化歸與轉(zhuǎn)化思想在含參問(wèn)題中的應(yīng)用

安徽 陳曉明

(作者單位：安徽省寧國(guó)中學(xué))

化歸與轉(zhuǎn)化思想是高考考查的一種重要數(shù)學(xué)思想，它是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之等價(jià)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種思想.本文對(duì)兩道試題進(jìn)行研究，以期找到應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想求解問(wèn)題的策略.在我們的教學(xué)中，要更多地關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法感悟的充分性與全面性，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)大量的機(jī)會(huì)給學(xué)生思考、探究、總結(jié)、提煉，讓數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中能真正地落到實(shí)處.

化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用包括以下三個(gè)方面：(1)將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題；(2)將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為易解的問(wèn)題；(3)將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.

本學(xué)期筆者所在學(xué)校(省級(jí)示范高中)高一年級(jí)兩次大型考試數(shù)學(xué)試題的壓軸題都是考查含參問(wèn)題(求參數(shù)取值范圍)，得分率極低，主要原因就是學(xué)生不知道如何將問(wèn)題進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想的缺失.在試卷講評(píng)課上筆者帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行研究，以期找到此類問(wèn)題的求解策略.

【例1】已知f(x)=1-x2，若函數(shù)y=f(|2x-1|)-3k·|2x-1|+2k有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

教師：誰(shuí)來(lái)談?wù)勀愕南敕ǎ?/p>

學(xué)生1：我認(rèn)為求實(shí)數(shù)k的取值范圍要根據(jù)函數(shù)y=f(|2x-1|)-3k·|2x-1|+2k有兩個(gè)零點(diǎn)的條件，可是函數(shù)解析式太復(fù)雜了，我不敢嘗試，害怕浪費(fèi)了時(shí)間卻無(wú)功而返.

教師：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題通常怎么去研究？

學(xué)生2：函數(shù)y=f(|2x-1|)-3k·|2x-1|+2k=1-(2x-1)2-3k·|2x-1|+2k有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程1-(2x-1)2-3k·|2x-1|+2k=0有兩個(gè)不同的實(shí)根.可這個(gè)方程依然很復(fù)雜，怎么判斷它有兩個(gè)不同的實(shí)根我不知道.

教師：很好，把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程根的問(wèn)題，這個(gè)方程能進(jìn)一步轉(zhuǎn)化嗎？

教師：很厲害，我們離目標(biāo)越來(lái)越近了.問(wèn)題已進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，化歸為一個(gè)關(guān)于x的方程t=|2x-1|(t為常數(shù))有且只有兩個(gè)實(shí)根來(lái)確定參數(shù)t的值或范圍的問(wèn)題，我們以前遇到過(guò)這種問(wèn)題嗎？我們是怎么解決的？

這時(shí)大家如夢(mèng)方醒，紛紛動(dòng)起筆來(lái)，原來(lái)原問(wèn)題經(jīng)過(guò)一步步轉(zhuǎn)化，竟然變成了一個(gè)我們熟悉的問(wèn)題.

學(xué)生4：關(guān)于x的方程t=|2x-1|(t為常數(shù))有且只有兩個(gè)實(shí)根可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=t(t為常數(shù))與y=|2x-1|的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩條水平直線y=t1，y=t2與函數(shù)y=|2x-1|的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn).如圖所示，好像要分類討論，具體分幾類我不能確定.

教師：那大家思考一下到底有幾種情況？

大家七嘴八舌地討論起來(lái)，經(jīng)過(guò)一番爭(zhēng)論，最終確定應(yīng)該有3種情況：(1)當(dāng)t1<0,01時(shí)，滿足題意.不過(guò)如何根據(jù)方程t2+3kt-(2k+1)=0的根t的范圍求實(shí)數(shù)k的取值范圍又引起了同學(xué)們的困惑.筆者看出了大家的心思.

教師：現(xiàn)在問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一個(gè)什么問(wèn)題？

學(xué)生(齊聲回答)：二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題.

