高中數學運算素養的問題、原因分析與對策

陳遠強

（福安市第八中學，福建 福安 355000）

高中數學是學生高中階段學習的主要科目，而數學運算是高中課程標準所明確提出的六大核心素養之一。因此，就高中數學運算素養進行探究、分析，并提出相應的對策，具有重要價值。

目前，高中生數學運算存在不少問題，概括起來主要有：（1）運算能力較弱，簡單運算經常出錯，出現思路對、算不會，一聽就懂、一算則錯等問題；（2）套錯公式，公式無法靈活運用，尤其有關聯的公式，如平面向量平行與垂直坐標公式；（3）遇到運算量較大、過程復雜、技巧性強、靈活性高的題目，就束手無策，如圓錐曲線問題；（4）運算途徑選擇不合理，運算過程繁瑣，準確率就更低了。另外，通過近幾年福建省高考數學試卷的分析統計，發現高中生在不等式、函數、數列、圓錐曲線、向量、導數等運算方面都存在嚴重問題，運算成為解題障礙，導致失分。

筆者結合近幾年教學研究實踐經驗，認為高中生運算素養不夠理想的成因主要有：其一，學生對基本的概念、定義、定理理解不透徹，知識間的內在聯系梳理能力弱，公式記憶模糊，無法正確運用，從而導致運算結果出錯；其二，部分教師因為課時緊張等因素的限制，只關注思路分析，教學中給學生預留的運算時間不足，缺少針對數學運算能力強化訓練；其三，關于運算途徑選擇問題，相當一部分學生缺少科學分析預估，存在思維定勢的問題。這些問題疊加在一起，學生的運算素養弱化問題自然得不到及時解決。據此，筆者提出如下提升高中數學運算素養的對策。

一、夯實基礎，找準運算的切入點與落腳點

高中階段，數學教師有必要要求學生了解并掌握幾種比較關鍵的運算對象，包括數、式、向量、函數、數列、復數、平面解析幾何等。實踐中注意到，對運算對象的理解，如果不從基本概念入手，想要取得優異成績可能性很小。只有明確基本概念，才能在面對運算對象時找準切入點與落腳點。因此，教師在培養學生數學運算素養時，應該將基本概念教學安排在第一步，讓學生以理解概念為基礎，結合圖形，用數學語言與數學符號表達出正確的想法。例如，如圖1，在學習任意角三角函數的概念時，教師先對基本概念進行引導，再讓學生在直角坐標系中，以點的坐標將銳角三角函數表示出來，在此基礎上引入單位圓。這樣有條不紊地組織教學，引導學生梳理知識間的內在聯系，能給學生提供必要的思維發展支持，對三角函數的概念理解更透徹。同時，也能為推導得到同角三角函數的基本關系起到水到渠成的教學效果。

圖1

sin2α+cos2α=x2+y2=1，tanα=加強基礎知識教學，是數學運算素養產生與鞏固的前提，雖然數學學科對于理解效果的關注度較高，但牢記基本概念、定義、定理和公式的必要性始終不容忽視。例如，學生將平方差公式與完全平方公式記錯，錯把（a=b）2=a2-b2，（a+b）2=a2+b2，必然會導致運算結果錯誤。再如，把向量平行與垂直坐標公式弄混淆=0），同樣無法取得正確的答案。

A.4 B.1 C.-1 D.-4

部分學生錯選了B 答案，究其原因是學生對平面向量平行坐標公式掌握不牢固，錯用垂直公式運算。

解讀《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》，新課標明確了運算的價值，從運算價值的角度展開分析，則能夠進一步明確運算對象的內涵，即運算對象非常鮮明地展現出數學運算素養的載體依托功能，它通常來源于本學科乃至其他學科對實際情況的抽象。如果我們對運算對象進行深層次的探索，能夠持續地拓展其應用領域，使數學應用廣泛性特點得到充分彰顯。

二、回歸根本，強化數學運算能力訓練

掌握基礎知識后，教師應對數學教學只重視解題思維，卻忽視運算過程的錯誤認知進行調整，要求與學生共同回歸到數學運算本身。實踐中，因為高中學生面臨巨大的學業壓力，時間緊、任務重，教師普遍突出思維訓練，筆者認為轉變這一認知，重視運算能力的培養訓練非常必要。在平常的課堂教學過程中，教師應當突出運算作用，給予足夠的運算機會及運算指導。學習三角恒等變換對兩角差的余弦公式cos（α-β）推導時，教學中也應該要求學生對運用完全平方公式化簡部分補充運算，利用課堂教學強化學生運算能力。因此課堂上教師應該適當增加運算環節占用的時間，引導學生補充遺漏的運算環節進行獨立運算。此外，高中數學教師還應當從回歸數學運算要求的角度出發，讓學生在課后對平時訓練、測試、考試期間的運算問題做出系統梳理，這將有效增強學生對運算環節及對應過程的重視程度。例如，部分學生在求y=（ex+e-x）的導數時，出現視復合函數e-x為ex的問題，導致失分。總之，教學中教師要指導學生正確運算，真正重視運算，在運算中發展數學素養。

