問渠那得清如許 為有源頭活水來
——從一道高考題的溯源與探究中談解析幾何題的命制

安徽 萬 勝

(作者單位：安徽省蕪湖市第一中學)

每年的高考真題都是命題者的智慧結晶，而每年的解析幾何高考真題，一般都具有初等幾何或高等幾何背景.筆者對2020年高考全國卷Ⅰ理科中的解析幾何第20題的題源進行分析與探究，分別從初等幾何和高等幾何的范疇思考本題，從具體實例中揭示研究圓錐曲線性質的初等幾何與高等幾何的兩種思考方法，同時以此來觀察高等幾何與初等幾何的聯系，從該高考題背景中探尋規律，揭示試題題源，命制新題，以期對一般的解析幾何試題的命制規律具有一定的指導作用，供教師參考.

一、試題呈現

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)證明:直線CD過定點.

二、初等幾何、變換溯源

事實上，題目1中體現了關于阿波羅尼斯圓的命題，是其在伸壓變換下，由圓變為橢圓所對應的結論，其中有如下命題與結論：

命題1：如圖1，設AB是圓O的一條直徑，點P是與AB垂直且與圓O相離的定直線上的任意一點，設直線PA,PB與圓的另外兩個交點分別為C,D，則直線CD過直徑AB上的定點S.其逆命題也成立.

圖1

(注：為方便比較，引用上述命題與結論時，部分字母有所調整；同時為了符合人教版教材編寫內容，本文中變換呈現方式也有所調整.)

顯然，追根溯源，2020年全國卷Ⅰ理科第20題(Ⅱ)是本結論的特殊情況.這種基于橢圓與圓的伸壓關系，回到圓這樣的初等幾何基本圖形，利用平面幾何中圓的性質衍生出橢圓相關結論(事實上還可以類比橢圓的性質，進一步類比產生雙曲線與拋物線的類似性質)，不失為一種較好的研究圓錐曲線性質的方法.

三、延伸探究、思考本質

1.特殊到一般、實驗探索

欣賞著如此美妙的初等幾何性質與本題的關系，筆者仍然感到美中不足，該題中的A,B兩點為橢圓長軸端點，能否推廣到一般情形呢？如圖2，即若AB為橢圓E的任意一條弦，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.直線CD過定點嗎？

圖2

能否從該橢圓伸壓變換前所對應的圓出發，若AB為該圓的任意一條弦，得到性質，進而產生橢圓相關結論呢？

考慮到從圓的角度出發，用初等幾何方法來推導的困難性，以及從橢圓出發運算的復雜性，況且該結論的正確性也具有未知性.

為此，筆者想到先用信息技術輔助驗證，因而不妨選擇橢圓用幾何畫板軟件進行作圖驗證，如圖3，從直線族CD的包絡圖形可知，直線CD并不過某定點.

圖3

2.高等幾何、本質溯源

為了揭示本題所蘊含的內在規律，給出如下橢圓中的一般性質：

圖4

由此易知，結論1為命題2的特殊情形.同時，易知AD,BC的交點Q也在該極線l上，從而可以僅僅利用直尺作出點S關于該橢圓的極線l(如圖5及圖6).

圖5

圖6

3.理解本質、直尺作圖

從高等幾何的范疇看，點列與線束之間的射影是對應的.所以只需作出極線l上點列關于該橢圓所對應的極線束的交點，也是該極線l所對應的極點，即本題中的定點.當然考慮極線l上P,Q兩點所對應的極線p,q的交點即可.

如圖7，對于橢圓外一點P，仿照圖5和圖6作圖方法：過點P作橢圓E的兩條割線l1,l2交橢圓E于點A,B和C,D，設AC,BD的交點為T，AD,BC的交點為R，則點P關于橢圓E的極線p即直線RT.同理可以作出點Q的極線q，這樣兩直線p,q的交點即為所求極點.

圖7

更為奇妙的是，如圖8，對于該橢圓外一點P，其極線p與橢圓E交于兩點M,N.易知點M的極線必過點P，而由命題2可知橢圓上的點的極線即為該點處的切線，所以直線PM與橢圓E相切，同理：直線PN與橢圓E相切.這樣，既給出了橢圓外一點P關于該橢圓的極線作法(只需過點P作出橢圓的兩條切線，兩切點連線即為極線)，同時該過程也給出了僅僅用直尺作出橢圓切線的方法.

圖8

這樣，我們可以用高等幾何知識為理論依據.如圖9，用類似于圖9的方法僅僅用直尺由圓外一點P作出該圓的兩條切線PM,PN，進而得出點P關于該圓的極線MN；如圖10，在直線l取異于點P的一點Q，作出其關于該圓的極線M1N1，則直線MN與直線M1N1交點S即為直線l關于該圓的極點.

圖9 圖10

四、理論實踐、編制新題

基于以上論述，完善筆者的猜想，可將2020年全國卷Ⅰ理科第20題推廣，進而可以編制新的試題.

對于題目1，我們試圖修改題中已知直線AB的位置，利用潛在的極點與極線的對應關系，通過極線上動點P的運動產生動直線CD，進而由動直線CD所過的定點得到該極線所對應的極點.

這樣可以編制如下關于圓的試題.

圖11

圖12

當然，本題可推廣至一般情形.

五、歸納過程、清晰規律

追根溯源，才能站得高，看得清晰.以上探究過程蘊含著2020年全國卷Ⅰ理科第20題的背景.同時，也揭示了高中平面解析幾何試題的一類編制方法：一方面可以從初等幾何圖形的性質中衍生出圓錐曲線相關性質；另一方面可以用高等幾何的知識作為理論依據，拓寬初等幾何研究的思路，在更高的范疇內討論問題，理解問題，加深對于初等幾何的理解和概括，從而對于其中的問題理解更加清晰，再利用類比思想，恰當變換從而命制解析幾何試題.