交直流混合激勵下取向硅鋼片磁滯及損耗特性模擬方法

趙小軍 王 瑞 杜振斌 苑東偉 杜海泉

（1. 華北電力大學電力工程系 保定 071003 2．河北省輸變電裝備電磁與結構性能重點實驗室 保定 071056 3．國網聊城供電公司 聊城 252000）

0 引言

軟磁材料因具有高磁導率和低損耗等特性，被廣泛應用于電力設備和電子器件中[1]。大型電機、變壓器、電抗器等設備的鐵心，都是由硅鋼片疊制而成，工作在工頻正弦激勵下。然而隨著直流輸電技術的快速發展與電力電子器件的廣泛應用，電力系統中引入了直流偏磁和大量諧波，軟磁材料的磁通發生畸變，導致鐵心振動加劇、局部過熱，同時危害電力系統安全穩定運行。因此較為準確地模擬交直流混合等復雜激勵下的軟磁材料磁滯與損耗特性對變壓器、電機等設備的運行特性和優化設計具有重要意義[2-3]。

國內外學者針對非正弦激勵下鐵磁材料磁滯及損耗特性開展了大量研究工作。劉任等提出了基于場分離技術與損耗統計理論的新型解析動態Energetic模型，具有較好的擬合精度，但是磁滯模型待提取參數較多[4-5]。李陽等建立動態 Jiles-Atherton（J-A）模型，提出基于粒子群算法與遺傳算法的混合算法實現模型的參數辨識，該方法在單純的直流偏磁激勵下擬合效果較好，然而當偏磁與2次或3次諧波均存在時，動態磁滯回線形狀擬合誤差較大[6-7]。S. Hussain等利用Preisach模型進行高頻正弦及諧波激勵下的磁滯特性模擬，同時實現與數值計算相結合，模擬精度較高，但參數辨識過程較為復雜，不易掌握和實現[8-11]。趙志剛等結合商用電磁場數值分析軟件提出考慮畸變磁通影響的諧波磁損耗工程計算方法[12]，李琳等將主磁滯回環及其內部偏置小回環獨立考慮，推導了磁滯損耗和剩余損耗統計參數的半解析表達式，計算出含小回環的3次及5次諧波激勵下的損耗[13]。劉剛等對原始損耗分離模型中的損耗分量進行系數校正，使其可以應用于基波疊加單次諧波激勵下的損耗計算[14-15]。

綜上可知，針對非正弦激勵下的磁特性模擬和損耗計算的研究還不夠深入，仍然存在一系列問題：

1）磁滯模型大多要基于測定的磁滯曲線，采用優化算法得到擬合參數，當激勵形式較為復雜時，很難得到合適的參數，導致模型預測能力較弱。

2）對于諧波下的研究主要針對損耗的擬合，并沒有同步實現動態磁滯特性的模擬，限制了應用范圍。

3）研究的激勵形式大多為直流偏磁或諧波的單一類型，而實際工程變壓器常運行在偏磁與多諧波共同激勵的條件下，此時鐵磁材料的磁滯回線出現非對稱性，并同時可能出現局部回環，很難進行有效且準確的動態磁滯和損耗特性模擬。

本文基于BROCKHAUS 磁性能測量系統，獲得了取向硅鋼疊片在偏磁與諧波疊加激勵下的磁滯與損耗特性，并對激勵中各變量對損耗特性的影響進行研究。基于Preisach磁滯模型，提出了面向非對稱磁滯回線模擬的參數辨識方法，并應用于靜態磁滯特性模擬。進一步考慮直流偏磁磁場和諧波次數激勵各變量對異常損耗參數V0的影響，構建適用于交直流混合激勵下磁性能模擬的動態磁滯模型。分析對比了動態磁滯回線及損耗的仿真結果與實驗測量結果，對本文提出的方法進行驗證。

1 交直流混合激勵下的磁性能測量

1.1 磁性能測量系統

圖1所示為多功能磁性能測量平臺，包括標準愛波斯坦方圈、電源，以及軟件控制系統等。軟件控制系統負責將通過PC端輸入的控制指令（波形、直流偏磁磁場強度、諧波次數、交流磁通密度幅值等）進行數據處理，施加相應激勵。一次繞組的選擇性勵磁可通過自由曲線或脈沖寬度調制信號實現，經由功率放大器提供。勵磁電流i(t)與磁場強度H(t)滿足安培定律，即