三、克服定勢，高效提升數學運算質量

部分學生在學習過程中，尤其在解題階段，不可避免地采用自己固有的思維方式，新問題老辦法，即使發現自身思維的不足，也不愿或不能改正，而一味追求多解題，卻在解決好題與簡便解題方面缺少前行的動力。針對這一情況，高中數學教師在教學中應能夠給學生提供進一步引導，讓其主動分析運算過程是否合理，以及出現錯誤、繁瑣問題的原因，再找出更加恰當的運算方法，從思維與運算相結合的角度，讓切入口變得更準，有機對比運算量大小、運算難度強弱、運算時間長短等。例如，如圖2，M為拋物線y2=4x上的一點，F為拋物線的焦點，若以Fx為始邊，以FM為終邊的∠xFM=60°，求|FM| 的值？

圖2

圖3

對于該問題，學生的一般解題思路是先得到直線MF 的方程，再與拋物線方程聯立，得到M點坐標，接著通過兩點間距離公式，求出|FM| 的值。由于直線和圓錐曲線之間的位置關系問題，一般能夠通過聯立方程的策略加以解決，因此學生更容易想到這一方法，同時該方法入手較快，如思路一。

思路一：拋物線焦點F（1，0），直線FM的斜率kMF=tan 60°=所以直線FM：y=求出

若教師能夠給予必要的引導，則學生還可以借助數形結合思想，從幾何角度完成觀察、探究，再進行其他形式的運算，如思路二。

思路二：如圖3，過點M作MN⊥準線l，垂足為N，連接NF，由∠NMF=xFM=60°，MF=MN，所以△MNF為等邊三角形，過點F作FD⊥MN，所以MN=2DN=2EF=4。

對比兩種解題思路顯然思路一運算量大，運算難度強，運算時間長，容易出錯，而思路二運用拋物線的定義和數形結合思想運算量很小，運算效率高。

另外，教學實踐過程中，為了達到克服運算思維定勢的效果，教師還可以讓學生彼此之間具有的協作意愿得到實現，讓大家彼此交流，通過他人思維的長處，給自己的運算能力發展提供幫助。例如，在面對空間幾何體表面積和體積的運算任務時，小組協作的做法非常值得嘗試，教師要求學生在各自的學習小組中，針對正方體、長方體以及圓柱、圓錐等不同模型完成制作與思考，并分別進行面積與體積的求解運算，具有較好的實施效果。

四、著眼素養，針對運算多元評價

最后，高中數學教師有必要基于發展與進階的需求，教學中為學生提供多元化色彩更明顯、持續性效果更突出的評價，評價重點指向學生運算素養發展的薄弱環節。在評價體系建立過程中，注意到學生個體間差異的客觀存在，對于擅長不同領域運算的學生給予不同評價標準，讓學生能夠準確定位自身數學學習優點和不足，并及時進行運算思維與運算方法的調整。在針對運算多元評價過程中，筆者采用SOLO 分類法，這一來自于澳大利亞教育心理學者比格斯的分層評價策略，對運算的深度學習及運算素養視域下的學生學習狀態、學習過程，對內容的理解程度等，都有較全面的參考價值。受此分類法影響，筆者將評價分為五個層面：第一層面，要求學生機械套用公式，完成簡單數式運算；第二層面，要求學生掌握基本概念、定理、公式；第三層面，要求學生借助公式變形，化簡數式；第四層面，要求學生掌握算理、算法，明確不同知識體系間的內在聯系，對復雜運算題進行求解；第五層面，深入思考數學運算體系，并對運算本質進行挖掘，使之能夠更加靈活地遷移至運算體系中去，實現素養的有機發展。其中前三個層面為淺層學習，后兩個層面為深度學習，五個層面的評價共同為學生數學運算素養的表現分析服務，教師可在面對不同教學內容時，突出每個評價層面的作用，給學生提供既全面又具針對性的評價及評價后因勢利導。

綜上所述，高中生數學水平與多種智力因素相關，教學實踐中教師在充分理解教學內容、認知教學對象的前提下，應多方研究智力因素對于數學學習結果的影響，優化學習過程和方法，促進學生以更大的耐心、更強的能力去面對復雜的運算任務，并持之以恒。