隔離開關電弧流體數學模型研究與應用

郝 莎 徐建源 林 莘

（沈陽工業大學電氣工程學院 沈陽 110870）

0 引言

隔離開關分合空載短母線時，觸頭間會產生電弧，且電弧能量較小，不能維持其穩定燃燒。現有的電弧模型通常采用指數電阻模型，缺乏電弧放電物理過程的研究，無差別地將電弧時間常數定義為一個常數，忽略了開關氣室結構、間隙距離、機械特性等因素[1-3]。國家電網公司經過大量實驗發現，同一實驗回路，不同結構特征和操作特性的隔離開關操作產生的快速暫態過電壓（Very Fast Transient Overvoltage, VFTO）幅頻特性差別較大[4-5]。隔離開關分合閘操作中，放電間隙距離由幾毫米到幾厘米，氣室結構的電場不均勻系數分布較廣，稍不均勻電場與極不均勻電場的工況均有涵蓋[6]。研究表明，隔離開關合閘首次擊穿和分閘末次擊穿時，VFTO幅值可達到3(pu)，頻率高達百MHz，為電力系統安全運行帶來極大隱患[7]。因此，有必要對cm級間隙下考慮氣室結構和放電工況的電弧放電模型進行研究，建立基于隔離開關結構特性和操作特性的電弧等效模型。

電弧放電模型中，以A. J. Davies等[8]提出的流體模型最為代表，它基于微觀粒子運動特性，通過耦合求解粒子連續性方程及Poisson方程計算放電過程中各粒子隨時間、空間的分布規律，可以獲得流注放電電流、空間電場等較難測得的物理量。20世紀末期，S. K. Dhail等[9]通過建立柱坐標下的二維流體模型，較好地解釋了放電過程的三維空間現象；A. A. Kulikovsky等[10]在此基礎上引入三維光致電離模型，對空氣/N2的正流注放電特性進行模擬，分析了光致電離對流注發展的影響。在流體模型的應用中，如何準確地對粒子連續性方程及不規則區域上Poisson方程進行耦合求解是仿真的關鍵。為此，有限差分法（Finite Difference Method, FDM）、有限單元法（Finite Element Method, FEM）和有限體積法（Finite Volume Method, FVM），耦合通量校正傳輸（Flux Corrected Transport, FCT）法的混合算法被廣泛應用，實現流注發展過程的求解。但FDM不能直接處理復雜的幾何結構及非結構化網格，計算精度也不高；FEM雖然完善了網格劃分技術，但其本質是中心差分格式，無法像有限差分的迎風格式一樣保證解的正定性，極易出現負粒子密度；FVM在非結構化網格中，對于梯度算子的離散較難實現。為此，文獻[11]為提高計算速度，引入自適應網格技術，實現了FEM-FCT用于流注仿真的求解；清華大學在FEM-FCT的基礎上，提出加權不連續有限元并行計算針-板電極下空氣間隙流注放電過程[12]；湖南大學采用Euler-Taylor-Galerkin格式離散粒子輸運方程，結合FCT對短間隙均勻電場流注電暈放電過程進行模擬[13]。文獻[14]結合玻耳茲曼法與流注理論對SF6及其混合氣體的電擊穿特性以及放電實驗開展相關研究，從空間電荷影響放電過程的角度解釋氣體極性效應形成機理。文獻[15]針對新型環保氣體中的流注產生機理和發展過程進行研究，仿真得到針板模型中的一次流注到二次流注放電過程，擬合得到一次流注傳播過程中光通量的變化函數。文獻[16]對低氣壓下5～20cm棒板間隙中正負極性下直流放電過程進行實驗研究，對流注放電通道外部特征以及低氣壓電壓極性效應進行研究。此外，T. Rylander[17]、B. R. Barron等[18]還提出將FEM與FDM混合的思想，分別發揮兩種算法的優勢，保證FEM網格數量不會隨著仿真域的增大而呈現指數增長，縮短計算時間，同時將物理量與數值量分離，保證其解的正定性。文獻[19]對cm級間隙下空氣中電子輸運過程的簡化模型進行分析，通過插值函數建立FDM與FEM間的映射函數，將物理量與數值量進行分離，在保證計算精度的基礎上大大縮短了計算時間。

