一類三階變系數(shù)偏微分方程的格子Boltzmann模型

武芳芳, 王可心

(沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 沈陽 110870)

0 引 言

格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method, LBM)在計(jì)算流體力學(xué)中應(yīng)用廣泛[1-2], 具有物理背景清晰、 邊界易處理、 并行性良好和可擴(kuò)展等優(yōu)點(diǎn)[3]. 目前, LBM已成為一種求解各類非線性偏微分方程的有效數(shù)值方法[4-8].

考慮具有如下一般形式的一類三階變系數(shù)偏微分方程：

(1)

其中a(t),b(t),c(t),d(t)均為t的任意函數(shù),u是空間坐標(biāo)x和時(shí)間坐標(biāo)t的波幅函數(shù), 參數(shù)p是非負(fù)常數(shù),n為正整數(shù).方程(1)在固體材料、 等離子體、 流體等物理學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[9-10].在等離子體和流體中, 方程(1)的特例如下：

1) 當(dāng)a(t)=b(t)=0,n=1,F(u)=0時(shí), 方程(1)為變系數(shù)KdV方程:

(2)

2) 當(dāng)n=1,p=1,F(u)=0時(shí), 方程(1)為修正的變系數(shù)KdV方程:

(3)

3) 當(dāng)a(t)=0,b(t)=-3β,c(t)=2α,d(t)=1,n=1,p=1,F(u)=0時(shí), 方程(1)為Gardner方程:

(4)

大多數(shù)變系數(shù)偏微分方程很難找到其解析解, 因此人們致力于尋找適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求得這些復(fù)雜方程的數(shù)值解, 例如有限元法、 有限差分法和譜方法等[11-13].本文給出求解變系數(shù)偏微分方程(1)的高精度格子Boltzmann模型, 并通過數(shù)值算例驗(yàn)證該模型的有效性和精度.

1 格子Boltzmann模型

對方程(1)采用D1Q5速度模型, 其離散速度集合為{e0,e1,e2,e3,e4}={0,1,-1,2,-2}.格子Boltzmann模型[14]的局部粒子分布函數(shù)演化方程為

(5)

將式(5)等號左側(cè)對空間x和時(shí)間t進(jìn)行Taylor展開, 可得

再進(jìn)行如下形式的多尺度Chapman-Enskog展開[14]：

(7)

其中ε為Knudsen數(shù), 可表示為ε=l/L,l表示平均自由程,L表示特征長度.將式(7)代入式(6), 并比較ε的各階系數(shù), 可得:

定義宏觀量u(x,t)為該點(diǎn)各方向的局部粒子分布函數(shù)之和, 即

綜上所述，現(xiàn)代電氣工程的建設(shè)和發(fā)展過程中，對于自動(dòng)化技術(shù)及智能化已經(jīng)取得了明顯的進(jìn)步，通過智能化技術(shù)已經(jīng)提升了電氣工程的發(fā)展效果，為了保障整體電氣工程的技術(shù)應(yīng)用，還應(yīng)該注重對電氣智能化控制技術(shù)進(jìn)行分析，充分發(fā)揮電氣工程智能化和自動(dòng)化的優(yōu)勢，將電氣智能化更好的應(yīng)用到電氣工程的各個(gè)領(lǐng)域，從PLC技術(shù)到故障診斷技術(shù)全面提升電氣智能化的技術(shù)效果。

(12)

由質(zhì)量守恒知, 局部平衡態(tài)分布函數(shù)應(yīng)滿足

(13)

則由式(7),(8),(13), 有

(14)

(15)

并且選取的補(bǔ)償函數(shù)滿足

(16)

由式(7),(16)可得

(17)

其中λ1,λ2,λ3,λ4為待定參數(shù), 滿足

a(t)=τΔtcλ1,b(t)=(2p+1)τΔtcλ2,c(t)=(n+1)τΔtcλ3,d(t)=Δt2c3(τ2-τ+1/6)λ4.

(18)

對式(9)關(guān)于i求和, 并結(jié)合式(14),(15), 有

(19)

對式(10)關(guān)于i求和, 并結(jié)合式(14),(15),(17),(19), 有

(20)

對式(11)關(guān)于i求和, 并結(jié)合式(14),(15),(17)～(20), 有

(21)

由式(19)×ε+式(20)×ε2+式(21)×ε3可恢復(fù)出具有三階精度的宏觀方程：

合并式(14),(15)可得一組平衡態(tài)分布函數(shù):

根據(jù)式(16)可選取一組補(bǔ)償函數(shù)為

2 數(shù)值算例

為驗(yàn)證LBM的有效性, 分別定義全局誤差(GRE)和最大絕對誤差(MAE)為

其中u(xi,t),uexact(xi,t)分別表示數(shù)值解和精確解.下面對變系數(shù)偏微分方程(1)進(jìn)行數(shù)值模擬.宏觀的初邊值條件由算例方程的精確解確定, 初始的粒子分布函數(shù)直接等于平衡態(tài)分布函數(shù), 邊界處理采用非平衡態(tài)外推格式[16].