式中，N為愛波斯坦方圈的線圈匝數，實驗中一次、二次側線圈匝數均為128；i(t)為一次繞組勵磁電流；lm為等效磁路長度。

在一次繞組中通入直流電流idc，在鐵心中建立直流磁場Hdc，二者間仍有式（1）所示線性關系。同時在繞組端口施加諧波電壓u(t)，磁通密度B(t)的測定是通過對二次繞組感應電壓u2(t)的采樣、轉換和積分來實現的，u(t)和B(t)的表達式分別為

式中，u2(t)為二次側感應電壓；U1m為基波電壓幅值，Ukm為第k次諧波激勵電壓幅值；f為基波頻率；kφ為第k次諧波與基波之間的相位差，本文選取kφ=0°；S為樣品等效截面積。

使用獨立的模擬數字轉換器并行記錄樣品H(t)和B(t)的大小，以避免相位差產生的誤差。測試樣品參數見表1。

表1 硅鋼疊片樣品參數Tab.1 Some key parameters of the silicon steel lamination

1.2 偏磁與諧波對磁滯及損耗的影響

直流偏磁存在時，基波疊加高次諧波時測量得到的動態磁滯回線分別如圖2a、圖2b所示。由圖2可知，激勵中直流偏磁和諧波的同時存在，會導致磁滯回線不對稱并可能出現局部回環，磁化特性更加復雜。因此要基于實驗數據預先進行損耗特性分析。

圖2 實驗測量的動態磁滯回線Fig.2 Dynamic hysteresis loop of experimental measurement

圖3給出了不同直流偏磁作用下，基波疊加7次諧波激勵時的損耗曲線。當直流磁場強度Hdc不變，損耗會隨著交流磁通密度峰值Bacm的增大而明顯升高；當Bacm不變，伴隨著Hdc每增長25A/m，損耗也會增大，但增長速率越來越緩慢。因此直流偏磁磁場的存在會使損耗增大，同時對于損耗特性的影響具有飽和性。Hdc=75A/m，基波疊加不同高次諧波時的損耗曲線如圖4所示。損耗隨著所疊加諧波次數的升高而增大，并且次數越高，增長速率越快。因此激勵中諧波的存在會促使損耗升高，并且其頻率對損耗特性的影響較為顯著。當直流偏磁磁場與諧波次數均發生改變時的損耗曲線如圖5所示。k=3，Hdc=25A/m的損耗曲線和k=5，Hdc=0A/m的損耗曲線在A點相交，可見當外加激勵中直流偏磁作用增強，但基波疊加的諧波次數降低（亦可視為諧波作用減弱）時，損耗的變化將會與交流磁通密度峰值Bacm直接相關，若Bacm較低，直流偏磁磁場 作用更明顯，損耗升高；反之，則諧波作用更明顯，損耗降低。究其原因，當鐵磁材料交流磁通密度較低，對應的磁場強度隨之降低，此時施加Hdc對損耗的升高作用顯著，k減小對損耗的降低效果則相對而言較弱；反之材料在交流磁通密度比較高時已經趨于飽和，而實驗中所施加的直流偏磁磁場強度Hdc最大僅為100A/m,遠小于飽和磁場強度，偏磁影響不明顯，諧波則成為影響損耗變化的主要因素。

圖3 基波疊加7次諧波在施加不同直流偏磁時的 損耗曲線Fig.3 Loss curves under different DC bias when the seventh harmonic is superposed on the fundamental component in the hybrid excitation

圖4 Hdc=75A/m，基波疊加不同的高次諧波時的 損耗曲線Fig.4 Loss curves when different frequency of harmonic is superposed on the fundamental component in the hybrid excitation with Hdc=75A/m

圖5 無偏磁作用和Hdc=25A/m時，基波疊加3次或5次諧波的損耗曲線Fig.5 Losses curves when third or fifth harmonic is superposed on the fundamental component in the hybrid excitation with Hdc=0A/m or Hdc=75A/m

由以上結果及分析可知，在交直流復合激勵條件下，硅鋼片的磁滯及損耗特性較為復雜，需要結合激勵特征建立有效且準確的磁滯模型。

2 交直流混合激勵下的動態磁滯模型

根據G. Bertotti提出的損耗統計理論[16]，直流偏磁與諧波相疊加的混合激勵下單位時間內每單位體積硅鋼片的總損耗由磁滯損耗Ps,hy、渦流損耗Ps,cl和異常損耗Ps,ex三部分組成，即