高壓電氣設備絕緣結構大多為cm級間隙下的不均勻電場，本文在文獻[19]提出的FDM-FEM-FCT方法的基礎上進行改進，一方面，考慮SF6吸附性較強，負離子數密度較大，影響空間電場的畸變作用，粒子連續性方程中增加正負離子的相關反應方程；另一方面，不均勻電場下，電場強度徑向分量較大，考慮電子在徑向上的漂移擴散作用，流注半徑隨時間和空間變化。搭建隔離開關電弧放電實驗回路，結合電弧能量平衡理論，對其恢復過程進行分析，并對比實驗與仿真的電弧暫態特性。

1 流體電弧數學模型的建立

隔離開關電弧模型實質為SF6氣體的擊穿以及擊穿后高頻振蕩過電壓下的氣體介質恢復過程。本文首先對觸頭間隙擊穿時微觀粒子的動態發展過程進行建模。

1.1 高頻暫態階段電弧的擊穿

隔離開關分合閘操作不存在氣吹，以電子的為例，其輸運過程可以表示為

式中，ne為電子的數密度（m-3）；Γe為電子密度的通量（m-2·s-1）；Ge為電子數密度的源項（m-3）；t為時間（s）。考慮觸頭間隙擊穿過程中，電子發生電離、吸附、復合等變化，則

式中，kion和kabs分別為平均電子能量的電離速度和 吸附速度（m3·s-1）；kep為電子與正離子之間的復合系數（m3·s-1）；N、np分別為中性粒子、正離子的數密度（m-3）；Sph為光電離源項（m-3）。

同理可得，正、負離子的輸運方程為

式中，nn為負離子的數密度（m-3）；knp為正、負離子之間的復合系數（m3·s-1）；Γp、Γn分別為正、負離子的數密度通量（m-2·s-1）。由于離子的擴散速 度遠小于電子，相對于電子的擴散可以完全忽略，故電子、正、負離子數密度通量分別為

式中，E為電場強度（V/m）；μe、μp和μn分別為電子、正、負離子的遷移率（m2·V-1·s-1）；De為電子的擴散系數（m2·s-1）。

空間任意一點m處吸收光子所產生的光電離源項Sph為

式中，k1、k2分別為氣體分子對99～103.5mm光波的最小和最大吸收系數，k1=2.62×10-4cm-1P a-1，k2=0.016cm-1P a-1；Pq為激發態衰減壓強，且Pq= 3997Pa；p為氣體壓強（Pa）；ne′、ve′分別為與m處相距處的電子數密度（m-3）和電子漂移 速度（m3·s-1）；w1為碰撞電離輻射光子的概率。氣體輸運參量與光電離項根據文獻[20-22]計算得出。

放電過程的推進由空間電場的分布特性決定，同時考慮放電過程中空間電荷分布對背景電場存在畸變作用，合成電場應滿足

式中，e為電子電荷，e= 1.6× 10-19C；εr為相對介 電常數，在SF6氣體中，εr= 1.002；ε0為空氣中的介電常數，ε0= 8.854× 10-12F/m。

觸頭間隙氣體擊穿電弧等離子體形成時刻，導電通道內存在大量帶電粒子，在極間電場的作用下，這些帶電粒子定向運動，形成電流。結合經典Spitzer等離子體電導率計算公式可得

式中，J為電流密度（C·m-2·s-1）。由于重粒子質量遠大于電子質量，電子遷移率遠大于重粒子遷移率，計算中認為J≈eneve。

1.2 電弧擊穿數值求解方法

流注仿真研究中，不僅要保證不均勻電場的求解精度，還要防止長間隙下網格數量與計算時間指數增長，以及其引起的局部電場數值奇異與發散。

考慮空間粒子分布對間隙電場的畸變作用，每個時間步耦合電場求解，計算流程如圖1所示。分別采用FEM和FDM對輸運過程的空間和時間進行離散，得到有限元（Finite Element, FE）網格和有限差分（Finite Difference, FD）網格，并建立二者的映射關系。重點考察帶電粒子在軸線上的輸運過程，根據各粒子的徑向漂移擴散速度建立軸線之外區域與軸線上變量的數值關系。

