廣義限制的P-限制半群

晏 潘，王守峰

云南師范大學 數學學院，昆明 650500

眾所周知，逆半群是半群代數理論研究中最受重視的半群類，其研究成果極為豐富(可參見文獻[1-2]).自20世紀70年代起，逆半群的一些推廣形式得到半群研究者的重視.作為逆半群在正則半群中的一種推廣，文獻[3]提出了正則*-半群.隨后，正則*-半群成為20世紀70年代到90年代的研究熱點之一，許多著名的半群學者對此類半群進行了研究(參見文獻[4-7]).

特別地，文獻[6]研究了一類特殊的正則*-半群(即廣義逆*-半群)的代數結構和自由對象.與此同時，作為逆半群在非正則半群中的推廣，限制半群也得到了充分研究，取得了較豐富的成果(參見文獻[8-9]).為了給出正則*-半群和限制半群的共同推廣形式，文獻[10]引入了P-限制半群.當前，P-限制半群類及其子類受到了半群工作者的充分關注(見文獻[11-16]).

本文的目的是對一類P-限制半群(即廣義限制的P-限制半群)展開研究.這類半群是廣義逆*-半群在P-限制半群中的某種對應，形成P-限制半群簇的一個子簇.本文利用左正規帶與限制半群的擬直積給出了廣義限制的P-限制半群的一個結構定理，并據此刻畫了廣義限制的P-限制半群這一半群類的自由對象.本文的結果改進和推廣了文獻[6]中關于廣義逆*-半群的相關結果.

1 預備知識

設(S，·)是半群，+和*是S上的兩個一元運算.據文獻[10]，若對任意x，y∈S，下列等式成立：

則稱(S，·，+，*)為P-限制半群，此時，稱PS={a+|a∈S}={a*|a∈S}為S的投射元集.P-限制半群有如下一些基本性質：

引理1[10]設(S，·，+，*)是P-限制半群，x，y∈S，e，f∈PS.則：

(1°)(x+y)+=x+y+x+，(xy*)*=y*x*y*；

(2°)x+(xy)+x+=(xy)+，y*(xy)*y*=(xy)*；

(3°)e+=e，e*=e，efRefe=(ef)+=(fe)*∈PS；

(4°)若eLf或eRf，則e=f.

據文獻[10]，若PS是S的子半格，則稱P-限制半群(S，·，+，*)為限制半群，類似于廣義逆*-半群，若對任意e，f，g，h∈PS，有

efgh=egfh

(1)

則稱P-限制半群(S，·，+，*)為廣義限制的P-限制半群.顯然，限制半群一定是廣義限制的P-限制半群.但反之不然(見文獻[15]中的例2.9).

據文獻[11]，若P-限制半群(S，·，+，*)的投射元集PS生成的子半群CS=〈PS〉是S的子帶，即S的任意有限個投射元的乘積均為冪等元，則稱其為純正P-限制半群.

設S是純正P-限制半群.在S上定義關系γ如下：

γ={(x，y)∈S×S|x+DCSy+，x*DCSy*，y+x=yx*}

其中DCS是CS上的格林關系.則有以下結果：

引理3[11]設(S，·，+，*)是純正P-限制半群，a，b∈S，

(1°)aγb當且僅當a=a+ba*，b=b+ab*.特別地，當e，f∈PS時，eγf當且僅當e=efe，f=fef；

(2°)γ是最小的(2，1，1)-限制半群同余，且S/γ的投射元半格為

PS/γ={(aγ)+|a∈S}={a+γ|a∈S}={(aγ)*|a∈S}={a*γ|a∈S}={eγ|e∈PS}

引理4[1]設B為正規帶，則：

(1°)B上的格林關系R是同余且商半群B/R為左正規帶；

(2°)B是左正規帶當且僅當它是左零帶的強半格.

具體來說，若B是左正規帶，則B上L關系是同余，且商半群Y=B/L是半格.設B的全體L-類為{Lα|α∈Y}.當α，β∈Y且α≥β時，定義

其中u是Lβ中任意元素.則B=(Y，Lα，ψα，β).

由等式(1)，容易驗證以下結果：

引理5設(S，·，+，*)是廣義限制的P-限制半群.則CS是正規帶.

2 結構定理

本節的目的是利用左正規帶與限制半群的擬直積給出廣義限制的P-限制半群的一個結構定理.先介紹左正規帶與限制半群的擬直積.

命題1設(S，·，+，*)是限制半群，L=(PS，Lα，φα，β)是左正規帶.對?(a，x，b)，(c，y，d)∈Q，在

Q=[L∶S]={(a，x，b)∈L×S×L|a∈Lx+，b∈Lx*}

上定義

(a，x，b)(c，y，d)=(aφx+，(xy)+，xy，dφy*，(xy)*)

(a，x，b)+=(a，x+，a) (a，x，b)*=(b，x*，b)

則(Q，·，+，*)是廣義限制的P-限制半群，稱其為左正規帶L與限制半群S的擬直積.