式（4）中Ps,cl為直流偏磁與諧波疊加激勵下的渦流損耗，假設磁場沿磁性材料內部均勻分布，基于麥克斯韋方程得到其表達式為

式中，σ為材料電導率；d為疊片厚度；Ws,cl為時間周期T范圍內的渦流損耗。需要注意的是，本文激勵所疊加的諧波頻率較低（小于500Hz），故趨膚效應可以忽略不計[17]。

式（4）中Ps,ex為直流偏磁與諧波疊加激勵下的異常損耗。異常損耗是由于磁疇壁的移動在其附近感應出的微觀局部渦流而產生，與動態磁化過程緊密相關，目前難以利用實驗手段對其物理機理進行準確測量。因此基于磁疇理論推導得到異常損耗的數學模型為[18]

式中，S為疊片的橫截面積；G為無量綱系數，G=0.135 6；V0為表征局部磁場分布的統計參數，用來描述材料的微觀結構特征；Ws,ex為時間周期T范圍內的異常損耗。

式（4）中Ps,hy為直流偏磁與諧波疊加激勵下的磁滯損耗。傳統損耗模型并未對其給出解析表達式或有效求解方法，因此復雜激勵形式下磁滯損耗的計算是損耗分離模型存在的重點問題。一般正弦激勵下磁滯損耗計算表達式為

式中，Psin,hy為正弦激勵下的磁滯損耗；kh和α為磁滯損耗系數；fm為激勵頻率；Bm為磁感應強度峰值。為了拓寬該式的適用范圍，M. Popescu等提出將磁滯損耗系數用Bm的多項式進行擬合，有效地改善了精度[19]。然而單純的損耗擬合無法考慮磁滯效應，不能與有限元方法相結合，應用在鐵磁材料的局部磁特性研究時具有明顯局限性。綜上可知，應利用有效準確的磁滯模型對交直流混合激勵下的磁滯特性進行模擬。

基于場分離技術，可將直流偏磁與諧波相疊加激勵下的動態磁場強度Hs,t分為三個部分[20-21]，即

式中，B為直流偏磁與諧波疊加激勵的磁感應強度；Hs,hy、Hs,cl和Hs,ex分別為磁滯損耗、渦流損耗和異常損耗對應的磁場強度。Hs,cl、Hs,ex與損耗的關系為

根據場量和能量之間的關系，渦流損耗Ws,cl和異常損耗Ws,ex在極小時間段dt內的微小增量dWs,cl和dWs,ex分別為

將式（11）與式（13）、式（12）與式（14）結合，可推導得到

式中，δ= sign(dB/dt) = ±1，取決于磁感應強度B隨時間變化的曲線是上升還是下降。

3 靜態磁滯模型及其參數辨識

用于軟磁材料磁滯特性模擬的磁滯模型有Jiles-Atherton（J-A）模型、Preisach模型、Energetic模型及E&S模型等[4-11,22-25]。本文選擇具有較高求解精度的Preisach模型，建立模型的基本步驟為：①生成一階回轉曲線；②利用一階回轉曲線辨識如式（17）所示的Everett函數；③由式（18）計算得到磁場強度H的輸出值[10]。

式中，B和b分別為上升和下降的磁感應強度局部極值；以起始于上升支的一階回轉曲線為例，Hforc(B)為位于上升支輸入值為B的點所對應的輸出值，Hforc(B,b)為起始于上升支為B的點的一階回轉曲線，輸入減小到b點時對應的輸出值。

式中，E(Bk,bk-1)為對應于上升的局部極值k=1,2,…,n處的逆Everett函數值；E(Bk,bk)為對應于下降的局部極值k=1, 2, …,n處的逆Everett函數值；E(B0,b0)為正向飽和狀態時對應的逆Everett函數值。

鐵磁材料的一階回轉曲線（FORCs）是利用Preisach模型解決靜態磁滯特性模擬問題的關鍵。E. Dlala提出了基于對稱的極限磁滯回線生成一階回轉曲線的數值方法[8]，但該方法具有局限性，即要求用于生成一階回轉曲線的極限磁滯回線必須具有對稱性。而在交直流混合激勵下，由于偏磁的影響，通過實驗測量得到的是非對稱極限磁滯回線。S. E. Zirka等提出了另一種數值方法，并將其應用于無偏磁作用下軟磁材料的磁滯與損耗特性模擬[26]。事實上，這種新的一階回轉曲線的數值生成方法具有更佳的泛化能力和更廣的適用范圍，能夠用于非對稱一階回轉曲線的生成。本文將采用該方法構造交直流混合激勵下非對稱極限磁滯回線的一階回轉曲線。

