開展數(shù)學折紙實驗提升學生數(shù)學素養(yǎng)

周黎燕

【摘要】數(shù)學實驗能讓學生手腦協(xié)同，充分調動多種感官全身心投入數(shù)學學習中，從而讓學生逐步學會用數(shù)學的思維觀察世界，體會數(shù)學學習的樂趣.用折紙實驗創(chuàng)設情境，在“做”中激發(fā)學生學習興趣;用折紙實驗探究知識形成的過程，在“做”中發(fā)展學生直覺思維;用折紙實驗反思操作過程，在“做”中悟出研究問題的方法.

【關鍵詞】折紙;數(shù)學實驗;數(shù)學素養(yǎng)

一、數(shù)學實驗的教育價值

傳統(tǒng)數(shù)學課堂，以“想數(shù)學”“聽數(shù)學”為主，所謂的“做”指做大量的習題，這是一種學習方式單一，過分依賴模仿和記憶的學習方式.而初中數(shù)學實驗是在數(shù)學思維活動參與下，經過某種預先的組織、設計，創(chuàng)設一些利于觀察的數(shù)學對象和問題情境，促使學生在對實驗素材進行數(shù)學化操作中產生歸納假設，在分析、修改、驗證猜想中形成認知體驗，從而實現(xiàn)在做（建構）數(shù)學中學（理解）數(shù)學、用（解釋）數(shù)學的一種探究性教學活動.

數(shù)學實驗工具分實物工具和技術工具.白紙作為一種教具，獲得途徑簡單，學生人手可得.白紙本身沒有意義，教師賦予它意義后，它就可以成為數(shù)學教學的重要資源.利用一張白紙，開展各種折疊活動，可以讓學生在活動的過程中不斷積累經驗、體會學習數(shù)學的樂趣.

（一）調動學生多感官參與

數(shù)學實驗能讓學生手腦協(xié)同，充分調動學生多種感官全身心投入數(shù)學的學習中，從而讓學生逐步學會用數(shù)學的思維觀察世界，體會數(shù)學學習的樂趣.

無理數(shù)的學習對于七年級的學生來說是比較抽象的，在這樣的概念課上，教師可以利用紙片設計學生看得見、摸得著的數(shù)學實驗活動，引導學生多感官參與.

實驗操作：如圖1所示，將兩個邊長為1的小正方形，沿對角線剪開得到4個完全一樣的腰長為1的等腰直角三角形，重新拼成如圖2所示邊長為a的大正方形.

思考1：a2=.思考2：你認為a可能是整數(shù)嗎？為什么？

思考3：你認為a可能是分數(shù)嗎？為什么？

通過折紙、剪紙、拼圖的操作過程，讓學生用看得見、摸得著的方式感受客觀存在的無理數(shù)，從“數(shù)”和“形”兩個角度體會和理解無理數(shù).

（二）建構學生以“做”為支架的數(shù)學學習方式

數(shù)學實驗是借助學生以往經驗，從學生的基礎知識出發(fā)，通過動手、動腦活動，自主探究、合作交流與實踐創(chuàng)新的一種學習方式.它以“做”為支架，讓學生的數(shù)學學習變被動接受為主動接受、變統(tǒng)一學習為個性化學習、變半腦學習為全腦學習，這樣的學習才能讓學生在“做”數(shù)學的過程中經歷知識生成的過程，才能有效地主動學習數(shù)學、理解數(shù)學.

二、做思結合，提升數(shù)學素養(yǎng)

（一）用折紙實驗創(chuàng)設情境，在“做”中激發(fā)學生學習興趣

“興趣是最好的老師.”只有學生在對某一個學習材料感興趣的時候，才會從情感、思維、動作等方面全身心地投入探究活動中去.用折紙實驗創(chuàng)設情境，不僅能激發(fā)學生動手的欲望，而且能引導學生對直觀的材料進行深層次的分析，讓學生在實驗中通過觀察、分析、猜想、驗證等思維過程，獲得良好的情感體驗.

在學習“等腰三角形的軸對稱”這一課時，課前教師發(fā)給每名學生一張長方形白紙，提出問題1：不度量，只用一把剪刀在白紙上剪出一個等腰三角形.學生根據(jù)學習經驗知道等腰三角形至少有兩條邊相等，通過主動思考，充分調動大腦中對等腰三角形這個軸對稱圖形的認知.如圖3所示，先折后剪出等腰△ABC.這樣以學生的認知發(fā)展水平和已有經驗為基礎設計的實驗，具有挑戰(zhàn)性，能有效激發(fā)學生的探究興趣.

