平面向量等和線定理及其推廣

浙江 鄔烈榮 胡佳寧

(作者單位：浙江省寧波市奉化區(qū)教師進修學(xué)校 浙江省寧波市奉化區(qū)第二中學(xué))

平面向量是有效連接幾何與代數(shù)的“橋梁”，也是我們解決數(shù)學(xué)問題的一個重要工具.向量是高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新命題的一個載體，近幾年浙江高考中的向量題往往具有綜合性、靈活性和創(chuàng)新性等特點.透過問題，揭示本質(zhì)，例如2019年浙江高考數(shù)學(xué)第17題，難度較大，需要從“基向量”入手，簡化模的表示，利用化歸與轉(zhuǎn)化思想將問題逐步簡化.本文對教材中的“平面向量基本定理”進行深入探究，得到向量“等和線定理”，并利用這一定理解決幾類向量中系數(shù)和問題.

一、平面向量“等和線”定理

等和線l與直線AB的位置關(guān)系是平行或重合.

等和線l與直線AB的位置所對應(yīng)k的取值范圍如下表：

五種位置關(guān)系等和線l與直線AB的位置分布對應(yīng)k的取值位置關(guān)系1等和線l與起點O位于直線AB兩側(cè)(1,+∞)位置關(guān)系2等和線l與直線AB重合1位置關(guān)系3等和線l在起點O與直線AB之間(0,1)位置關(guān)系4等和線l恰好經(jīng)過起點O0位置關(guān)系5等和線l與直線AB位于起點O兩側(cè)(-∞,0)

二、平面向量“等和線”定理的運用

1.求共起點向量線性運算的系數(shù)和

由例1可以抽象出模型1：

由例2可以抽象出模型2：

【解析】如圖，設(shè)AP與BD相交于點Q，過點P作BD的平行線交AB和AD的延長線于點F和點E，過點A作AN垂直EF于點N，交BD于M.則由等和線定理知

【解析】如圖，設(shè)OP與AB相交于點Q，過點P作與線段DE平行的直線l，過點O作ON垂直l于點N，交AB于M,則

由例3可以抽象出模型3：

【解析】如圖，設(shè)AP與BC相交于點Q，過點P作與線段DE平行的直線l，過點A作AN垂直l于點N，交BC于M,則

由這三個模型的分析，可以發(fā)現(xiàn)利用向量等和線可以巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題，將抽象問題具體化，把復(fù)雜的最值問題、范圍問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，通過線段之間的比例運算來求系數(shù)和，大大提高了高考做題的速度和準確率，培養(yǎng)學(xué)生運用化歸與轉(zhuǎn)化思想的能力和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

2.求向量線性運算的系數(shù)的線性關(guān)系式

利用等和線定理還可以求解向量線性運算的系數(shù)的線性關(guān)系式的值或者取值范圍.

在利用等和線定理求解兩系數(shù)的線性關(guān)系式的值時，需要先通過變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和，再去找基底向量的等和線，轉(zhuǎn)化為線段比例關(guān)系求解.

三、平面向量“等和線定理”的推廣

等和線定理是由平面中的三點共線定理深入探究而來，要將平面等和線定理推廣到空間，就要從四點共面定理出發(fā).

將平面“等和線”向空間拓展為“等和面”，求共起點向量關(guān)系式的系數(shù)和問題就可以通過“等和面”轉(zhuǎn)化成空間中的點到平面的距離問題，只需求兩線段之間的比值就可以知道系數(shù)和.運用“等和面”從幾何角度解決代數(shù)問題，減少了代數(shù)的運算量，節(jié)省了考試時間，同時培養(yǎng)了直觀想象的核心素養(yǎng).