最小二乘配置和半參數模型在地殼形變分析中的應用

趙旭坤 梅 澤 王 棟

（陜西鐵路工程職業技術學院 陜西·渭南 714000）

0 引言

經典剛體地殼運動模型假定地殼運動是剛性的，認為地殼運動時，形變只發生在塊體碰撞或俯沖帶附近，即除了板塊邊界附近會發生形變外，板內是不會發生形變的。但大量研究表明，地殼在運動時，不僅存在整體剛性運動，同時還或多或少的存在彈性或塑性形變，如果不顧及板內形變，則地殼形變分析的定量化程度將勢必會受到影響。近年來，一些學者嘗試將板內不規則形變視為對地殼剛體運動的干擾“信號”，從而建立了地殼運動的最小二乘配置模型，研究了地殼運動中協方差函數的構造等問題；也有學者嘗試利用“非參數”描述板內不規則形變，從而建立了利用“非參數”補償偏離剛體地殼運動的半參數地殼運動模型；但是鑒于不同區域地質構造性質和地殼運動活躍程度等因素的不同，使得即使利用相同模型對不同區域進行地殼形變分析結果甚至結論也有所不同，特別是在地殼巖石圈性質復雜的區域更是如此。環渤海區域位于我國華北的東北部，該地區人口分布稠密，城市建設密集，自然資源豐富，是經濟發展的重要地區。但是，同時，該地區也是我國大震頻發，新地質構造十分活躍的地區之一，研究本區域地殼運動規律和形變的空間分布特點，揭示其內部動力學機制歷來都是地質、地球物理和大地測量學家的共同目標。本文利用中國大陸構造環境監測網絡最新監測速度場數據，分別建立了環渤海區域的剛體、最小二乘配置和半參數地殼三種地殼形變分析模型，針對三種模型在具有海水和陸地兩種介質類型的環渤海區域的地殼形變分析的適用性進行了討論。

1 剛性運動模型

傳統板塊構造理論將板塊看作剛體，即認為板塊內部不發生形變，形變只發生在板塊的邊緣，其運動模型為：

2 基于半參數的地殼形變分析模型

半參數模型的誤差方程為：

在最小二乘法的基礎上增加一個非參數項，其平差準則為：

隨著大地測量技術的發展，監測臺站的穩定性和可靠性越來越高，監測誤差也越來越小，每期觀測時間相對于地殼形變周期很短，可以假設模型誤差和之間的差別不大，可得，其中

由式（2）、式（3）和式（5）構造拉格朗日函數，其為：

限于篇幅，本文直接給出推導結果：

3 基于最小二乘配置的地殼形變分析模型

最小二乘配置模型的一般形式為：

最小二乘配置模型的第一項就是對趨勢性運動的描述，第二項是對隨機性的描述。而地殼運動可以分為大尺度上的板塊趨勢性運動，小尺度上的板塊內部形變，板塊的內部形變可以看作對于板塊整體運動的一種干擾，即信號。地殼形變分析的最小二乘配置模型為：

由于地殼巖石圈基本上是固態形式，則板塊基本上是連續的，其應變力可以在板塊中傳遞。假設位移在空間中連續，觀測數據的協方差函數是距離的函數，且隨著距離的增加其相關性減小。根據地殼板塊運動的特點，選擇高斯函數作為協方差函數。高斯函數在地殼形變中得到了廣泛的應用，也取得了較好的效果。

在進行初始方差—協方差的計算過程中，要對監測站的觀測值進行中心化處理，去除板塊運動的趨勢性部分。以往數據處理過程中，一般采用均值或者中位數法對觀測值進行中心化，對于板塊運動而言，這種方式得到的結果不具有任何物理意義。本文采用 NNR-NUVEL1A模型對速度場數據進行中心化，該模型具有明確的物理意義，可以使得到的協方差函數也具有一定的物理意義，解決了模型參數物理意義不明確的問題。考慮到板塊運動的空間特征，在進行協方差函數的擬合過程中采取分區、分方向的方式進行處理。

