滑動軸承運行模態參數理論分析及試驗驗證*

王全召 陳 陽 張 浩 甄 冬 師占群

(河北工業大學機械工程學院 天津 300130)

滑動軸承由于其成本低、負載能力強等優點，在旋轉機械中具有廣泛的應用。然而，對滑動軸承故障的監測一直是一個難題。軸承在轉子系統中屬于薄弱的一環，對軸承的運行模態進行有效監測對整個轉子系統的正常運行具有重要意義。能夠反映軸承工作狀況的參數主要有油溫、油屑、振動信號、噪聲信號、聲發射信號等[1]。一般來說，油溫在達到一定值之前對磨損故障不敏感；油屑檢查需要的設備成本高且測試程序耗時長；聲發射信號容易受到環境噪聲的影響。相比之下，振動信號在實時監測[2]、抗干擾、對故障發生的敏感性等方面具有明顯優勢，并且使用非侵入性方法分析振動信號不會影響軸承的正常運行。但是，在振動信號分析時從激勵源到傳感器安裝位置的傳輸路徑復雜，因而從原始振動信號中提取有效故障特性比較困難。因此，在內部流體動力潤滑[3]與外部振動信號之間建立準確的關系具有重要的意義。

運行模態分析方法主要有兩類，即頻域方法和時域方法。經典的時域方法使用隨機子空間識別(SSI)，頻域方法采用峰值拾取方法[4]和量子域分解(FDD)[5]。多數方法基于狀態空間動態模型和傅里葉變換[6]的思想。

本文作者通過建立滑動軸承動力學模型，運用復模態分析方法，分別分析了轉速、載荷和潤滑劑黏度對模態參數的影響，并通過實驗模態分析驗證了理論分析的正確性。

1 理論分析

1.1 滑動軸承動力學模型

軸承的主要結構如圖1(a)和(b)所示，即由軸頸、軸瓦和油膜組成。一般來說，軸承在工作時通常受不平衡離心力和徑向載荷以及油膜中產生的流體動力的作用，它們會激發轉子的工頻及其諧波振動。同時，摩擦副表面與流體油膜之間的微觀流固耦合作用所產生的小振幅、寬頻帶的隨機激勵，會激發轉子軸承系統的隨機共振。

滑動軸承的動力學模型如圖1(c)所示，將軸瓦、殼體所組成的支撐系統離散為通過彈簧和阻尼連接的質量節點，建立如下滑動軸承運動微分方程[7]：

圖1 自對中滑動軸承結構、物理模型和動力學模型

(1)

式中：[M]、[Beq]、[Keq]分別表示滑動軸承的質量、阻尼、剛度矩陣；{u}={u1,......,un}T表示位移矢量;{fext}、{fh}是外力和油膜力;{ffai}是由流體與表面相互作用(FAI)引起的隨機力[8]。

與轉軸相比，軸承的模態更加復雜，因此文中將重點研究軸承的振動信號。而軸承的振動信號與寬徑比和Sommerfeld數、負載、速度和潤滑劑黏度[9]有關。如果外力{fext}由油膜力{fh}平衡，那么方程(1)可以簡化為

(2)

式中：[Beq]、[Keq]是考慮流體動力潤滑的等效阻尼和剛度矩陣。

由于油膜的影響，軸承的模態參數不僅受結構的質量、剛度以及阻尼的影響，還與流體動力潤滑狀況有關。由于軸承間隙通常非常小，一般可以忽略油膜的流體模態，油膜的影響一般可以用動態特性系數來評估，即剛度系數(kxx，kxy，kyx，kyy)和阻尼系數(bxx，bxy，byx，byy)。因此，為了對滑動軸承進行模態分析，需要計算不同運行工況下的動態特性系數[10]。

動態系數可以轉換為量綱一化形式如下：

(3)

式中：C是軸承的間隙；Ω是轉速；W是徑向載荷。

1.2 復模態分析

(4)

det(v[G]+[J])=0

(5)

(6)

(7)

借助左、右特征矩陣，可以對矩陣[G]和[J]進行對角化。

(8)

(9)

對狀態方程(4)進行傅里葉變換得：

(10)

由于特征向量的正交性,方程(10)可以寫成下面形式:

(11)

(12)

1.3 模態參數的提取

隨機子空間算法[12-13]的基礎是離散時間狀態空間模型，假設輸入為白噪聲，利用白噪聲的特性來計算。通過QR分解，奇異值分解和最小二乘法計算離散后的狀態矩陣并獲得模態參數。

1.3.1 狀態空間模型的建立

系統的運動微分方程可以表示為

(13)

經過變換后，式(13)也可以寫為

(14)

式中：x(t)為狀態向量；Ac為狀態矩陣；Bc為輸入矩陣。

振動系統的響應信號可以用y(t)表示：

(15)

通過式(15)變換，可以寫為

y(t)=Ccx(t)+Dcu(t)

(16)

