺(jué)得應(yīng)該如何定義新的1度角呢?學(xué)生發(fā)現(xiàn):α=lr,并規(guī)定弧長(zhǎng)和半徑相等的圓心角為1度

2.幾種弧度制概念形成方式的比較

在以上幾種弧度制概念的形成方式中，方式1是通過(guò)類比之前學(xué)過(guò)的長(zhǎng)度、重量的各種度量單位，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地拋出概念，這樣的教學(xué)方式比較節(jié)約時(shí)間，同時(shí)類比讓知識(shí)的延展也比較自然.方式2則抓住了人類發(fā)明弧度制的初衷，說(shuō)明了為什么要學(xué)習(xí)弧度制的理由.遺憾的是這兩種形成弧度制概念的過(guò)程都過(guò)于直接，沒(méi)有讓學(xué)生進(jìn)行探究和發(fā)現(xiàn).由于學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷概念的自主建構(gòu)過(guò)程，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)弧度制缺乏深度的理解，同時(shí)還喪失了一次非常好的思維鍛煉機(jī)會(huì).根據(jù)調(diào)查結(jié)論顯示，有三分之二的學(xué)生對(duì)1弧度的定義不能準(zhǔn)確把握，大多數(shù)學(xué)生對(duì)1弧度概念的表現(xiàn)貧乏，并且在解決問(wèn)題時(shí)這些表象之間并不互相聯(lián)系，這正是因?yàn)閷W(xué)生在概念學(xué)習(xí)中缺少自主探究的環(huán)節(jié)，導(dǎo)致對(duì)概念理解不到位.方式3創(chuàng)設(shè)了真實(shí)的生活情境，從生活中常見(jiàn)的扳手轉(zhuǎn)螺帽的過(guò)程中引出概念，這種教學(xué)方式有利于激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力.但是復(fù)雜的生活情境中元素過(guò)多，容易干擾學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)鍵元素的提取，導(dǎo)致學(xué)生探究方向不明.方式4的優(yōu)點(diǎn)在于能幫助學(xué)生找準(zhǔn)探究的方向，課堂不會(huì)跑偏，探究會(huì)比較順利.方式5最大的亮點(diǎn)是從熟悉的公式出發(fā)，在學(xué)生知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)引出概念，讓知識(shí)的建構(gòu)更加自然，這種引出概念的方式成功突破了教學(xué)的難點(diǎn)，也很好地培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力.但是這兩種方式的探究路徑過(guò)于狹窄，容易禁錮學(xué)生的想象力，不利于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng).

3.弧度制概念形成的改進(jìn)方案

以上各種概念的形成方式各有所長(zhǎng)，也有不足，那該如何進(jìn)行改進(jìn)呢？要回答這個(gè)問(wèn)題，就要先思考人類為什么要發(fā)明弧度制，人類發(fā)明弧度制經(jīng)歷了怎樣的曲折歷史，弧度制的育人功能如何更好地被開(kāi)發(fā)出來(lái)?

首先，人類發(fā)明弧度制的目的就是為了統(tǒng)一進(jìn)制，簡(jiǎn)化運(yùn)算，因此在概念的形成過(guò)程中，教師一定要向?qū)W生滲透這層重要信息；其次，根據(jù)歷史相似性，教師要對(duì)弧度制形成的曲折歷史了然于胸，這樣才能設(shè)計(jì)出好的教學(xué)情境，從而讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的探究過(guò)程，積累他們的自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)；再者，課堂除了傳授學(xué)生知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，而弧度制是非常好的思維鍛煉載體，教師要努力開(kāi)發(fā)弧度制的育人功能.根據(jù)以上幾點(diǎn)考慮，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下的改進(jìn)方案：

