新高考數學一輪復習的抓手與策略

江蘇 周田香 浙江 余繼光

(作者單位：江蘇省姜堰第二中學 浙江省柯橋中學)

新高考數學一輪復習在梳理數學基礎的同時，以8個核心知識點為抓手，復習時抓住特色，每個核心知識單元整體復習時，以6個“關注”為準繩，安排學生訓練時突出3個字“練、診、悟”，以提升一輪高考數學復習的效能.

以《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》評價體系為基準的新高考數學命題，正在以新的面貌展現在數學教師與學生面前.迎接新高考的一輪數學復習需要具有新視野，站在新課程理念的高度、環視新課程數學的高考；需要具有新境界，學生數學學習愉快而輕松、教師輔導高效而不盲目；需要研究新命題，依據課標創新數學命題、把握問題變式解法；需要探究新趨勢，研究2021年高考數學命題趨勢、提升不同層次的考生成績，只有這樣才能駕馭新高考數學一輪復習.

1.新高考數學一輪復習的基本抓手

新高考數學一輪復習，在梳理數學基礎知識的同時，要緊緊抓住核心知識點“精講”到位，每一個核心知識點抓住它的“特色”，編制或尋找經典問題來講.

1.1函數 顯現一個字“活”

函數是高考數學第一個核心知識點，抓住函數概念、性質、圖象的同時，選題精講要“活”，將函數的內在聯系講到位，比如，增加逆向設問題和存在性探究題：

①若a=1，求函數f(x)的定義域；

②是否存在實數a，使得函數f(x)在定義域內具有單調性？若存在，求出a的取值范圍.

函數f(x)的定義域為(-∞,-2]∪[0,+∞)；

1.2三角函數 強調一個字“變”

三角函數和解三角形是高考數學第二個核心知識點，抓住“變”換，“變”角，“變”函數等，引導學生在變化中提升應變能力：掌握三角函數圖象與性質，三角變換公式，解三角形的三大定理一公式(內角和定理、正弦定理、余弦定理和三角形面積公式).

【例2】已知銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，若△ABC外接圓面積S=π.

(Ⅱ)若a2=b2+c2-bc，求△ABC周長的最大值.

解析：因為△ABC外接圓面積S=π，所以△ABC外接圓半徑R=1.

1.3向量 抓住一個字“形”

平面向量是高考數學命題中最靈活，也是學生最怕的一個核心知識點，向量離不開“形”，挖掘“形”，轉化“形”是復習的基本點.

【例3】已知平面向量a，b，c滿足a·(a+c)=0，|c|=1,|a+b-2c|=2，則a·b的最大值是________.

解析：因為|c|=1，不妨設c=(1,0)，

a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則

a+c=(x1+1,y1)，a+b-2c=(x1+x2-2,y1+y2),

因為a·(a+c)=0,

又|a+b-2c|=2,

所以2(x1x2+y1y2)≤4，即x1x2+y1y2≤2,

而a·b=x1x2+y1y2,故a·b≤2，a·b的最大值為2，故答案為2.

1.4立體幾何 用好一個字“圖”

立體幾何的表現形式是空間圖形，建立在8個基本定理的基礎上，去挖掘圖中直線與直線、直線與平面的位置關系；添加輔助線，構造角或三角形，使目標更加貼近.

圖1

(Ⅰ)若G為PC中點，求BG與平面PAB所成角的正弦值；

(Ⅱ)如圖2，AC∩BD=O，過A作AE⊥PD交PD于E，作AF⊥PO交PO于F，求證：PD⊥平面AEF.

圖2

解析：(Ⅰ)如圖，過G作GH垂直平面PAB于H點，連接BH,則∠GBH為BG與平面PAB所成角，

1.5數列 體現一個字“律”

數列是高考數學重要的核心知識點，數列必有“律”，抓住規律問題才能突破，遞推思想方法是求解數列問題的核心，比如，下列基礎訓練題的設計：

解析：Sn=n2-2n，所以an=2n-3，b1=a2=1，b2=a3=3，b3=a6=9，{bn}是以1為首項，3為公比的等比數列，所以bn=3n-1；

1.6解析幾何 突出一個字“算”

平面解析幾何是用代數方法研究幾何圖形，代數式運算、數字運算是常態，也是學生的軟肋，雖然挖掘圖形性質可以減少部分運算，但是運算能力是圓錐曲線問題的突破口，因此復習中必須牢牢抓住“運算”．

【例6】如圖，設點P在直線l:x-y-2=0上運動，過點P作拋物線C:y=x2的兩條切線PA，PB，且與拋物線C分別相切于A，B兩點，則△APB的重心G的軌跡方程是

( )

1．7導數 緊扣一個字“用”

導數本是高等數學中最容易的一個核心知識點，它沒有什么秘密，只是一個研究函數的工具，學會“用”導數分析函數性質是復習的重點．

【例7】已知f(x)=ax3-ex，e=2.718 28…為自然對數的底數.