圖1 程序流程Fig.1 Computational flow chart

假設各粒子徑向分布滿足麥克斯韋分布，流注半徑可表示為

式中，r為流注半徑（m）；d為放電間隙距離（m）。

隔離開關觸頭間隙擊穿過程僅為幾十ns，放電通道未完全形成時，放電邊界上電位受外電路電壓特性影響較小，可視為恒值。采用FEM將空間離散為若干個三角單元，設定每個單元內部的電勢在每個時間步下是一個常數，且

式中，Ni、Nj、Nk，φi、φj、φk分別為三角形單元3個節點i、j、k處的插值函數及電勢。

結合格林公式使用Galerkin法，令加權余量為0，則

化簡，可得空間內任意單元電勢φ滿足

其中

式中，Ke為單元的剛度矩陣；A為單元面積。

將式（10）第二項的積分項用形函數表示，并采用歐拉積分公式進行逐項展開后，化簡可得

其中

式中，nnet為凈電荷量；Me為單元的質量矩陣。

為防止計算粒子輸運過程中產生數值振蕩問題，采用FCT引入反擴散通量對結果進行修正。有限差分的一般格式可以寫為

其中

（4）對抗擴散通量進行限制

其中

（5）計算最終解為

在求解中，對于二維網格，時間步長 Δt滿足

式中，Δx為單元長度；v為單元速度。

1.3 高頻暫態階段電弧的恢復過程

流注擊穿過程通常為幾十個ns，外施電壓可視為恒值。隨后，間隙擊穿形成貫通的放電通道，間隙電壓在幾個ns內降至一個較小值，并發生高頻振蕩，外施電壓主頻一般為幾十MHz[23]，電弧電位邊界條件滿足

式中，l為電弧長度（m）；ul(t)與us(t)分別為隔離開、關動靜觸頭處的線路電壓（V）。

隔離開關電弧電流峰值較大，但維持時間短，電弧積累能量小，弧柱的熄滅主要依靠外電路的暫態特性，且弧柱能量始終遵循能量平衡理論，電弧電阻R滿足

式中，P0、N0分別為單位長度電弧輸入功率和散熱功率（J·s-1）；τ為電弧時間常數，且滿足

式中，rarc為電弧半徑（m）；q0為表示電弧特性的電弧能量常數，且

式中，ue為氣體游離電位，本文取17.5V；T0為電弧周圍空間熱力學溫度（K）；p為氣體壓強（Pa）；K為常數，且K= 6.05×1 0-5。

隔離開關中不存在氣吹，電子能量耗散方式主要包括傳導Ncond和輻射Nrad。假設熄弧過程中，電弧通道半徑不變，單位長度電弧的傳導散熱功率為

式中，λ為氣體熱導率（ W· m-1· K-1），取值參照文獻[24]；T為電弧熱力學溫度（K）。電弧擊穿后，可近似認為電弧溫度等于重粒子溫度[25]，徑向溫度遵從麥克斯韋分布。

根據玻耳茲曼定律，電弧弧柱熱輻射散熱功率與電弧溫度有關，單位面積的輻射功率為

式中，εf為弧柱發射率，εf= 1；ξ為輻射常數，ξ= 5.67×10-8W/(m2· K4)[26]。

2 隔離開關電弧模型仿真分析

為進一步開展隔離開關電弧機理的實驗研究，本文設計了隔離開關放電實驗罐體，如圖2a所示。電極結構采用材料為Al的半球頭棒板電極，如圖2b所示，其中，棒電極曲率半徑為1cm，板電極為圓盤形平板，且半徑為5cm，邊緣進行倒圓角以防止產生電場邊緣效應。

圖2 隔離開關實驗罐體及觸頭結構Fig.2 Body and contact structure of disconnector

結合實驗條件，設置間隙距離為1cm，當SF6氣體壓強為0.2MPa時，設置棒電極加載107kV正極性電壓，板電極接地。仿真得到放電過程中間隙電場與粒子數密度的變化曲線，其中，0～2ns內觸頭間隙電場強度與電子數密度在軸線上的變化曲線，如圖3和圖4所示。

