一類各向異性非牛頓微極流體方程組弱解的存在性

王長佳, 石紹力

(長春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022)

0 引 言

在三維空間中考慮如下一類各向異性非牛頓微極流體方程組的初邊值問題:

(1)

其中:Ω?3為一邊界充分光滑的有界區(qū)域,QT=Ω×[0,T],ΓT=?Ω×[0,T]; 未知向量函數(shù)u=(u1,u2,u3)表示流體速度,w=(w1,w2,w3)表示角速度,P表示壓力,f=(f1,f2,f3),g=(g1,g2,g3)為給定的外力項(xiàng),Diu=(?iu1,?iu2,?iu3); 指數(shù)qi為給定的常數(shù), 滿足1

微極流體方程是一類重要的偏微分方程, 在數(shù)學(xué)和物理中應(yīng)用廣泛, 可描述一些經(jīng)典Navier-Stokes方程無法處理的黏性不可壓縮流體的物理現(xiàn)象, 如動物血液的流動等. Araújo等[1]在具有Dirichlet邊界條件三維空間的有界光滑域中, 利用Faedo-Galerkin和緊致性論證的方法, 證明了非牛頓微極流體模型解的唯一性和周期性. 對于各向異性非牛頓流體, Antontsev等[2]研究了一類具有各向異性擴(kuò)散的不可壓縮Navier-Stokes方程的演化問題, 證明了其第一初邊值問題弱解的存在性.

1 預(yù)備知識

令q=(q1,q2,…,qN), 1

Lq(Ω)={u|u∈Lqi(Ω),i=1,2,…,N},

W1,q(Ω)={u|u∈W1,1(Ω),Diu∈Lqi(Ω),i=1,2,…,N},

分別賦予范數(shù)

則其成為完備的線性賦范空間, 即Banach空間.

記β=max{q1,q2,…,qN},α=min{q1,q2,…,qN}, 為討論方便, 本文假設(shè)指數(shù)qi滿足α=q1≤q2≤…≤qN=β.

引理1[3]令Ω?N為一邊界充分光滑的有界開集.如果則如下嵌入關(guān)系成立:

(2)

(3)

注1由引理1, 本文假設(shè)指標(biāo)qi(i=1,2,3)滿足條件1/q1+1/q2+1/q3>1.

下面考慮拋物型各項(xiàng)異性空間.令

(4)

2)u(0)=u0,w(0)=w0;

3) 對?φ∈Vq∩Lθ(Ω),φ∈L2(Ω)以及a.e.t∈[0,T], 有

注2在弱解定義1中未包含壓力項(xiàng)P.事實(shí)上, 若定義1中條件1),3)成立, 則由Rham定理知, 存在函數(shù)P∈L2(Ω)在廣義函數(shù)意義下滿足上述積分等式[4].

注3定義1中,u(0)=u0,w(0)=w0在下列意義下成立：

(5)

(6)

(7)

引理3[4]設(shè)X,Y為兩個(gè)Banach空間,X連續(xù)嵌入到Y(jié).如果函數(shù)u∈L∞(0,T;X)且u: [0,T]→Y是弱連續(xù)的, 則u: [0,T]→X是弱連續(xù)的.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)Ω?3為一個(gè)邊界充分光滑的有界開集,若則問題(1)至少存在一對弱解(u,w), 滿足

u∈CW([0,T];H)∩Lq(0,T;Vq),w∈CW([0,T];L2(Ω))∩L2(0,T;H01(Ω)),

其中:

(8)

u∈CW([0,T];X)表示u: [0,T]→X是弱連續(xù)的.

下面證明定理1.

2.1 近似解的構(gòu)造

(9)

尋求問題(1)如下形式的近似解：

并且當(dāng)m→∞時(shí),

um(0)=u0m→u0于H;wm(0)=w0m→w0于L2(Ω).

(12)

2.2 一致性先驗(yàn)估計(jì)

(15)

利用引理2、 H?lder不等式與Young不等式, 整理式(15)可得

將式(16),(17)相加, 并整理得

將式(18)在(0,t)(0≤t≤T)上積分, 可得

又對?φ∈Lqi(0,T;Vqi(Ω)), 有

利用估計(jì)式(20)可知

(22)

下面推導(dǎo)Ji(i=1,2,3,4,5)的估計(jì).

對J2項(xiàng), 利用引理2可得

對J3項(xiàng)有

對J4項(xiàng), 利用式(15)有

(27)

對J5項(xiàng)有

(28)

(29)

在廣義函數(shù)意義下, 將式(11)重寫為

(30)

下面逐項(xiàng)推導(dǎo)Ii的估計(jì).

對I2項(xiàng)有

由式(20)知wm∈L2(0,T;W1,2(Ω))∩L∞(0,T;L2(Ω)), 故由文獻(xiàn)[8]中引理2.3.3知,wm∈L4(0,T;L3(Ω)), 從而

(32)

對I3項(xiàng)有

由式(15), 對I4項(xiàng)有

對I5項(xiàng)有

(35)

綜合式(32)～(35)并利用式(20)可得

(36)

2.3 近似解的收斂性和存在性證明

由式(20),(22),(29),(36)可得下列收斂性：

um→u強(qiáng)收斂于Lα(0,T;H),

(38)

從而由式(20),(38)并利用插值定理可得

um→u強(qiáng)收斂于Lσ(0,T;H), ?σ≥1.

(39)

wm→w強(qiáng)收斂于L2(0,T;L2(Ω)).

(40)

由上述收斂性, 在式(10),(11)中令m→∞取極限, 可得

當(dāng)φ∈Vq,u∈L∞(0,T;H)∩Lq(0,T;Vq)時(shí), 有

(43)

下面只需證明

(46)

由于對?ξ,η∈Lq(0,T;Vq),ξ≠η, 有

即Ai,A為單調(diào)算子, 因此可利用單調(diào)性方法證明式(46)成立.

(47)

由α的定義及引理1知

于是由插值公式有

其次, 類似于文獻(xiàn)[6]中方法可知, 對a.e.t∈(0,T), 有

對?η∈Lq(0,T;Vq), 令

由A的單調(diào)性可知

(49)

由式(10)可知

令m→∞, 得

結(jié)合式(48),(49)可知

(50)

對任意的λ≥0,ξ∈Lq(0,T;Vq), 取η=u-λξ, 代入式(50)得

(51)

在式(51)中令λ→0取極限, 得

故S=A(u), a.e.(x,t)∈QT.定理1得證.