“四基”視角下函數專題的一輪復習

安徽 何德宇 祝 峰

(作者單位：安徽省濉溪縣第二中學)

數學高考備考一輪復習，歷時長、涉及面廣、基礎性強，聚焦知識的積累和深度理解，旨在幫助學生構建扎實、系統的知識網絡.這與《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出的“四基”課程目標高度契合，即讓學生獲得進一步學習以及未來發展所必需的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗(簡稱“四基”).筆者嘗試在“四基”視角下，從夯實基礎知識、提升基本技能、領悟基本思想、積累基本活動經驗四個方面，審視2020高考中的部分函數客觀題，體會試題對“四基”的考查要求.以期強化教師重視“四基”的意識，引領學生在一輪復習中遠離“刷題+題型+技巧”的無效之舉，回到知識的起點，體會知識的本源，感悟知識所傳遞的基本觀點和思想.

一、夯實基礎知識

從表現形式看，數學基礎知識主要是指數學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理等，以及由其內容所反映出來的一些具體方法.基礎知識是一輪復習中的“根”和“本”，根深才能長成參天大樹，本固才能立于不敗之地.

首先，要明確基礎知識復習的重要性.一輪復習過程中，要強調概念、法則、公式復習的基礎性地位，重視基礎知識所蘊含的問題解決策略，努力構建重要知識之間的關聯.

【例1】(2020·全國卷Ⅰ理·6)函數f(x)=x4-2x3的圖像在點(1,f(1))處的切線方程為

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A.y=-2x-1 B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

【解析】f′(x)=4x3-6x2，由導數的幾何意義知，函數f(x)的圖象在(1,f(1))處切線斜率k=f′(1)=-2，又f(1)=-1，則切線的點斜式方程為y-(-1)=-2(x-1)，即y=-2x+1.

【評析】導數概念和幾何意義、求導法則、點斜式方程是試題考查的基礎知識.要求學生熟練掌握利用導數求函數圖象切線方程的基本程序.

其次，要回到概念、原理解題.數學概念往往具有鮮明的直觀背景，簡單、易懂且威力無窮.核心概念最有力量，要讓學生養成“不斷回到概念去，從基本概念出發認識問題、思考問題、解決問題”的習慣.一輪復習中應不斷提醒學生遠離“題型+技巧”的雕蟲小技，集中注意力于核心概念是復習有效性的基本保障.

【例2】(2020·浙江卷·4)函數y=xcosx+sinx在區間[-π,π]上的圖象可能是

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A

B

C

D

【評析】試題考查正比例函數、正弦函數、余弦函數的定義和性質，函數奇偶性的定義、性質和直觀體現.回到這些概念和原理即可解決問題.

最后，要關注對基礎知識之間聯系性的理解，從知識間的聯系中尋找解決問題的思路.值得注意的是，學生解題的靈活性并非來自于大量反復的練習，也無法靠題型歸類和技巧總結獲得，而是來自于基礎知識聯系通道的順暢，來自于對基礎知識關聯性、結構性、系統性的整體把握.

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二、提升基本技能

數學基本技能主要指能夠按照一定的程序與步驟進行熟練操作的數學行為與本領.在函數專題中，涉及的基本技能包括閱讀理解技能、函數語言的表達技能、運算(估算)技能、推理與論證技能、識圖作圖技能等.這些基本技能以函數知識為基礎，由知識轉化而來.技能的訓練和提升無法脫離知識的支撐和思想的引領，離開知識和思想，孤立地談技能的獲得是不切實際的.

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A.60 B.63

C.66 D.69

【評析】試題借助指數運算、對數運算、指對互化三個基本的數學知識，考查學生的閱讀理解和運算(估算)能力.

【例5】(2020·全國卷Ⅱ理·11)若2x-2y<3-x-3-y，則

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A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

【解析】由2x-2y<3-x-3-y得2x-3-x<2y-3-y.令f(t)=2t-3-t，y=2x為R上的增函數，y=3-x為R上的減函數，所以f(t)為R上的增函數，故x0，則y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>0，即A正確.

【評析】數式大小的判斷問題，考查學生的數學運算、推理論證能力，以及從函數視角發現問題、分析問題、解決問題的能力.

【例6】(2020·全國卷Ⅲ·理·12)已知55<84，134<85.設a=log53，b=log85，c=log138，則

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A.a

C.b

綜上所述，a

【評析】指數式、對數式的大小比較問題.涉及不等式的性質、對數式與指數式的互化、指數函數和對數函數單調性的應用，集中考查了學生的數學運算、分析轉化和推理論證能力.

