一類熱彈性板的Phragmén-Lindel?f二擇一結果

石金誠, 肖勝中

(1. 廣州華商學院 數據科學學院, 廣州 511300； 2. 廣東農工商職業技術學院 科研處, 廣州 510507)

1 引言與預備知識

解的空間指數衰減估計是Saint-Venant原則的一個重要性質, 但在研究解的Saint-Venant原則時, 通常需添加一個解在無窮遠點處趨于零的限制. 近年來, 關于解的Phragmén-Lindel?f二擇一結果研究受到廣泛關注, 此時不需要對解在無窮遠處添加限制條件. 經典的Phragmén-Lindel?f定理表明, 調和方程的解從圓柱面有限的一端到無窮遠處必隨距離呈指數增長或指數衰減. 由于雙調和方程在應用數學與力學中具有重要作用, 因此, 在二維空間中的半無限帶形區域上, 對雙調和方程進行空間性質的研究受到廣泛關注. Payne等[1]給出了雙調和方程在3個不同區域的Phragmén-Linde?f二擇一結果； 文獻[2-5]利用不同方法研究了雙調和方程的空間性態. 特別地, 文獻[6]考慮與時間相關的雙調和方程解的性態, 采用二階微分不等式的方法得到了與時間相關的Stokes方程的Phragmén-Lindel?f二擇一結果. 對于解的Saint-Venant原則或Phragmén-Lindel?f二擇一研究目前也取得了一些成果： 文獻[7-13]研究了各種熱方程, 得到一些拋物方程解的空間性質. 本文研究雙曲拋物耦合方程組的Phragmén-Lindel?f二擇一性質. 由于該方程組中兩個方程的性態不同, 從而導致構造解的能量函數較難.

本文所考慮的區域定義為Ω0={(x1,x2)|x1>0, 0

Lz={(x1,x2)|x1=z≥0, 0≤x2≤h}.

考慮如下可用于描述由彈性膜和彈性板構成演化過程的方程組[14]：

其中v表示板的垂直擾度,θ表示溫度差,λ,κ,γ均為正常數, Δ表示Laplace算子, Δ2表示雙調和算子.給出如下初邊值條件：

(3)

其中gi(x2,t)(i=1,2,3)是給定函數, 并滿足如下的相容性條件：

(4)

2 能量函數的定義

首先, 在式(1)兩邊同時乘以exp{-ωt}v,t并積分, 可得

定義函數φ1(z,t)為

聯合式(5),(6), 可得φ1(z,t)的另一個表達式：

其次, 在式(2)兩邊同時對t求導, 再乘以exp{-ωt}v,t并積分, 可得

定義函數φ2(z,t)為

聯合式(8),(9), 可得φ2(z,t)的新表達式為

(10)

在式(2)兩邊同時對t求導, 再乘以exp{-ωt}θ,t并積分, 可得

定義函數φ3(z,t)為

聯合式(11),(12), 可得φ3(z,t)的另一個表達式：

(13)

在式(1)兩邊同時乘以exp{-ωt}θ,t并積分, 可得

定義函數φ4(z,t)為

聯合式(14),(15), 可得φ4(z,t)的另一個表達式：

(16)

在式(1)兩邊同時乘以exp{-ωt}v,αα并積分, 可得

定義函數φ5(z,t)為

聯合式(17),(18), 可得φ5(z,t)的另一個表達式：

由式(9),(15), 可得

由式(6),(12), 可得

由式(18), 可得

由式(20), 可知

其中ε1是大于零的任意常數.聯合式(21)～(23), 可得

其中k1,k2是大于零的任意常數.

聯合式(7),(10),(13),(16),(19), 定義能量函數φ(z,t)為

φ(z,t)=k1(φ2(z,t)+φ4(z,t))+φ5(z,t)+k2(φ1(z,t)+φ3(z,t)).

(25)

在式(24)中, 取

可得

令

3 Phragmén-Lindel?f二擇一結果

下面首先通過φ(z,t)的性質得到一個微分不等式, 然后求解該微分不等式, 最后結合φ(z,t)與E(z,t)的性質得到解的Phragmén-Lindel?f二擇一結果.

聯合式(7),(10),(13),(16),(19),(25), 可得

對于式(27)右邊第一項, 由H?lder不等式和算術幾何平均不等式, 可得

對于式(27)右邊其他項, 采用類似式(28)的處理方法, 可得

(29)

其中k3為可計算的大于零的常數.

下面分兩種情形討論：

(30)

(31)

在情形1)下, 類似于式(27)的推導, 可得

(32)

其中k4是可計算大于零的常數.對式(32)兩邊同時從z到z1積分, 可得

(33)

(34)

聯合式(30),(34), 可得

(35)

(36)

其中

聯合式(31),(36), 可得

(37)

綜合上述討論, 可得：

定理1假設(v,θ)為初邊值問題(1)-(4)的古典解, 則下列兩個不等式之一成立：

(38)

(39)

4 垂直擾度v的點點估計

引理1(Wirtinger不等式)[6]若u(x2)∈C1(0,h), 且u(0)=u(h)=0, 則

(40)

定理2在式(39)能量指數衰減的基礎上, 對于垂直擾度v, 有如下點點指數衰減估計:

(41)

(42)

由式(42),(43), 可得

證畢.