基于式（9）的最小二乘解的目標函數為：

由式（8）、式（9）和式（11）解得：

4 算例分析

本文采用“中國大陸構造環境監測網絡”在環渤海區域的GPS觀測速度場數據。監測站的空間分布范圍為 30.96°N~42.54°N、111.48°E~128.11°E，共有 482 個監測站，其中包括基準站32個，區域站450個。基準站數據采集時間為2010年到2014年；區域站數據采集時間為2009年、2011年和2014年三期觀測數據，每個測站連續觀測3天，采樣間隔為30秒。通過對觀測資料進行處理，得到環渤海區域統一速度場數據，精度優于2mm/a。利用環渤海的速度場數據分別進行如下三種方案的計算：

方案1：剛性模型擬合，記為RRM；

方案2：半參數模型擬合，記為SPM；

方案3：最小二乘配置模型擬合，記為LSC。

擬合點的殘差標準差的計算模型為：

利用式（13）對三種模型的擬合殘差進行統計，統計結果如表1所示。三種模型在東方向和北方向的速度殘差的比較，如圖1、圖2所示。

表1：擬合點殘差及均方差（單位：mm/a）

對計算結果進行分析：

（1）從表1可以看出，剛性運動模型在東方向和北方向處理的精度都在2.5 mm以內，表明假設板塊做剛性運動，具有一定的合理性。對三種模型的擬合效果進行比較，剛性運動模型擬合的效果最差，是因為只考慮了板塊的整體運動趨勢，沒有顧及板塊內部形變。板塊內部局部形變有些區域達到厘米級，對板塊運動的影響不可忽略。因此，板內形變影響了剛性運動模型的擬合精度。

（2）從表1可以看出，半參數模型的擬合效果優于剛性運動模型，是因為半參數模型可以對系統誤差進行較好的處理，提高了模型的擬合精度。

（3）從表1也可以看出，最小二乘配置模型的擬合效果優于剛性運動模型，是因為利用該模型中的信號部分來補償偏離板塊整體運動趨勢的局部形變，提高了模型的擬合精度。

（4）如表1所示，最小二乘配置模型的擬合精度優于半參數模型，這是由于高斯函數可以很好的表征環渤海區域板塊運動情況，得到的協方差矩陣能夠合理表達板塊運動的實際情況；半參數模型中假設非參數具有周期性，監測點分布均勻及數量足夠多，與環渤海區域的實際情況可能不相符，以及半參數模型是從數學的角度出發，未能顧及板塊運動的實際情況，影響了塊體的擬合精度。

顧及板塊的運動方向可能對擬合效果產生影響，對觀測數據采用分方向擬合。各種模型在東方向和北方向上的擬合速率殘差值都有明顯的差異，表明分區擬合是合理的。

5 結論

板塊運動除整體上遵循剛性趨勢性運動外，其局部形變也不可忽略。經典的模型是基于歐拉定理的剛體地殼運動模型，將地殼運動完全視為剛體運動而不顧及板內形變是不符合實際的。本文對環渤海區域最新GPS監測速度場數據進行建模分析的結果表明，利用半參數模型中的“非參數”描述板內形變建立半參數地殼形變分析模型和將板內形變視為對剛性運動的干擾信號建立最小二乘配置地殼形變分析模型都可以克服經典剛體地殼運動模型不能顧及板內形變的不足。但二者分析結果也有差異，從各項衡量指標整體來看，最小二乘配置模型要優于半參數模型。本文分析后認為，在環渤海區域，地殼主要由海水和陸地兩種介質存在，這可能破壞了地殼運動的連續性。半參數模型利用“非參數”對剛體運動模型未能顧及的板內形變進行補償，更多的是從數學模型角度出發，對本區域地殼介質性質以及地殼運動的實際物理機制考慮不足；最小二乘配置模型，其對板內形變的描述是通過空間距離將各運動點聯系起來，建立了隨距離衰減的高斯指數型協方差函數，這與地殼運動的實際相符合，而空間距離與介質是否同一也無要求。因此，綜合考慮，最小二乘配置應具有更廣泛的適用性。