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖概念引入 問(wèn)題1:從海口到三亞直線距離有多遠(yuǎn)?有人回答約250公里,但也有人回答約160英里,你贊同哪種說(shuō)法?問(wèn)題2:老師的體重約為70公斤,但有人說(shuō)老師的體重約154磅,你怎么看?問(wèn)題3:長(zhǎng)度可以用公里、英里等不同的單位測(cè)量,物體的重量可以用公斤、磅等單位衡量.我們這幾天在學(xué)習(xí)角,你們還記得角是用什么單位度量的?角會(huì)有其他的度量方式嗎? 從長(zhǎng)度、重量等學(xué)生熟知的計(jì)量單位出發(fā),讓學(xué)生感知度量事物單位的多樣性,從而類比到角的度量可能也存在著多種方式,這種概念引入的過(guò)程是比較自然的概念形成第一階段 問(wèn)題4:大家還記得1度角是如何定義的?度這個(gè)單位使用的是幾進(jìn)制?問(wèn)題5:請(qǐng)觀察等式sin30°=12,你認(rèn)為等式兩邊的單位進(jìn)制統(tǒng)一嗎?問(wèn)題6:我們比較習(xí)慣十進(jìn)制,那能否重新定義角,讓角也成為十進(jìn)制呢? 通過(guò)讓學(xué)生對(duì)熟知的等式sin30°=12進(jìn)行觀察,發(fā)現(xiàn)其左、右兩邊進(jìn)制單位不統(tǒng)一,制造認(rèn)知沖突,讓學(xué)生自覺(jué)地意識(shí)到,引入角的新度量單位是非常有必要的,它有利于實(shí)現(xiàn)進(jìn)制的統(tǒng)一,簡(jiǎn)化運(yùn)算,而這也恰是歷史上人們引進(jìn)弧度制的本意概念形成第二階段 問(wèn)題7:如圖,在扇形AOB中,AB為弦,你認(rèn)為角度α的大小與哪些度量有關(guān)?你覺(jué)得可以怎樣用這些度量來(lái)刻畫(huà)角α?學(xué)生觀點(diǎn)1:弧弦說(shuō)持觀點(diǎn)1的學(xué)生認(rèn)為角α的大小與弧AB︵和弦AB有關(guān),一旦弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)確定,那么角也確定了.如圖,學(xué)生利用幾何畫(huà)板探究后發(fā)現(xiàn),當(dāng)角α的大小固定時(shí),ABAB︵=CDCD︵,因此可以用弧與弦的比值來(lái)刻畫(huà)角.學(xué)生觀點(diǎn)2:弦徑說(shuō)持觀點(diǎn)2的學(xué)生認(rèn)為,角由弦和半徑共同決定,若弦長(zhǎng)與半徑確定,那么角α也確定了,如圖,學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),ABOA=CDOC,即可以用弦與半徑的比值來(lái)刻畫(huà)角.學(xué)生觀點(diǎn)3:弧徑說(shuō)持觀點(diǎn)3的學(xué)生認(rèn)為,角由弧和半徑共同決定,如圖,他們發(fā)現(xiàn)ABOA︵=CDOC︵,即可以用弧與半徑的比值來(lái)刻畫(huà)角 通過(guò)設(shè)置開(kāi)放性的問(wèn)題,再現(xiàn)了人類發(fā)現(xiàn)弧度制的曲折歷程.古希臘的數(shù)學(xué)家希帕科斯發(fā)現(xiàn),在給定半徑的圓中,弧和弦之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,并繪制了世界上第一張弦表,希帕科斯的想法與學(xué)生提出的觀點(diǎn)1比較吻合.印度數(shù)學(xué)家利提克斯推翻前人的想法,重新給出了正弦的定義,第一次用半弦與半徑的比值來(lái)刻畫(huà)角度,從此三角學(xué)就不再依附于圓而僅在一個(gè)直角三角形中存在了,利提克斯的這種想法與學(xué)生的觀點(diǎn)2不謀而合.大約在1714年,羅杰·柯特斯正式提出用弧與半徑之間的比例關(guān)系來(lái)定義角度,而這正是學(xué)生提出的觀點(diǎn)3.通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)題的設(shè)置,讓學(xué)生充分發(fā)揮想象,得出了三種不同的觀點(diǎn),而這三種觀點(diǎn)與歷史上弧度制形成的三個(gè)階段非常相似,學(xué)生在此過(guò)程中經(jīng)歷了真實(shí)的數(shù)學(xué)概念再創(chuàng)造過(guò)程,體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)新知的喜悅,他們的直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)都得到了很好的發(fā)展

續(xù)表

4.對(duì)改進(jìn)方案的反思

改進(jìn)后的方案，不但體現(xiàn)了學(xué)習(xí)弧度制的必要性，也再現(xiàn)了弧度制形成的歷史，并且教師通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)題的設(shè)計(jì)，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力、分析能力、創(chuàng)新能力、批判能力等，弧度制的育人功能被充分挖掘出來(lái).

4.1關(guān)注了弧度制概念引入的自然性

在概念引入環(huán)節(jié)，教師從生活中存在的長(zhǎng)度、重量等學(xué)生熟知的計(jì)量單位出發(fā)，讓學(xué)生感知度量事物的單位的多樣性，從而類比到角的度量可能也存在著多種方式，為弧度制的引入奠定了感官基礎(chǔ)，這種概念的引入過(guò)程是自然的.從認(rèn)知心理學(xué)的角度看，具有固著點(diǎn)的知識(shí)在學(xué)生大腦中生長(zhǎng)更加自然，也會(huì)更加牢固和持久.

4.2凸顯了引進(jìn)弧度制的必要性

4.3尊重了學(xué)生探究的自由性

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生的自我建構(gòu)過(guò)程，不同的學(xué)生會(huì)有不同的建構(gòu)方式，我們應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的個(gè)體差異，設(shè)置具有開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生能更加自由地進(jìn)行探究.在概念形成的第二階段，教師就設(shè)計(jì)了具有開(kāi)放性的問(wèn)題，重現(xiàn)弧度制被發(fā)現(xiàn)的歷史場(chǎng)景，讓每個(gè)學(xué)生都能根據(jù)自己的理解，去發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，實(shí)現(xiàn)“百家爭(zhēng)鳴”.整個(gè)探究過(guò)程尊重了學(xué)生探究的自由性，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的知識(shí)再創(chuàng)造的過(guò)程，鍛煉了學(xué)生的創(chuàng)新能力，也為他們今后獨(dú)立地去發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4.4闡明了弧度制定義的合理性