半群的秩

袁 月，趙 平

貴州師范大學 數學科學學院，貴陽 550001

設n，m∈N+，Sn和Tn分別是Xn={1，2，…，n}上的對稱群和全變換半群.對于1≤m≤n-1，記Xm={1，2，…，m}.令

T(n，m)={α∈Tn：Xmα=Xm}

G(n，m)={α∈T(n，m)：(XnXm)α=XnXm}

H(n，m)={α∈T(n，m)：(XnXm)α?XnXm}

則易證得G(n，m)，H(n，m)和T(n，m)都是全變換半群Tn的子半群，且G(n，m)?H(n，m)?T(n，m).顯然G(n，m)=T(n，m)∩Sn且G(n，m)?Sm×Sn-m，其中Sn-m是XnXm上的對稱群.

對于r∈N+且2≤m+1≤r≤n-1，記

通常，我們定義有限半群S的秩為

rankS=min{|A|：A?S，〈A〉=S}

S(n，1)=S(n，n)=1S(n，r)=S(n-1，r-1)+rS(n-1，r)

文獻[5]研究了半群Tn，r=Sn∪T(n，r)的生成元和相關秩.文獻[6]研究了G(n，m)的生成集及秩，并得到T(n，m)的秩，即

為了敘述上的方便，在H(n，m)上引入以下的二元關系：對任意α，β∈H(n，m)，定義

αL◇β?im(α)=im(β)

αR◇β?ker(α)=ker(β)

αJ◇β?|im(α)|=|im(β)|

則L◇，R◇與J◇都是H(n，m)上的等價關系.易得L◇?J◇，R◇?J◇.對r∈N+且2≤m+1≤r≤n，記

設1≤m≤n-1，用Sn-m，Tn-m分別表示XnXm上的對稱群和全變換半群.用Sm表示Xm上的對稱群.設α∈Tn，記ker(α)={(x，y)∈Xn×Xn：xα=yα}，則ker(α)是Xn上的等價關系，稱為α的核.

引理1[6]設1≤m≤n-1，則

對于2≤m+1≤r≤n，記

H(n，m)(r)={α∈H(n，m)：|im(α)|≤r}

H(n，m)(m+1)?H(n，m)(m+2)?…?H(n，m)(n)=H(n，m)

任意取n，r∈N+且r

Pr(n)={(x1，…，xr)：x1+x2+…+xr=n，x1≥x2≥…≥xr≥1且x1，…，xr∈N+}

稱集合Pr(n)中的元素(x1，x2，…，xr)為n的一個r-劃分，記pr(n)=|Pr(n)|(參見文獻[16]).當xr-m+1=xr-m+2=…=xr=1(1≤m

則

其中Ai={i}(1≤i≤m)，Xm={a1，a2，…，am}且ai∈XnXm(m+1≤i≤r).顯然存在σ∈Sr，使得|Arσ|≥|A(r-1)σ|≥…≥|A(m+1)σ|≥1且Aiσ=Ai(1≤i≤m).記

part(α)=(|Arσ|，|A(r-1)σ|，…，|A(m+1)σ|，|Amσ|，|A(m-1)σ|，…，|A1σ|)

βi=λiδiμi∈〈G(n，m)，δi〉

從而

因此

證設α，β的標準形式為

因此ker(αβ)=ker(α).

證由引理2可得

則

βq=α1…αi-1αiαi+1…αt=(1Xnα1…αi-1)αi(αi+1…αt1Xn)

定理1設2≤m

|G∩H(n，m)(r)|≥pr-m(n-m)

|G|≥pr-m(n-m)+2

從而

由rank G(n，m)=2可知，存在λ，μ∈G(n，m)，使得G(n，m)=〈λ，μ〉，于是由引理4可得

從而

因此