基于樣例學習理論的習題教學設計
——以整數指數冪運算為例

李 晴

(首都師范大學 北京 海淀 100048)

1.引言

培養學生理解和掌握基本的數學知識與技能是數學教學的基礎作用之一，數學運算則是學生需要掌握的一項基本技能，教育工作者也圍繞學生的運算錯誤進行了許多討論，主要將錯誤原因圍繞在學生角度進行分析。而學生的某些錯誤表現與課堂的學習情況也存在一定關系。這便涉及到教師在課堂上呈現的題目樣例是否契合學生的認知水平、是否具有典型性。因此本文試圖以樣例學習理論為基礎，探索如何讓習題教學的內容深刻留存在學生心中。

2.習題教學中存在的問題

我們主要討論形成性習題教學，即在講授新知后加入的習題講解，其教學功能是鞏固新知，學會解題技巧，形成解題技能[1]。在新授課的教學設計中，習題的利用扮演著十分重要的角色，然而在實際教學中教師們對習題的利用情況尚不理想。

一些教師不會對課上所講的習題進行嚴格的篩選，多直接、大量地用教材或是習題冊的題目作為新授課的練習，所以習題考察的重點多重復，還會存在忽略某些重點知識、技巧的情況。

在講授習題的過程中，教師有時會忽略步驟間的推演，在學生回答完正確答案后便跳過了強調推理背后的基礎知識的環節。這樣的處理錯失了利用習題鞏固基礎知識的機會，也讓一些基礎薄弱的學生不知所云。因此，我們在教學中還是要注重每一個“=”成立的邏輯，并有意滲透給學生。

基于此，本文試圖探索一些習題選擇和講解的方法，選擇典型的題目、強調解題步驟下的基礎原理，讓習題教學的作用真正落到實處。

3.基于樣例學習理論的教學設計原則

樣例學習興起于20世紀80年代，指學習者通過對樣例的自主觀察和思考獲得知識的過程[2]。在關于樣例學習的研究過程中，有很多學者例如Sweller、Renkl發現了一系列樣例學習效應，并提出教學設計指導方針。張奇將其概括為17條，分別為：自由目標效應、樣例效應、分散注意效應、冗余效應、專長逆轉效應等。張奇對應這十七個樣例學習效應提出了相應的教學設計原則，用于指導教學[3]。

徐章韜根據樣例學習理論并結合訓練學生思維的考慮，從更加宏觀的角度提出教師在設計習題課時需綜合配置正向思維、逆向思維、發展思維的樣例，使習題構成樣例集。配置正向思維樣例，要注重新舊知識的聯系，并引導學生總結規律；配置逆向思維的樣例，重在啟發學生意識到正、逆例題間的聯系，加深對通法、規律的理解；配置發散思維的樣例，可從結構入手，體現思維的概括性[4]。

4.整數指數冪習題課設計

4.1 教學設計意圖。整數指數冪運算為初中階段的基礎運算內容，我國義務教育課程標準對這一部分內容的要求是要求學生能夠了解整數指數冪的意義和基本性質[5]。這一部分內容十分基礎，但是在運算中卻常出現錯誤，最常見的錯誤在于學生對指數和底數中的負號處理不當，“負號往往是學生計算過程中的‘大坑’”，曾有一線教師向我這樣感嘆道。基于此，下面試圖從習題的設計入手，以樣例學習效應為基礎，引導學生學會根據整數指數冪的定義和性質進行正確、嚴謹的運算。

4.2 教學內容分析。學生進行整數指數冪運算以以下內容為基礎：

(2)整數指數冪的運算性質：

①am·an=am+n(m，n是整數)；

②(am)n=amn(m，n是整數)；

③(ab)n=anbn(m，n是整數)．

在本文中，我們主要討論指數為負整數的情況。對于負整數指數冪的運算，底數為正整數、指數為負整數的類型與負整數指數冪的定義最為相似，學生進行知識的遷移較為容易。而其它類型的運算均增加了負數、分數這些元素的影響，對學生的運算造成阻礙，為避免學生在這些類型的運算中出現錯誤，參照樣例學習效應來設計樣例，以期提高學生的運算能力。