(Ⅰ)若f(x)是R上的單調函數，求實數a的取值范圍；

(Ⅱ)求證：當a<0時，對任意x≥0，f(x)≤-1；

解析：(Ⅰ)f(x)=ax3-ex，f′(x)=3ax2-ex，

當a=0時，f(x)是R上的單調遞減函數；

當a<0時，f′(x)<0，f(x)是R上的單調遞減函數；

當a>0時，f′(x)的正負不定，此時f(x)非單調函數，

綜上， 實數a的取值范圍是(-∞，0].

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知，當a<0時，f(x)是單調遞減函數，

所以f(x)≤f(0)，而f(0)=-1，所以對任意x≥0，f(x)≤-1.

所以9a2(x1x2)2=ex1+x2≥1+x1+x2>x1+x2,

1．8數學文化 理解一個字“型”

數學文化已經成為高考數學命題中的打卡題，數學文化一般涉及數學史或現實情境或科學情境，其中含有“型”，抓住數學模型，一般就能突破，但閱讀理解力是關鍵．

【例8】某病毒研究團隊觀察人體免疫系統對某種病毒在服用蛋白酶抑制劑后發現，所有患者血液中病毒顆粒數量呈指數下降，于是建立數學模型：V′=-cV，其中未知函數V=V(t)表示血液中不斷變化的病毒濃度，V0是人體初始病毒載量，比例常數c(c≠0)是清除率，它衡量身體清除病毒的速度，試問清除病毒過程中，病毒濃度函數V=V(t)為________；當清除體內病毒一半時，所需時間為________.

故V=Ce-ct，其中C=eC1，當t=0時，V=V0，所以病毒濃度為V=V0e-ct，

2．新高考數學一輪復習的基本策略

教師在精講核心知識點的“八字”中，還要時時“六關注”，復習更上一層樓.

2.1關注數學概念的本質

數學概念是理解方法的基礎，只知道方法而忽視概念是復習教學的一種不良現象.

【例9】函數f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1時有極值10，則a，b的值為

( )

這是關于極值概念的題，學生普遍只是考慮極值求法，而忽略極值概念，

學生思路：

忽略了對可能是極值點的驗證，事實上a=3時，x=1不是f(x)的極值點.

關于函數的極值點概念，作為學生必須很清楚，一階導數為0的點不一定是極值點，必須在經過此點時要變號的點；極值點也不一定是一階導數為0的點．

2.2關注基礎題信息挖掘

高考數學中最基本的兩個能力是審題與運算，審題能力是在閱讀題目過程中形成，尤其是對問題中題設信息的準確挖掘．

【例10】定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且在[-3,-2]上是減函數，α,β是銳角三角形的兩個內角，則

( )

A．f(cosα)>f(cosβ) B．f(sinα)>f(sinβ)

C．f(sinα)f(cosβ)

解析：第一，f(x+1)=-f(x)，則f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，f(x)是周期為2的周期函數；

第二，f(x)在[-3，-2]上單調遞減，在[-1，0]上也單調遞減；

第三，f(x)為偶函數，則f(x)在[0，1]上單調遞增；

第五，f(sinα)>f(cosβ),故選D.

2.3關注圖形的代數表示

高考數學語言由文字語言、符號語言、圖形語言等組成，其中圖形語言更為直觀，但其中也隱藏著許多數量關系，只有準確挖掘出來，才能找到問題的突破口．

【例11】一位花布設計師在邊長為3的正方形ABCD中設計圖案，如圖，他分別以A,B,C,D為圓心，以b(0≤b≤3)為半徑畫圓，由正方形內的圓弧與正方形邊上線段構成了豐富多彩的圖形，則這些圖形中實線部分總長度的最大值為________，最小值為________.

花布圖案設計是一個復雜的工作，但抽象出來的數學模型是簡潔而美麗的，由點的運動而產生許多豐富的圖案：

如圖，

當b=3時，L達到最大值6π+12.

學生面對如此問題時，一方面要學會從“數”的角度思考，

寫出長度的分段函數，而后求出其最大值與最小值；

另一方面也應學會從“形”的角度思考，發現其最值點和最值，

但不論是哪一個思路，都需要學生在“運動”著的圖案中發現其數學本質．

2.4關注高考新題型涌出

2020年山東、海南、新高考數學命題以及2021年八省高考數學適應體驗題中涌出許多新題型、新信息，比如邏輯推理題.