通過實驗可測量得到Bacm=1.88T，不同直流磁場強度Hdc時的靜態極限磁滯回線。由于測量系統不能直接獲取硅鋼片中磁通密度的直流分量，本文采用迭代法[27]計算得到不同偏磁情況下磁通密度直流分量。利用上文提到的數值方法分別生成起始點位于上升支的下降的一階回轉曲線和起始點位于下降支的上升的一階回轉曲線，如圖6所示。進而可以得到考慮了磁滯特性非對稱特征的逆Everett函數E(bu,bv)，如圖7所示。

圖6 一階回轉曲線Fig.6 The FORCs

圖7 逆Everett函數Fig.7 Inverted Everett function composed from FORCs

基于非對稱的逆Everett函數建立Preisach磁滯模型，對不同交直流混合激勵情況下的靜態磁滯回線進行擬合，圖8給出了工況a（k=5，Bacm=1.0T，Hdc=50A/m）及工況b（k=5，Bacm=1.3T，Hdc=100A/m）仿真結果與實驗結果對比。可以看出磁滯回線主回環擬合效果良好，但部分局部回環擬合效果欠佳。究其原因，受到實驗條件的制約，無法通過測量得到真正的靜態磁滯回線，實驗中只能用較低頻率下（基頻3Hz）的交直流混合激勵來近似獲得靜態磁滯回線。通過式（2）和式（3）可知，交流磁通密度基波部分的實驗激勵頻率為3Hz，滿足近似條件；而諧波部分的實驗頻率會隨著諧波次數k的升高而增大，在7次諧波時達到了21Hz。雖然和動態實驗的基頻50Hz相比并不高，且當諧波含量較低時，諧波在磁滯回線生成過程中的作用明顯小于基波作用，不會對主回環產生很大影響，但是卻會直接影響局部回環的測量結果，導致局部回環的測量值與其實際值存在一定偏差。

圖8 靜態磁滯回線測量與擬合對比Fig. 8 Comparison between measured static hysteresis loops with simulated ones

為了更好地評價擬合效果，應從損耗的角度對圖8兩組工況的靜態磁滯模擬進行誤差分析，結果見表2，P0、P1～P4分別表示主回環和局部回環1～4的磁滯損耗；Ps,hy表示靜態磁滯損耗；Δr代表擬合值的相對誤差。可以看出，主回環的損耗相對誤差控制在10%以內，擬合效果很好；局部回環的擬合效果欠佳，相對誤差在20%以內。由于局部回環損耗遠小于主回環損耗，前者誤差對靜態磁滯損耗的計算影響較小，總的磁滯回線對應的損耗誤差依舊小于10%，說明本文提出的基于非對稱極限磁滯回線生成FORCs，進而構建Everett函數的方法可以用于硅鋼疊片在交直流混合激勵下的靜態磁滯特性的準確模擬。

表2 靜態磁滯損耗誤差分析Tab.2 Error analysis of static hysteresis loss

總體來說，可以通過提升實驗條件，降低激勵的基頻，同時優化Preisach模型，改進Everett函數的生成方法等舉措進一步提高靜態磁滯特性的模擬精度。

4 動態模型參數提取與磁滯模擬

針對本文施加的交直流混合激勵，渦流損耗對應的磁場強度Hs,cl與直流偏磁磁場Hdc無關，只與瞬時磁通密度B(t)隨時間的變化率有關，可以直接由式（15）計算。通過式（16）可知，計算異常損耗對應的磁場強度Hex的關鍵在于準確擬合異常損耗統計參數V0。在直流偏磁激勵情況下，V0不僅與交流磁通密度峰值Bacm有關，還與直流偏磁磁場強度Hdc相關[21]。由于本文激勵中含有諧波成分，需要考慮諧波次數k可能對V0產生的影響。

4.1 異常損耗的模擬與參數提取

借助動態磁滯實驗及靜態磁滯模型，得到異常損耗Ps,ex的實驗值并提取一系列的V0值，在分析V0隨Bacm、Hdc及k變化規律的基礎上，通過數值擬合的方法確定函數V0（Bacm,Hdc,k），從而為軟磁材料在不同交直流混合激勵下的異常損耗預測奠定基礎。