4.3 教學過程設計。教學按照正確樣例、錯誤樣例、逆向思維樣例和發散思維樣例的順序依次設計了一系列關于整數指數冪的運算題目。通過正確樣例、錯誤樣例的疊加設計加強學生對基礎定義和性質的掌握和運用。逆向、發散思維習題的設置能夠進一步加深學生對基礎知識的掌握，并有意增強學生歸納、推理的能力，培養學生的基本活動經驗。

4.3.1 正例呈現。

問題1：請閱讀以下運算過程，并在每一步驟后寫下該步驟所依據的數學內容。

問題2：請參照問題1的解答步驟，計算下面兩道題目，同樣在每個步驟后寫下該步驟依據的數學內容。

設計目的：在負整數指數冪的運算中，此處的正確樣例在底數為正整數的情況下增加一個交互元素，題①設計底數為分數，題②設計底數為負整數。根據樣例效應，學習過具體解題樣例的學生要比沒有學習過而直接解題的學生學習效果更好2。因此將每一步解題步驟均呈現給學生。這樣可加深學生對所學定義的掌握。在學習了這兩種樣例后，設置與樣例形式相同的兩道題目，根據指導漸減和變異性效應，讓學生自行作出解答，并增加自我解釋環節。在題型上相比樣例作出微小改動，將題目②改為指數為負奇數，讓學生自行練習，以增強學生對整數指數冪運算性質的掌握和運用。

4.3.2 錯例呈現。

問題1：請指出下述題目錯誤的步驟，并解釋錯誤原因。

=-4( )

問題2：以上題目還有其它計算方法嗎？

問題3：請用兩種方法計算下題，并在每一步驟后寫下該步驟依據的數學內容。

設計目的：對于底數為負分數的題型，學生可存在兩種計算思路，其一為運用整數指數冪的運算性質，其二為根據定義進行運算。在筆者的經驗中，學生在運算中會出現忽略底數中的負號的情況，因此設計這一錯誤表現的錯誤樣例，讓學生發現錯誤并對錯誤進行解釋。在題目2的設計中，讓學生自行運用定義進行計算。而題目3則在前兩題的基礎上，將指數改為負奇數，與指數為負偶數的結果的正負性不一樣，學生加以練習，更加熟練地掌握底數為負分數的題目的運算。

4.3.3 逆向思維的樣例。

問題1：哪些數的-2次方為9？

問題2：哪些數的-3次方為8？

問題3：存在一些數的-2次方為負數嗎？說明原因。

設計目的：此題以上述錯誤樣例為基礎，將設問方式逆向設置。目的在于加深學生對底數為負數情況的規律的掌握，避免學生在運算中將底數中的負號忽略。同時題目的層次依此遞進，促使學生從特例入手進行規律的總結，有意培養學生歸納的基本活動經驗。

4.3.4 發散思維的樣例。問題：試總結當x取不同數值時代數式x-2、x-3的正負性，并由此推廣當x、n取不同值時代數式x-n(n為正整數)的正負性，并作出解釋。

設計目的：通過發散性樣例的學習，可把表面上看似來源不同實則同源同構的實質吃透，而以變量代換法為基礎的變式是數學結構化思想的數學表達3。因此為培養學生的歸納能力、開拓學生思維，題目逐步將底數與指數以字母代替，讓學生判斷底數取不同值時指數冪的正負性。同時也為之后學習冪函數時涉及到的定義域與值域埋下伏筆。

5.結束語

良好的教學設計有助于實現有效教學，此文以樣例學習理論為基礎，針對整數指數冪的運算教學進行了設計，以期學生能夠熟練掌握整數指數冪的定義和運算性質，學會根據嚴格的定義和性質進行規范的書寫。同時此種樣例設計的方法也可適用于諸如此類的程序性運算內容，以期學生能夠對運算的基本定義和性質的運用盡可能掌握熟練。