函數(shù)矩陣代數(shù)的譜理論研究

沈逸豪 陸佳興

【摘要】本文研究以閉區(qū)間上的連續(xù)復(fù)值函數(shù)為賦值的函數(shù)矩陣代數(shù).結(jié)合數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)中相關(guān)知識(shí)，本文給出了函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件，證明了函數(shù)矩陣的譜集是復(fù)數(shù)域中的非空緊集;同時(shí)，本文還刻畫(huà)函數(shù)矩陣代數(shù)的極大理想結(jié)構(gòu).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)矩陣;可逆性;譜;理想

【基金項(xiàng)目】本文系2019年江蘇省高等學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目，基金號(hào)201911117076Y

一、引 言

在高等代數(shù)中，我們已經(jīng)掌握了數(shù)字矩陣的一些理論，包括可逆性理論和特征值理論，在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)習(xí)了連續(xù)函數(shù)的諸多性質(zhì)，那么這些知識(shí)能否推廣到其他數(shù)學(xué)對(duì)象中呢？針對(duì)此，自然地提出了一個(gè)問(wèn)題：函數(shù)和矩陣二者能不能結(jié)合起來(lái)成為新的理論.

本文將類比數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)中的研究方法對(duì)函數(shù)矩陣進(jìn)行相似性質(zhì)的刻畫(huà)，給出[0，1]上函數(shù)矩陣的定義，以及函數(shù)矩陣可逆性刻畫(huà)，進(jìn)而給出對(duì)函數(shù)矩陣譜集的刻畫(huà)，還將討論函數(shù)矩陣代數(shù)極大理想的形式并給出相應(yīng)的結(jié)論.

二、預(yù)備知識(shí)

【參考文獻(xiàn)】

[1]李炳仁.算子代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社.2007：77-127.

[2]Peter D.Lax.Functional Analysis[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]郭坤宇.算子理論基礎(chǔ)[M].上海.復(fù)旦大學(xué)出版社，2014.

[4]丘維聲.高等代數(shù)第二版[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010.