三、領悟基本思想

函數專題中的基本數學思想是對函數相關知識、結構以及數學方法的本質性認識.蘊含在這些知識的形成、發展和應用的過程中，是對函數知識和方法在更高層次上的抽象和概括.函數專題一輪復習中，核心的數學思想為函數思想，即從函數的視角看問題、用函數的語言描述問題、用函數的方法解決問題.同時還涉及諸如方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類討論思想、歸納思想、演繹思想等.

【例7】(2020·全國卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b，則

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A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

【解法一】構造一個函數

2a+log2a=4b+2log4b轉化為2a+log2a=22b+log4b2.令f(x)=2x+log2x，f(x)在(0,+∞)上為增函數.

假設a≥2b，則f(a)≥f(2b)，即2a+log2a≥22b+log22b.所以22b+log4b2≥22b+log22b，故log4b2≥log22b，log2b≥log22b，b≥2b，所以b≤0，這與b>0矛盾，故選B.

夏日的夜晚，明凈的月亮掛在天空，皎潔的月光灑在荷塘里，池面平靜得如明鏡一般，滿塘月色。朵朵荷花挺立在水中央，池塘邊傳來陣陣蟲鳴，蟋蟀愉快地叫著，蟈蟈歡快地開著“演唱會”，青蛙也隨著美妙的樂曲聲在水面荷葉上一蹦一跳，展現出優美的舞姿，打破了水面的平靜。

【評析】從函數的視角觀察、分析、解決問題是函數思想的集中體現.充分利用等式2a+log2a=22b+log4b2的結構特點，構造函數f(x)=2x+log2x，利用其單調性，通過反證法解決問題.教學中可引導學生體會函數思想、化歸與轉化思想、演繹推理思想在解題中發揮的作用.

【解法二】構造兩個函數

由2a+log2a=4b+2log4b得，2a+log2a=4b+log2b，

令2a+log2a=4b+log2b=t，則a為函數y=log2x與y=-2x+t圖象交點的橫坐標；b為函數y=log2x與y=-4x+t圖象交點的橫坐標.

如圖所示，a>b，2a+log2a=4b+log2b，即2a-4b=log2b-log2a.函數y=log2x在(0,+∞)上為增函數，所以log2a>log2b.故2a-4b=log2b-log2a<0，即2a<22b.又因為函數y=2x在(0,+∞)上為增函數，所以a<2b.

【評析】從函數的視角看問題，視a和b分別為相關函數圖象交點的橫坐標，借助函數圖象，直觀看出a和b的大小關系.在此基礎上，利用指數、對數函數的單調性解決問題.教學中，可引領學生領悟函數思想、數形結合思想、化歸與轉化思想的應用.

由2a+log2a=4b+2log4b，令b=1，則2a+log2a=41+2log41=4，可知a∈(1,2)，排除A，D；令a=2，可得4b+2log4b=22+log22=5，可知b∈(1,2)，排除C，故選B.

【評析】體現了歸納思想，特殊值檢驗法是客觀題求解中非常有效的一種策略，是歸納推理的具體應用.

【例8】(2020·全國卷Ⅱ理·9)設函數f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，則f(x)

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【評析】分類討論思想的應用，考查函數奇偶性和單調性的判斷，特別是復合函數單調性的判斷方法.

四、積累基本活動經驗

數學基本活動經驗主要包括數學實踐活動經驗和數學思維經驗兩個方面.一輪復習中，更關注數學思維經驗的積累.具體是指，學生經歷歸納推理和演繹推理過程后，所積淀形成的思考問題的方式.常從特殊問題入手，借助數字演算等尋求結果或探索規律，進而推導出更一般性的結論.如例7中的解法三是歸納推理，解法一、二則是以演算、轉化、反證為手段的演繹推理.高考備考一輪復習是高中數學學習的特殊階段，對數學基本活動經驗的積累有著特殊意義，教學過程中以下兩點值得關注.

一是要關注數學內容的本質及其相互聯系.數學基本活動經驗的積淀，是以對數學內容本質及其聯系的理解和把握為前提的.一輪復習教學與新課或新課過程中的復習教學有著本質區別.一輪復習教學，是在學生已經完整學習完高中數學知識的基礎上展開.這為學生對數學內容的本質把握及其相互聯系的理解提供了充分可能.如前文所述的指數函數與對數函數、方程與不等式、函數與不等式、函數圖象切線與圓錐曲線切線等重要知識關聯性的把握，正是基于此.

二是要關注學生數學思維品質的優化.數學思維是從量變到質變，在潛移默化中逐漸形成的.學生只有經歷高思維含量的數學學習過程，才能建立起正確的數學思維方式.具體表現為從具體到抽象、從特殊到一般，以及舉一反三、觸類旁通地想問題.

五、結語