【例12】關于函數f(x)=ax2-b·2x(x>0)，有下列四個命題：

甲：x=2可能是函數f(x)的一個零點；

乙：函數f(x)可能有兩個零點；

丙：函數f(x)的兩零點之和大于6；

丁：若a-b=0，則函數f(x)兩零點之和為6.

如果只有一個假命題，則該命題是________(標注甲，乙，丙，丁即可).

解析：當a=b=1時，函數有兩個零點x=2，x=4，甲，乙均正確；

若a-b=0，則f(x)=a(x2-2x)，函數有兩個零點x=2，x=4，丁正確，

因為a，b大小不定，則零點大小不定，所以丙不正確，填寫丙．

2.5關注科學情境初等化

課程標準已將科學情境列入高中數學課程且已在新高考數學命題中滲透，因此關注以科學研究成果為基本信息的情境是必要的．

【例13】岡珀茨模型(y=kabt)是由岡珀茨(Gompertz)提出，可作為動物種群數量變化的模型，并用于描述種群的消亡規律，已知某珍稀物種t年后的種群數量y近似滿足岡珀茨模型：y=k0e1.4e-0.125t(當t=0時，表示2020年初的種群數量)，若m(m∈N*)年后，該物種的種群數量將不足2020年初種群數量的一半，則m的最小值是________(ln2≈0.7).

解析：當t=0時，y0=k0e1.4；當t=m時，ym=k0e1.4e-0.125m，ym=0.5y0,

2.6關注現實情境數學化

用數學眼光觀察周圍現實世界，你會發現許多含豐富數學模型的數學問題.自1995年以來，高考數學應用題進入高考后，一直是全國高考數學命題打卡題.

前10分鐘下潛深度為1 000米；第11分鐘至第32分鐘下潛2 200米，

3．科學的足量的規范的“三字”訓練

新高考數學一輪復習，除了教師的“精講”，學生聽的效果如何？落腳點還在于學生“練”的有效性，設計科學訓練方式很重要——練、診、悟．

3.1練

即學生獨立面對數學問題進行思考、解答，在這一環節中，不但要發揮學生解題的主體作用，也要注意發揮教師在題目的優化組合中的主導作用．

一是基礎訓練與綜合訓練相結合，只重視基礎訓練，就會割裂知識間的聯系，不利于學生提高分析問題，解決問題的能力，與素質教育背道而馳；只重視綜合訓練，會使學生片面追求解題的特殊技巧而忽視了教學中的通性通法，使數學能力成為毫無根基的“空中樓閣”，只有將兩者結合，利用各自優勢．

二是常規訓練和應變訓練相結合，數學能力的高低，不僅體現在解基礎題上，更體現于獨立解決一些新穎的、未給出解題模式的題目上，在復習中，可以將五大新題型融入其中，為學生創設數學的問題情境，引發學生的思維，提高他們的應變能力．

3.2診

學生練的如何？一個重要環節是診斷，發現學生在數學復習中的思維痛點，通過診斷數學作業、試卷中學生留下的思維痛點，了解復習的效果與不足之處，制定新的復習策略，關注學生在作業本與測試卷上留下的思維痕跡，診斷思維痛點類型，給出校正方向.

(Ⅰ)若A1，A2是橢圓長軸的兩個端點，求直線PA1，PA2的斜率之積；

診斷出學生語言表達痕跡的思維痛點：沒有充分挖掘題中幾何圖形的幾何性質：

一是P為△QMN的重心，所以S△QMP=S△QNP=S△PMN；

又因為F1，P，S三點共線，

因為△QMN的重心是P，所以S△QMP=S△QNP,

3.3悟

包括漸悟和頓悟，實現悟的途徑主要是解題后的反思，引導學生養成反思自己解題痕跡，找出痛點，積累經驗，解題沒有固定模式，但對某類型的題目，的確又存在著一定的模式．

【例16】兩位學生在思考一個開放題“滿足f(x)=x的點x稱為函數y=f(x)的不動點(穩定點)，請你構造一個分段函數，使其具有無數個不動點，這些不動點構成一個公差不為零的等差數列”時，他們分別構造了一個函數，

請你判斷，正確的結論是

( )

A．①②都對 B．①對②錯

C．①錯②對 D．①②都錯

本題涉及分段函數，正、余弦函數，不動點，等差數列概念，考查審題能力，綜合分析與判斷能力，等價轉化能力及運算能力．