在不同交流磁通密度峰值Bacm及諧波次數k下參數V0的變化曲線如圖9所示。

圖9 Hdc=50A/m，基波疊加高次諧波的V0提取值 變化曲線Fig.9 Extracted value of V0 when higher order harmonic is superposed on the fundamental component in the hybrid excitation with Hdc=50A/m

由圖9中V0提取值的變化趨勢可以看出，當磁感應強度交流分量峰值Bacm不變時，參數V0值會隨基波所疊加諧波的次數k升高而增大；而當諧波次數k一定時，V0會隨著磁感應強度交流分量峰值Bacm增大而降低，并呈現出類似冪指數的變化規律。當直流偏磁磁場強度Hdc變化時，仍存在相似的規律，故不再贅述。根據以上特點，本文選用高斯函數作為V0的函數擬合公式，V0的函數表達式為

式中，ip為關于Hdc的函數，可基于實驗數據擬合得到，i=1, 2, …, 8。

在兩種直流偏磁磁場下，基波疊加不同諧波激勵時，Ps,ex的擬合值與實驗值的對比如圖10所示。可以看出，異常損耗的擬合效果良好，具有較高的 計算精度。由此說明V0的函數表達式可以滿足要求。此外，異常損耗Ps,ex隨交流磁通密度峰值Bacm和諧波次數k的增大而明顯增大，但受直流偏磁磁場強度Hdc的影響很小：在相同的Bacm和k下，隨著Hdc從最小值25A/m增長到最大值100A/m，Ps,ex增長非常緩慢，甚至在個別工況時略有下降。

圖10 異常損耗實驗值與擬合值對比Fig.10 Comparison between measured and fitted excess loss

4.2 動態磁滯特性與損耗特性的模擬及分析

利用前述得到的動態磁滯模型，對型號為B27ZH95的硅鋼片在交直流混合激勵情況下的動態磁滯回線進行模擬。圖11給出三種工況下的動態磁滯回線擬合結果與實驗結果對比。

圖11 動態磁滯回線測量與擬合對比Fig.11 Comparison between measured dynamic hysteresis curves with simulated ones

可以看出，基于損耗分離辨識動態磁滯模型參數，進而得到的動態磁滯回線與測量結果較為一致，說明本文算法可以對硅鋼疊片在交直流混合激勵情 況下的動態磁滯特性進行較為準確的模擬。表3和表4分別給出了硅鋼疊片在Hdc=25A/m,k=5與Hdc=50A/m,k=7兩種不同激勵下的鐵損計算值Ps,t-cal，并將其與實驗測量結果Ps,t-mea對比，發現相對誤差Δr在10%以內，損耗計算較為準確，進一步驗證了本文模型的準確性和有效性。

表3 Hdc=25A/m, 基波疊加5次諧波激勵下鐵損測量值與計算值對比Tab.3 Comparison between calculated iron losses Ps,t-mea and measured ones Ps,t-calwhen fifth harmonic is superposed on the fundamental component in the hybrid excitation with Hdc=25A/m

表4 Hdc=50A/m, 基波疊加7次諧波激勵下鐵損測量值與計算值對比Tab.4 Comparison between calculated iron losses Ps,t-mea and measured ones Ps,t-calwhen seventh harmonic is superposed on the fundamental component in the hybrid excitation with Hdc=50A/m

5 結論

1）交直流混合激勵下，直流磁場增大或諧波次數升高均會使損耗增加。不同之處在于，激勵中諧波階數升高對損耗的影響更為顯著，而直流磁場增大導致的損耗增大，會受到鐵心中磁通密度飽和特征的影響。

2）基于實驗測量得到直流偏磁極限磁滯回線，基于兩組非對稱的一階回轉曲線得到Everett函數，實現了Preisach磁滯模型參數辨識，該模型能夠準確地計算靜態磁場強度和磁滯損耗。

3）依據直流磁場、交流磁通密度和諧波次數對異常損耗統計參數的影響規律，構造相關函數并進行參數提取，以此得到的動態磁滯模型能夠實現交直流混合激勵條件下動態磁滯特性及總損耗的準確模擬。

4）本文提出的方法適用于含多個高次諧波的交直流疊加情況，但由于目前實驗室儀器等條件的限制尚無法對其模擬精度進行驗證，有待于進一步開展深入研究。