圖3 0～2ns軸線上電場強度變化曲線Fig.3 Curves of electric field intensity on axi during 0～2ns

圖4 0～2ns軸線上電子數密度變化曲線Fig.4 Curves of electron number density on axis during 0～2ns

由仿真結果可以看出，0～1ns內，放電間隙電場分布情況幾乎不變，電子崩中電子數密度急劇增加，正負粒子團的等效中心重合。此時，空間凈電荷的數目相對較少，背景電場的畸變較小。1.5ns 時，空間電荷對間隙電場影響逐漸增加，此時空間電子數密度為 2.1× 1 011m-3。1.5～2ns之間，空間電 場分布畸變增強，正負粒子團的等效中心逐漸分離，空間電子數密度由 1.1× 1 014m-3上升至 3.7×1 015m-3，流注開始沿z軸向前發展。電子崩在軸向發展過程中，由于電子的擴散作用，電子崩半徑逐漸增大，產生大量空間電荷，崩頭前大量電子堆積，加劇了崩頭處的電場，同時也削弱了崩頭內正負電荷之間的電場，空間電子數密度增長速度變緩，圖5和圖6分別給出了2～8ns內電場強度與空間電子數密度 在軸線上的變化曲線。當t= 10.89ns 時，觸頭間隙完 全擊穿，通道內電子數密度上升至 5.14× 1 017m-3。

圖5 2～8ns軸線上電場強度變化曲線Fig.5 Curves of electric field intensity on axi during 2～8ns

圖6 2～8ns軸線上電子數密度變化曲線Fig.6 Curves of electron number intensity on axi during 2～8ns

對通道內電弧電導率進行積分，得到觸頭間電弧電阻變化曲線，如圖7所示。可以看出，0～1.7ns之間，空間電子數密度急劇增加，放電間隙電弧電阻值下降斜率較大，此時正負粒子團的等效中心重合，粒子團內粒子數密度及半徑不斷增加，接近t=1.7ns時，正負粒子團的等效中心逐漸分離，電弧電阻下降速度逐漸減緩。當t=1.7ns時，電弧電阻R=2 232Ω。隨后，在流注沿z軸向板電極行進的過程中，空間電場畸變使得電弧電阻的下降坡度大大減小，直至t=10.89ns時，放電通道完全貫通，電弧電阻減少至0.02Ω。

圖7 電弧電阻變化曲線Fig.7 Arc resistance curve during the breakdown

3 隔離開關電弧實驗特性及仿真結果與實驗數據對比分析

3.1 隔離開關電弧實驗特性

為了驗證仿真實驗的準確性，本文設計搭建了隔離開關電弧實驗回路，選用阻容分壓器和羅氏線圈分別測量電弧電壓與電流波形，其實驗電路如圖8所示。考慮觸頭間隙電弧擊穿過程在μs級時間內完成，外施電源可選用沖擊電壓發生器，回路設置一定容性負載和放電間隙，模擬隔離開關空載開斷下的電弧放電特性。其中，沖擊電壓發生器標稱電壓為±2 400kV，標稱能量為240kJ，利用12級球隙采用倍壓整流方式得到1.2/50μs的標準雷電波形，其原理接線和實物如圖9所示。

圖8 電弧特性實驗電路Fig.8 Experimental circuit on arc characteristics

圖9 高壓電源Fig.9 High voltage power supply

實驗回路負載電容及線路電感數值與振蕩回路的主頻f滿足

式中，δ(Req)為線路損耗引起的頻率變化；Leq、Ceq分別為線路的等效電感和電容。

沖擊電壓發生器自身沖擊電容為0.083 3μF，等效電感為44.4μH。采用SGB-150C型阻容分壓器對實驗罐體上的擊穿電壓進行測量，阻容分壓器的電壓比為1 000∶1。實驗罐體充以0.2MPa SF6氣體，觸頭間隙距離為1cm，啟動沖擊電源發生系統，得到阻容分壓器上的電壓與電流波形如圖10所示。

圖10 實驗測得電壓與電流波形Fig.10 Experimental current and voltage waveforms

由圖10可看出，t=0時啟動沖擊電源發生器，向線路提供最大幅值為120kV的1.2μs/50μs標準雷 電沖擊電壓波。考慮設備雜散電容及操作響應時間等因素，約t=1.2μs時，電壓波上升至116kV，此時放電罐體發生擊穿，擊穿后線路電流瞬間上升至1.08kA，線路產生高頻振蕩電壓，且電壓最大值為243.5kV。約t=4.16μs時，線路振蕩電壓和電流逐漸趨于平穩，此時電壓幅值約為97.34kV，電流幅值約為0.03kA。