例1考慮方程(1), 當(dāng)a(t)=b(t)=0,c(t)=6cos(2t),d(t)=cos(2t),n=1,F(u)=0時(shí)方程形式如下：

(22)

其單孤子情形的精確解[10]為

(23)

計(jì)算中, 選取參數(shù)r=0.5, 無量綱松弛時(shí)間τ=0.958, 時(shí)間步長Δt=10-5, 空間步長Δx=0.2, 計(jì)算域固定為[0,40].圖1為例1中t=10和t=20兩個(gè)時(shí)刻數(shù)值解與精確解的對比, 表1列出了例1不同時(shí)刻的GRE和MAE. 結(jié)果表明, LBM可以得到精度較高的數(shù)值解. 圖2為例1在對數(shù)坐標(biāo)系下不同時(shí)刻的GRE與格子數(shù)NX之間的關(guān)系.由圖2可見, 直線斜率接近3.0, 表明本文提出的模型具有空間三階精度, 與理論精度相符.

圖1 不同時(shí)刻例1數(shù)值解和精確解的對比Fig.1 Comparison of numerical solutions and exact solutions of example 1 at different time

圖2 例1不同時(shí)刻的精度分析Fig.2 Accuracy analysis of example 1 at different time

表1 例1不同時(shí)刻的誤差

例2考慮方程(1), 當(dāng)a(t)=b(t)=0,c(t)=6t2,d(t)=t2,n=1,F(u)=0時(shí)方程形式如下：

(24)

其雙孤子情形的精確解為

(25)

計(jì)算中, 選取參數(shù)k1=0.5,k2=0.7, 無量綱松弛時(shí)間τ=0.958, 時(shí)間步長為Δt=10-6, 空間步長為Δx=0.25, 計(jì)算域固定為[-20,35].圖3為例2不同時(shí)刻數(shù)值解與精確解的對比, 圖4為例2數(shù)值解和精確解隨時(shí)間的演化過程.由圖3和圖4可見, 數(shù)值解與精確解吻合較好.表2列出了例2不同時(shí)刻的GRE和MAE. 由表2可見, LBM可以得到精度較高的數(shù)值解.

圖3 不同時(shí)刻例2數(shù)值解和精確解的對比Fig.3 Comparison of numerical solutions and exact solutions of example 2 at different time

圖4 例2數(shù)值解和精確解隨時(shí)間的演化過程Fig.4 Evolution process of numerical solutions and exact solutions with time of example 2

表2 例2不同時(shí)刻的誤差

例3考慮方程(1), 當(dāng)a(t)=0,b(t)=-3β,c(t)=2α,d(t)=1,n=1,p=1,F(u)=0時(shí), 方程形式如下：

(26)

其單孤子解情形的精確解為

(27)

計(jì)算中, 選取參數(shù)β=0.5,α=5,γ=2, 無量綱松弛時(shí)間τ=0.957, 時(shí)間步長為Δt=10-5, 空間步長為Δx=0.2, 計(jì)算域固定為[-10,20].圖5為例3不同時(shí)刻數(shù)值解與精確解的對比.由圖5可見, 數(shù)值解與精確解吻合較好.表3列出了本文例3的LBM與文獻(xiàn)[8]的LBM在不同時(shí)刻的誤差對比. 由表3可見, 本文的LBM數(shù)值解更精確、 演化時(shí)間更長, 進(jìn)一步驗(yàn)證了本文建立模型的有效性.

圖5 例3不同時(shí)刻數(shù)值解和精確解的對比Fig.5 Comparison of numerical solutions and exact solutions of example 3 at different time

綜上所述, 針對一類含有源項(xiàng)的變系數(shù)三階微分方程, 本文通過適當(dāng)?shù)剡x取平衡態(tài)分布函數(shù)和補(bǔ)償函數(shù), 合理地構(gòu)造了具有三階精度的格子Boltzmann模型, 其中補(bǔ)償函數(shù)可同時(shí)恢復(fù)出宏觀方程的對流項(xiàng)和源項(xiàng). 數(shù)值算例模擬結(jié)果驗(yàn)證了本文模型的有效性和精度. 該格子Boltzmann模型具有一般性, 還可用于求解三階常系數(shù)偏微分方程.