教育信息化背景下線性代數內容體系構架的探索與實踐

方文波 李書剛 程婷 代晉軍 李正幫

【摘要】本文在總結國內外線性代數教材的基礎上，介紹了以線性方程組為明線，以線性變換為暗線構架線性代數課程教學內容體系的一些具體做法以及該體系的特點.《線性代數及其應用》教材（根據該構架體系編寫）入選國家“十二五”規劃教材，2018年獲得國家教學成果二等獎.

【關鍵詞】線性代數，內容體系、線性方程組、線性變換、明線、暗線

【基金項目】“互聯網+”背景下線性代數新形態教材建設及教學模式探索（華中師范大學教研項目，2016）

一、背 景

我們的研究團隊十多年來致力于線性代數課程數字化教學資源的研發.目前已研發出的線性代數教學軟件有演算系統、測試系統、線實驗系統、求解模型等，在高等教育出版社出版了5套線性代數電子教案.在研發這些數字化教學資源過程中，我們參閱了大量國內外優秀的線性代數教材，并對它們進行了研究.國內外線性代數教材的主要內容基本相同：行列式、矩陣代數、線性方程組、向量組的線性相關性、特征值與特征向量、二次型、向量空間和線性變換等.不同之處在于：國外教材內容相對較全面，難點分散，著重強調線性代數方法和應用，在內容編排上略顯松散;國內教材在內容上有所刪減，在編排上知識體系的邏輯性較好、較緊湊，強調理論和方法，對應用重視不夠，幾乎不涉及數值計算.

在內容組織上，國內線性代數教材的內容組織可分成兩種：無主線型和有主線型.無主線型是按知識點的前后邏輯順序進行編排;有主線型是以某一個問題或知識點為主線將各內容串聯起來形成一個整體，有主線型的主線一般為方程組、矩陣、初等變換、向量等.以方程組為主線編排的指導思想是希望以方程組的研究來引入其他內容，或用方程組來解釋某些內容.

隨著計算機技術的迅速發展，線性代數已不僅僅是其他學科的基礎和工具，它已成為可以直接創造價值的數學技術.基于此，我們產生了編寫一本吸收國內外優秀線性代數教材優點的且符合我國國情的線性代數教材的想法.

二、內容確定

在確定內容時，我們考慮到我國高校工科專業線性代數課程的學時數較少（一般為32～52學時），以及教學大綱和考研的要求，最后確定的內容有：行列式、矩陣代數、線性方程組、向量組的線性相關性、特征值與特征向量、二次型.將線性空間濃縮成一節放在向量組的線性相關性中;將線性變換簡化成矩陣變換，分散在不同的知識點中，形成內容體系的暗線.同時考慮到大部分同學學習線性代數的目的是應用，我們精選并設計了14個應用案例：平行四邊形的面積、平行六面體的體積、平面圖形變換、齊次坐標、希爾密碼、劍橋減肥食譜、電路網絡、配平化學方程式、網絡流、向量在差分方程中的應用、馬爾可夫鏈、二次曲線的研究、條件優化、離散動力系統.

三、內容構架

使用了雙主線：以方程組的研究為明線，以線性變換為暗線.

1.明線的設計

我們知道，線性代數這門學科是在研究線性方程組的過程中發展起來的，因此，以方程組為明線的設計思路符合這門學科的發展規律.為了突出明線的作用，我們增加了線性方程組的研究這一章，在這章里通過幾個具體的例子來引入線性方程組解的三種情形以及在研究線性方程組時需解決的三個問題.除了特征值特征向量及二次型外，其他內容都是為了解決這三個問題而展開的.

行列式是在研究線性方程組的過程中最早產生的一個重要概念.為了記憶二元和三元線性方程組唯一解的求解公式，引入了二階和三階行列式.研究了行列式的定義和性質后，克拉默法則解決了有n 個未知量n 個方程的線性方程組有唯一解的條件以及唯一解的求解公式.

為了研究一般線性方程組，需要引入新的概念、新的工具，建立新的理論.由于線性方程組與未知量的系數和常數項構成的矩形數表一一對應，所以線性方程組的研究可轉化成對這個矩形數表的研究，這樣很自然地引入了矩陣這個概念，矩陣為線性方程組的研究提供了有力工具.

如何利用矩陣來研究線性方程組？還需要引入哪些概念和方法呢？為了解決這些問題，我們增加了消元法.消元法是先用初等變換將方程組化為階梯形方程組，然后通過階梯形方程組來討論原方程組的解.利用消元法可以對具體線性方程組解的情形進行判別，但對一般的線性方程組，由于得不到階梯形方程組，因而此時消元法的結論好看不好用.為了使消元法的結論變得好用，可利用矩陣這一有力工具.為此先將消元法中方程組的初等變換、階梯形方程組、同解方程組、階梯形方程組中有效方程的個數等概念移植到矩陣中去，這樣便得到了矩陣的初等行變換、行階梯形矩陣、矩陣等價、矩陣的秩等概念.這樣處理使得矩陣的相關概念的引入變得非常自然，學生更容易接受.有了這些準備后，就可以用矩陣語言將消元法的結論進行描述，得到了在理論和具體應用中都非常有用的線性方程組解的判別定理.由此，使學生既可以看到矩陣理論中的很多重要概念和方法的引入不是數學家憑空想出來的，而是有的放矢，又可從中學到分析問題和解決問題的方法.