3.2 觸頭間隙介質恢復過程的求解

根據實驗工況，當觸頭間距為1cm時，對實驗線路進行電磁暫態計算，采用EMTP/ATP中的MODEL自編程模塊對電弧變化過程進行實時控制，計算得到阻容分壓器處的電壓波形與線路電流變化曲線如圖11所示。

圖11 仿真電壓與電流波形Fig.11 Simulation voltage and current waveforms

由圖11可以看出，當t=1.2μs時，隔離開關電弧擊穿，線路電流上升至1.11kA，隨后線路產生振蕩電壓，其最大幅值約為254.47kV。當t=4.42μs時，仿真電壓與電流振蕩過程基本消失，此時，電壓幅值約為106.11kV，電流幅值約為0.02kA。進一步對比分析仿真電壓波形與實測結果的頻率分布特性，其幅頻對比如圖12所示。

圖12 仿真結果與實驗數據的幅頻特性對比Fig.12 Frequency comparison of simulation results and experimental datas

由圖12可以看出，實驗波形主要頻率為3.5MHz，4.5MHz，6.5MHz，8.4MHz，10.1MHz，19.2MHz，27MHz，46.6MHz。仿真波形主要頻率有10.2MHz，27.1MHz，35MHz，46.6MHz。其中，0.1～8.4MHz的電壓分量實驗數值大于仿真結果。分析認為，電壓分量主要與線路分布參數和電源電壓特性有關，尤其是在觸頭間隙擊穿前，電源電壓存在一定波動，沖擊電壓波波頭上升率發生畸變。提取波形分解計算得到，電源電壓波動引起的畸變波形主要頻率為3.5MHz、4.6MHz和6.5MHz。對于10MHz以上電壓分量，實驗與仿真波形主頻分布較為接近，其主要由電弧擊穿產生的電壓陡波在線路中折反射形成。但由于實驗回路熱損耗較大，其電壓幅值整體小于仿真數值。濾除系統電壓頻率的影響，提取實驗與仿真波形的特征參數，并計算二者的誤差，見表1。

表1 仿真與實測波形參數Tab.1 Waveform parameters with different arc models

根據以上分析可以看出，仿真波形基本參數特點與實測波形基本一致，但仿真波形具有更高的陡度和幅值。分析認為，一方面，實驗測量元件存在一定的響應誤差；另一方面，實驗回路發熱、電源電壓波動及隔離開關觸頭材料粗糙程度等引起能量損耗較大，實驗數據整體比仿真數值較小，其誤差值在2%～10%之間。

綜上可以發現，流體電弧數學模型可以充分考慮放電間隙結構特征，針對其流注發展過程，研究間隙電子在特定工況下的動力學特性，科學并準確地分析高頻電壓下的電弧電導率變化特性，為隔離開關的設計需求提供依據。

4 結論

本文從氣體擊穿微觀粒子發展過程入手，在流注理論的基礎上，建立了隔離開關觸頭間隙電弧流體模型。搭建電弧實驗回路，測量并分析了電弧電壓暫態特性，并與仿真結果進行對比，結果表明：

1）放電過程中，電弧電阻下降率受空間電場的畸變作用影響。放電初期0～1.7ns內，電子崩正負離子團中心重合，空間電場畸變較小，空間電子數密度增長速度較快，電弧電阻率下降率較大。隨后，正負離子團中心逐漸分離，空間電場畸變增大，電子數密度增長速度變緩，電弧電阻下降率減小。當t=10.89ns時，放電通道完全導通，電弧電阻減少至0.02Ω，電子數密度為 5.14×1 017m-3。

2）隔離開關電弧擊穿后，測得線路電流最大幅值為1.08kA，電壓最大值為243.56kV。相比仿真結果，實測數據具有較高的幅值與較短的持續時間。仿真電流最大幅值為1.11kA，電壓為254.47kV。

3）濾除系統電壓頻率的影響，仿真數值具有更高的陡度和幅值，二者全波形特征參數基本一致，誤差范圍為2%～10%。