證設(a，x，b)，(c，y，d)∈Q.則a∈Lx+，b∈Lx*，c∈Ly+，d∈Ly*.由引理1(2°)知(xy)+≤x+，(xy)*≤y*，故Q上定義的二元運算是合理的.此外，注意到x+*=x+，x*+=x*，x++=x+，x**=x*，Q上的兩個一元運算也是合理的.

現設(a，x，b)，(c，y，d)，(m，z，n)∈Q.則

由上述事實及其對偶知(Q，·)是半群.

下證(Q，·，+，*)是P-限制半群.設(a，x，b)，(c，y，d)∈Q，由對稱性，分以下幾步證明：

步驟1 對S利用等式及引理1(3°)知x+x=x及x++=x+.故

步驟2 對S利用等式知(xy+)+=(xy)+.故

步驟3 對S利用引理1及等式，知x++=x+=x+*，(x+y+x+)+=x+y+x+=(x+y+x+)*=(x+y+)+.故

步驟4 對S利用引理1(3°)及等式和知x++=x+=x+x+=x+*.故

步驟5 對S利用引理1(3°)知x+*=x+.故

(a，x，b)+*=(a，x+，a)*=(a，x+*，a)=(a，x+，a)=(a，x，b)+

步驟6 對S利用引理1(3°)知(xy)++=(xy)+和x**=x*，而對S利用等式知(xy)+x=xy+x*.故

綜上所述，(Q，·，+，*)是P-限制半群，且其投射元集為

設(a，x+，a)，(b，y+，b)，(c，z+，c)，(d，w+，d)∈PQ.則由S是限制半群知y+z+=z+y+，故

這就說明(Q，·，+，*)是廣義限制的P-限制半群.

命題2任意廣義限制的P-限制半群均(2，1，1)-同構于某個左正規帶與某個限制半群的擬直積.

CS/R={Rx|x∈CS}={Rx+|x∈CS}={Re|e∈PS}

記L=CS/R并取Re，Rf∈L，其中e，f∈PS.則據引理3(1°)知：ReLRf當且僅當ReRf=Re；RfRe=Rf當且僅當Ref=Re；Rfe=Rf當且僅當efe=e；fef=f當且僅當eγf.由引理3(2°)，(S/γ，·，+，*)是限制半群，其投射元半格為Y=PS/γ={pγ|p∈PS}.對任意α∈Y，記Lα={Re∈L|eγ=α，e∈PS}.設Re，Rf∈Lα，e，f∈PS.則eγ=α=fγ.因此ReLRf.

下證映射

是S到[L∶S/γ]的(2，1，1)-同構.

設x，y∈S.若(Rx+，xγ，Rx*)=xφ=yφ=(Ry+，yγ，Ry*)，則Rx+=Ry+，xγ=yγ，Rx*=Ry*.據引理1(4)，有x+=y+，x*=y*和xγy，而利用引理3(1°)可得x=x+yx*=y+yy*=y.故φ是單射.

對任意(Re，xγ，Rf)∈[L∶S/γ]，有eγ=x+γ和fγ=x*γ.故

(exf)γ=(eγ)(xγ)(fγ)=(x+γ)(xγ)(x*γ)=xγ

由于

(xf)γ=(xγ)(fγ)=(xγ)(x*γ)=xγ

據引理3(2)°，有(xf)+γx+，進而由引理3(1°)知x+(xf)+x+=x+.由eγ=x+γ及引理3(1°)知ex+e=e.故由等式及引理1(3°)，(2°)知

(exf)+=(e(xf)+)+=e(xf)+e=ex+(xf)+x+e=ex+e=e

類似地，(exf)*=f.因此(exf)φ=(Re，xγ，Rf).故φ是滿射.

設x，y∈S.注意到

R(xy)+∈L((xy)γ)+=L(xy)+γR(xy)*∈L((xy)γ)*=L(xy)*γ

由ψ(xγ)+，((xy)γ)+和ψ(yγ)*，((xy)γ)*的定義及引理1，有

此外，據引理1(3°)，有x++=x+=x+*.故

類似地，(xφ)*=x*φ.

結合命題1和2，得到本節的主要結果：

定理1同構意義下，廣義限制的P-限制半群是且僅是左正規帶和限制半群的擬直積.

3 自由對象

本節的目的是刻畫廣義限制的P-限制半群這一半群類的自由對象.為此，需要自由限制半群的相關概念和結論.

