一個無限維弱余分裂李代數

吳怡晗, 張 姣

(上海大學 數學系, 上海 200444)

0 引 言

1 預備知識

定義1[12]對于域F上向量空間L中的一個運算μ:L×L→L, 記為μ(x,y)=[xy], 如果其滿足下列條件:

1) 方括號運算是雙線性的;

2) 對L內所有的x, 均有[xx]=0;

3) 對所有的x,y,z∈L, 均有[x[yz]]+[y[zx]]+[z[xy]]=0.

則稱該運算為向量x和y的方括號或換位子(也稱為李乘運算), 稱(L,μ)為F上的李代數.

對于域F上的有限維向量空間V, 定義F-線性映射τV:V?FV→V?FV, 若對所有向量u,v∈V都有τV(u?v)=v?u, 則稱τV為扭映射.定義F-線性映射ξV:V?FV?FV→V?FV?FV, 若對所有向量u,v,w∈V, 都有ξV(u?v?w)=v?w?u, 則稱ξV為線性循環置換映射.

定義2[13]對于域F上向量空間L中的一個線性運算δ:L→L?FL, 如果其滿足下列條件：

1) (idL?L+τL)°δ=0;

則稱該運算為李余乘運算, 稱(L,δ)為域F上的李余代數.

定義3[1]對于域F上向量空間L中的兩個線性運算μ:L?FL→L和δ:L→L?FL, 如果其滿足下列條件:

1) (L,μ)是一個李代數;

2) (L,δ)是一個李余代數;

3)μ°δ=idL.

則稱δ為L的余分裂運算, 稱(L,μ,δ)為域F上的余分裂李代數.

若相容條件中的恒等變換idL弱化為L上非退化的對角變換, 則(L,μ,δ)稱為弱余分裂李代數.

2 Witt代數的弱余分裂性質

定理1若L為復數域上的Witt代數, 則L=span{xi|i∈,i≥-1},μ(xi,xj)=[xi,xj]=(j-i)xi+j是弱余分裂李代數.

證明: 首先, 定義一個線性映射δ:L→L?L, 對于任意的向量xk∈L(k≥-1), 使得

其次, 驗證(L,δ)是李余代數.對任意的xk∈L(k≥-1), 只需證明xk滿足李余代數的定義.由定義2中條件1)知,

由定義2中條件2)可得

所以(L,δ)是李余代數.

最后, 驗證μ°δ滿足相容性.由任意的xk∈L(k≥-1), 可知

因此μ°δ(xk) 是xk的非零常數倍, 從而μ°δ是L的非退化對角線性變換.

綜上可知, (L,μ,δ)是復數域上的弱余分裂李代數.證畢.