接下來，教師引導學生觀察等腰三角形，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的“三線合一”性質，繼續(xù)提出問題2：用一張非等腰三角形紙片只剪一剪刀如何剪出一個等腰三角形？學生通過交流合作、動手操作發(fā)現(xiàn).可以利用底邊高線與中線重合，經過折疊，剪出等腰三角形;也可以利用頂角平分線與底邊高線重合，經過折疊，剪出等腰三角形……每一種實驗方法都可以給學生帶來沖擊性的思考，讓學生學會用數(shù)學的眼光解決問題.

（二）用折紙實驗探究知識形成過程，在“做”中發(fā)展學生直覺思維

直覺思維不是天生的，直覺思維的產生可以以實驗問題為鋪墊，讓學生觀察實驗中的圖形特征，在實驗中積累幾何表征的經驗.只有經驗累積到了一定的程度，學生才會有“從天而降”的思維火花碰撞，從而激發(fā)創(chuàng)造潛能.

在教學“軸對稱的性質”時，設計實驗操作1：把一張紙折疊后，用針扎一個孔，再展開，觀察對稱軸與兩針孔所連的線段之間存在的關系.三次操作后，學生不難發(fā)現(xiàn)：成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分.學生通過折紙，親身經歷了操作、觀察、分析、歸納等思維活動，這樣的手腦協(xié)同活動促進了學生聯(lián)想、類比的能力，為實驗操作2“用一張正方形紙片折出30°角的直角三角形”提供了有效的活動經驗.

思考：要折出30°角，可以先折出我們比較熟悉的60°角，那么什么圖形中有60°角？

學生有了實驗操作1的經驗積累，不難想到先折出如圖4所示的正方形的對稱軸EF，等邊三角形的一個頂點G必定在EF上，這樣就保證了BG=CG，要使得BG=BC，只要把頂點C通過折疊落到對稱軸EF上即可.

剪下的△BGH即含30°角的直角三角形，教師可以趁熱打鐵，通過兩次折疊（如圖5所示），讓學生在折紙活動中，直觀感知30°角所對直角邊與斜邊的數(shù)量關系.

在數(shù)學實驗教學中，操作只是載體，是外表的東西，思維才是關鍵，是內在的核心.教師要引導學生關注操作中反映出來的數(shù)學本質，用已經學習過的數(shù)學知識進行數(shù)學思考.在學生操作的過程中，有意識地培養(yǎng)學生的觀察力，讓學生全面、深入地思考問題，積累幾何表征的經驗，這樣學生就可以依據(jù)直觀進行數(shù)學思考，借助直覺解決數(shù)學問題.下面一道操作題是中等難度題：如圖6所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，將這個三角形分割成三個全等的三角形，請你畫出圖形，并簡單描述輔助線的作用.有了前面實驗的經驗積累，本題中原本復雜的知識變得簡單，可見直覺思維能讓學生產生一瞬間的頓悟.

（三）用折紙實驗反思操作過程，在“做”中悟出研究問題的方法

數(shù)學教學的本質是教會學生思考.紙中蘊含了數(shù)學思想方法和研究問題的策略，教師可以引導學生理清這些數(shù)學知識點、方法的來龍去脈，在“做”中悟出研究問題的方法，以提高學生運用策略性知識的意識.

實驗操作1：取一張矩形紙片，折疊這張紙片，使它成為長寬比為2 的矩形.

要想找到長度為2的線段，就要結合勾股定理，在腰長為1的等腰直角三角形中構造長度為2的線段.通過折紙操作，學生尋找到了“形”和“數(shù)”之間內在的關聯(lián)，領悟到了解決這類問題的一般策略方法.

教師可以繼續(xù)設計復雜性問題，增強挑戰(zhàn)性.

實驗操作2：取一張矩形紙片，折疊這張紙片，使它成為寬長比為5-12 的黃金矩形.

操作前，教師給予學生充分的時間聯(lián)想、類比、反思上一題蘊含的思想方法.然后引導學生先思考：如果線段MN的長是2，那么怎樣折出5-1的線段？怎樣先折出5的線段？

學生類比、反思上一題中數(shù)形結合的思想及勾股定理的應用，先折出如圖7②所示的寬為1、長為2的矩形ACBF，從而得到圖③中AB的長為5，并把AB折到圖③中所示的AD處，CD=5-1，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中的矩形BCDE為黃金矩形.

數(shù)學折紙實驗能夠有效地調動學生學習的主動性，在“做”中不斷地把抽象的數(shù)學知識轉化為趣味性、探究性很濃的動手操作，幫助每名學生將“做”“思”結合起來，發(fā)展學生的高水平思維和推理能力，讓學生在活動中達成知行統(tǒng)一，理解數(shù)學、學會數(shù)學，再創(chuàng)造性地運用數(shù)學.

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