E={A?G|A有限非空，且對任意w∈A，都有w↓?A}

對任意g，h∈G，用gh表示g與h先連接再約簡得到的約化字.由文獻[1]，FIM(X)={(A，g)∈E×G|g∈A}關于下列二元運算和一元運算：

(A，g)(B，h)=(A∪gB，gh) (A，g)-1=(g-1A，g-1)

構成以({1}，1)為單位元的逆半群，其中gB={gw|w∈B}.易見FR(X)={(A，g)∈FIM(X)|g∈X*}{({1}，1)}是FIM(X)的子半群.據文獻[8]，若考慮FR(X)上的一元運算+和*：

(A，g)+=(A，1) (A，g)*=(g-1A，1)

(A，1)≤(B，1)?A?B?(A，1)，(B，1)∈PFR(X)

(2)

在L={(x，A)∈Y×E|x∈A}上定義二元運算如下：對任意(x，A)，(y，B)∈L，(x，A)(y，B)=(x，A∪B).則由文獻[6]知L是左正規帶.易知，對任意(x，A)，(y，B)∈L，(x，A)L(y，B)當且僅當A=B.記L(A，1)={(x，A)∈L|x∈A}.則{L(A，1)|(A，1)∈PFR(X)}就是L的全部L-類.當(A，1)，(B，1)∈PFR(X)，(A，1)≥(B，1)時，定義

(3)

其中(y，B)是L(B，1)中某元素.據引理4，有L=(PFR(X)，L(A，1)，ψ(A，1)，(B，1)).考慮擬直積

據命題1，([L∶FR(X)]，·，+，*)是廣義限制的P-限制半群.設((x，A)，(A，g)，(y，g-1A))，((u，B)，(B，h)，(v，h-1B))∈[L∶FR(X)]，注意到

((A，g)(B，h))+=(A∪gB，gh)+=(A∪gB，1)

((A，g)(B，h))*=(A∪gB，gh)*=((gh)-1(A∪gB)，1)

及(3)式，有

(4)

((x，A)，(A，g)，(y，g-1A))+=((x，A)，(A，g)+，(x，A))=((x，A)，(A，1)，(x，A))

(5)

((x，A)，(A，g)，(y，g-1A))*=((y，g-1A)，(g-1A，1)，(y，g-1A))

下面的定理給出了非空集合X上的自由廣義限制的P-限制半群的刻畫.

定理2定義映射

則([L∶FR(X)]，i)是X上的自由廣義限制的P-限制半群.

設x∈X.則xη=(xα，xπ，xβ)∈T=[M∶S].于是

xα∈M(xπ)+=M(x(εφ))+=M(({1，x}，x)φ)+=M({1，x}，x)+φ=M({1，x}，1)φ

對偶地，可知xβ∈M({1，x-1}，1)φ.故對任意y∈Y，都有yα∈M({1，y}，1)φ.設((x，A)，(A，g)，(y，g-1A))∈[L∶FR(X)].則1，x∈A.據(2)式知({1，x}，1)≥(A，1).由({1，x}，1)，(A，1)∈PFR(X)及φ是(2，1，1)-同態可知

({1，x}，1)φ≥(A，1)φ=(A，g)+φ=((A，g)φ)+({1，x}，1)φ，(A，1)φ∈PS

(6)

({1，y}，1)φ≥(g-1A，1)φ=(A，g)*φ=((A，g)φ)*({1，y}，1)φ，(g-1A，1)φ∈PS

(7)

下證σ是(2，1，1)-同態且iσ=η.設((x，A)，(A，g)，(y，g-1A))，((u，B)，(B，h)，(v，h-1B))∈[L∶FR(X)].據(4)，(6)式和(7)式知

另外，注意到((A，g)φ)+=(A，g)+φ=(A，1)φ及(5)式，有

類似地，(((x，A)，(A，g)，(y，g-1A))σ)*=((x，A)，(A，g)，(y，g-1A))*σ.故σ是(2，1，1)-同態.設x∈X.由x-1{1，x}={1，x-1}及εφ=π知

故iσ=η.最后證Xi能生成[L∶FR(X)].任取z∈X.則

zi=((z，{1，z})，({1，z}，z)，(z-1，{1，z-1}))

從而

(zi)+=((z，{1，z})，({1，z}，z)+，(z，{1，z}))=((z，{1，z})，({1，z}，1)，(z，{1，z}))

對偶可知

(zi)*=((z-1，{1，z-1})，({1，z-1}，1)，(z-1，{1，z-1}))

設((x，A)，(A，g)，(y，g-1A))∈[L∶FR(X)].則(A，g)∈FR(X).由FR(X)是自由限制半群知Xε生成FR(X).因此存在x1，x2，…，xn∈X，使得x1ε，x2ε，…，xnε在FR(X)的運算·，+，*下生成(A，g).根據[L∶FR(X)]中的運算，必存在a，b∈Y，使得x1i，x2i，…，xni可按照x1ε，x2ε，…，xnε生成(A，g)的方式生成元素((a，A)，(A，g)，(b，g-1A))(參考(4)式).若x，y∈X，則利用(4)式，1，x∈A及1，y∈g-1A，可得

類似可證其他情況.由以上討論知Xi能生成((x，A)，(A，g)，(y，g-1A)).于是Xi能生成[L∶FR(X)].這表明滿足iσ=η的σ是唯一的.故([L∶FR(X)]，i)是X上的自由廣義限制的P-限制半群.