雖然利用矩陣的秩可以判別方程組解的情形，利用矩陣的初等行變換可以求出方程組的全部解即通解，但方程組的研究還沒有結束，因為在通解中是用有限個解來表示全部的解，也就是說通解是有結構的.為了研究通解的結構，需要用到線性代數中的另一重要工具——向量.另外，線性方程組中的每個方程可以唯一確定一個向量，故線性方程組與向量組構成一一對應的關系，因而線性方程組理論中的很多概念，如線性表示、線性相關、同解方程組、保留方程組、保留方程組中方程的個數等移植到向量組中去就產生了線性表示、線性相關、向量組等價、極大無關組、向量組的秩等概念.同時，在建立向量組理論的過程中還會反復地用到線性方程組的理論.向量組的理論形成后，就可以用它來解釋線性方程組通解的結構.

矩陣的特征值特征向量理論、二次型理論可以看成是線性方程組理論和前面已形成的矩陣理論、向量組理論的應用.

綜上所述，用線性方程組將線性代數中的其他經典內容串聯起來有以下優點：一是可使得原本相互獨立的知識模塊構成一個有機整體，使整個內容體系脈絡清晰;二是可使學生掌握線性代數處理問題的思維和方法，掌握線性代數中的兩種重要語言——矩陣語言和向量語言;三是有利于進行問題式、研究式教學.

2.暗線設計

將線性變換作為內容體系的暗線是基于以下考慮：一是因為線性變換是線性代數這門學科的核心內容之一;二是線性變換的矩陣形式在工程技術中有廣泛的應用;三是為了增加趣味性和直觀性.

在本內容體系中，線性變換首次出現在用于引出矩陣概念的引例中，說明線性變換與矩陣形成一一對應的關系，線性變換的研究可轉化為矩陣的研究.

利用線性變換引出逆矩陣的概念，驗證一個矩陣是另一個矩陣的逆矩陣，求逆矩陣.例如，利用線性變換求矩陣A=1-111的逆矩陣.矩陣A所確定的線性變換設為 y=Ax，則求逆矩陣即為求逆變換.在高等數學圖形系統MathGS中可以直觀地發現，線性變換y=Ax是先把原像x逆時針旋轉一個角度然后放大一個倍數即得像y，因此只要能求出旋轉角和放大的倍數值即可求出逆變換.這兩個數經過矩陣的簡單運算不難得到.因為A=1-111= 2 22- 22 22 22= 200 2 22- 22 22 22= 200 2cos π4-sin π4sin π4cos π4，

所以，旋轉角為π4，放大倍數為 2，于是逆變換的矩陣即所求逆矩陣為

A-1=1 2001 2cos - π4-sin - π4sin - π4cos - π4=1212- 1212.

利用初等矩陣的理論來解釋計算機圖形學中的圖形變換只有對稱、伸縮和錯切等三種基本變換，而其他任何可逆線性變換均可由這三種基本變換復合而成.

利用線性變換可直觀地引出矩陣特征值與特征向量的概念.事實上，矩陣特征值與特征向量正是數學家在研究線性變換時發現的.一般情況下，向量x在線性變換y=Ax下的像y的長度和方向都會改變，而有些線性變換則存在一些特殊的向量，這些特殊向量在該線性變換下的像與原像共線，這兩條特殊的向量就是特征向量.

所以，利用線性變換引出特征值與特征向量的概念，既符合特征值理論的形成過程，也能使學生感覺是自己在發現知識，而不僅僅是在學習知識.

二次型的研究本身就離不開線性變換.為了說明特征值特征向量的幾何意義，我們還增加了利用正交變換研究二次曲線和二次曲面兩個案例.

內容體系暗線的設計有以下優點：一是使內容體系本身更加豐滿，二是使抽象的內容直觀化，從而降低理解的難度，三是使理論和應用有機結合，增加了趣味性，四是使部分知識點更適合進行翻轉課堂教學.

基于以上思路，我們已編寫了《線性代數及其應用》教材，該教材已在高等教育出版社出版，并已成功入選國家“十二五”規劃教材.教材出版后得到了國內相關專家的肯定，也得到了廣大師生的好評，包含該教材的教研成果2018年獲得國家教學成果二等獎.正是由于該教材得到了廣泛肯定，我們才有信心將我們的編寫思路拿出來供大家參考，希望能起到拋磚引玉的作用，特別是希望能對廣大青年教師的線性代數課程教學有所幫助.

【參考文獻】

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