教師：對(duì)呀，再次把方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，二次函數(shù)零點(diǎn)的分布是一個(gè)難點(diǎn)，看誰(shuí)能解決這個(gè)問(wèn)題？

學(xué)生5：令g(t)=t2+3kt-(2k+1)，

教師：真是了不起，能攻破“二次函數(shù)零點(diǎn)的分布”這座堡壘不容易啊！

看到別人得到表?yè)P(yáng)，大家都躍躍欲試，平時(shí)一向比較內(nèi)斂的李同學(xué)竟然也舉手了.

教師：真聰明，前面的解法屬于幾何法，沒想到代數(shù)法也能求解，真是數(shù)形結(jié)合啊！既然大家對(duì)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布有興趣，而它又是考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)，接下來(lái)我們進(jìn)一步進(jìn)行研究.

【拓展】對(duì)于一般的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，分別在下列情況下求a,b,c滿足的關(guān)系式.

(1)有兩個(gè)正零點(diǎn)；(2)有兩個(gè)負(fù)零點(diǎn)；(3)有一正一負(fù)兩個(gè)零點(diǎn).

經(jīng)過(guò)學(xué)生討論，很快有了結(jié)論：

推廣：兩個(gè)零點(diǎn)均比k大(兩個(gè)正零點(diǎn)其實(shí)就是兩個(gè)零點(diǎn)均比0大)：

(接下來(lái)將各式展開、重組，利用韋達(dá)定理可得到系數(shù)滿足的條件)

推廣：兩個(gè)零點(diǎn)均比k小(兩個(gè)負(fù)零點(diǎn)其實(shí)就是兩個(gè)零點(diǎn)均比0小)：

推廣：兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)比k大，一個(gè)比k小(一正一負(fù)兩個(gè)零點(diǎn)其實(shí)就是一個(gè)比0大，一個(gè)比0小)：

教師：集體的智慧是無(wú)窮的，經(jīng)過(guò)大家的努力，我們得到了這么多收獲，二次函數(shù)零點(diǎn)的分布還有哪些情況？需要滿足怎樣的條件？我們同學(xué)可以在課后進(jìn)一步研究.

為了進(jìn)一步熟悉此類題型，筆者趁熱打鐵.

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A.b<0且c>0 B.b>0且c<0

C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0

學(xué)生7：如圖所示，只要方程f2(x)+bf(x)+c=0中能解出f(x)的兩個(gè)值，其中一個(gè)值等于0(可得c=0),另一個(gè)值大于0(f2(x)+bf(x)=0可得b=-f(x)<0),故本題正確答案是C.

教師：漂亮，看似很恐怖的一道題原來(lái)這么簡(jiǎn)單地解決了！看來(lái)復(fù)合方程并不可怕.學(xué)生7同樣利用換元法，將方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程t2+bt+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，其中一根為0(可得c=0)，另一根為正數(shù)(t2+bt=0，可得b=-t<0).這樣就自然地將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的簡(jiǎn)單問(wèn)題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想.

本文提出了一種Fisher分布下具有閉合的虛警概率解析表達(dá)式的極化SAR圖像CFAR檢測(cè)新方法.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在Fisher分布區(qū)域檢測(cè)結(jié)果中，新方法品質(zhì)因數(shù)高于或等于其他檢測(cè)方法；在非Fisher分布區(qū)域，本文方法的檢測(cè)效果仍良好，具有較強(qiáng)的魯棒性.

教師：有了前面化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，本試題你能做怎樣的化歸與轉(zhuǎn)化？

結(jié)束語(yǔ)

在數(shù)學(xué)的教與學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的重要目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn).在上述例子中除了應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想，還滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法.每一種數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都起著至關(guān)重要的作用.

俗話說(shuō)，沒有思想就沒有高立意.因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)只是信息的傳遞，而數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，才能使學(xué)生形成觀點(diǎn)和技能，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的就在于掌握這種具有普遍意義和廣泛遷移價(jià)值的策略性知識(shí).要學(xué)生真正從思想深處接受、領(lǐng)悟并掌握一種數(shù)學(xué)方法，必須有一個(gè)體驗(yàn)、感悟、浸潤(rùn)的過(guò)程.