由此得出系統的連續狀態空間模型。

在實際情況下，測量出的都是一些離散的時間點，而且噪聲的影響也相當大，需要將連續的時間模型離散化，輸入是不可測量的隨機激勵，而且無法將其與噪聲區分清楚。因此需要將輸入項與噪聲項合并，獲得隨機子空間方法的基本模型，即為離散隨機狀態空間模型。

xk+1=Axk+wk

(17)

yk=Cxk+vk

(18)

式中：A為系統狀態矩陣；C為輸出矩陣。

1.3.2 模態參數識別

(19)

式中:λi為系統的特征值；Δt為采樣時間間隔。

由固有頻率ωi、特征值λi和模態阻尼比ξi的關系，可以得出結構的第i階固有頻率、阻尼比和模態振型[15]。

(20)

2 模態參數分析

文中就流體動力潤滑對軸承模態參數的影響進行了數值仿真。假定模型為3個由彈簧和阻尼相連的質量節點組成，第1個節點通過油膜與軸連接，第3個節點與底座相連。質量和阻尼的值分別設置為m1=m2=m3=5 kg，b1=b2=b3=10 N·s/m。

2.1 剛度影響分析

首先比較了在有潤滑和無潤滑條件下軸承的頻響函數(FRF)。如圖2所示為剛度不同情況下，在第1個節點水平方向上進行激勵，并從第3個節點同一方向獲得響應時，系統在有無潤滑條件下的頻響函數。若無油膜的影響，動態模型在水平和豎直方向上是對稱的。因此，系統有3組模態參數，每組模態具有相同的頻率和阻尼比。每個 FRF 中可以觀察到3個峰值。在相同的質量和阻尼下，剛度系數越大則固有頻率越高。

圖2 剛度不同時系統的頻響函數

滑動軸承的幾何參數設置為：軸承寬度與直徑相等，即L=D=0.1 m，油膜間隙C=10-4m。最初假定在軸表面上分布的不平度有3個波長，分別為0.1、0.067和0.033 m。相應的峰值分別為2×10-7、5×10-7和1×10-7m。在考慮潤滑情況下，油膜不均勻導致不同方向的模態參數不同。其中一個方向的阻尼比通常較高，因此振動在很大程度上取決于阻尼比較低的一個方向。在其他條件相同的情況下，油膜剛度的不同會導致系統的固有頻率不同。這里將系統剛度設置為k1=108N/m、k2=109N/m、k3=2×109N/m，然后計算不同條件下系統 FRF。結果如圖2(a)所示，系統的前四階模態受潤滑影響。隨著系統剛度的增加，只有前兩階模態受到影響，而分布在較高頻段內的模態幾乎與沒有油膜的情況保持相同的固有頻率，如圖2(b)所示。進一步提高系統剛度，潤滑對所有模態的影響更小,如圖2(c)所示。此外，響應振幅和高階模態的分布均不受潤滑的影響，潤滑的影響通常為一定頻段，同時結構和潤滑情況也影響帶寬。在該頻段內潤滑條件對系統模態參數有較大的影響，而在該頻段之外模態參數受潤滑的影響不大。剛度越低的情況下，模態參數受潤滑影響的階數越多。

2.2 轉速影響分析

為了研究轉速對模態參數的影響，分別將徑向載荷和潤滑劑黏度設置為2 kN和0.012 Pa·s。如圖3所示，速度范圍為296～5 296 r/min，對應的Sommerfeld數為0.024～1.24。隨著轉速的增加，固有頻率從約 710 Hz 增加到 830 Hz，阻尼比在轉速為1 000 r/min時最小，隨后增加，原因是在Sommerfeld數較大時交叉剛度kyx體現出來。從系統FRF還可以看出，隨著轉速的提高，敏感頻段內固有頻率會增大，響應振幅也會增大，直到達到一定值后由于阻尼比的增加而下降。

圖3 滑動軸承在不同轉速下的模態參數

2.3 載荷及潤滑劑黏度影響分析

為研究徑向載荷對模態的影響，分別將轉速和潤滑劑黏度設定為496 r/min和0.012 Pa·s，考慮的負載范圍為 0.2～4.5 kN，對應的Sommerfeld數的范圍為0.055～1.24。如圖4(b)所示，增加徑向載荷會導致敏感頻段內固有頻率和阻尼比增加。由圖4(b)可看出，隨著徑向載荷的增加，固有頻率上升，響應振幅逐漸降低。

圖4 滑動軸承在不同徑向載荷下的模態參數

為研究潤滑劑黏度對模態分布的影響，將轉速和徑向載荷分別設置為496 r/min和2 kN。考慮的潤滑劑黏度范圍為0.004～0.1 Pa·s，對應的Sommerfeld數為0.04～1.075。如圖5所示，當使用高黏度的潤滑劑時，系統敏感頻段內固有頻率降低，阻尼比增大，響應振幅降低。

圖5 滑動軸承在不同潤滑劑黏度下的機械共振

3 實驗研究

為了驗證上述結果，首先在被測試滑動軸承上進行實驗模態分析(EMA)，這樣可以估計一下其模態分布情況，然后將該滑動軸承安裝在轉子軸承試驗臺上。外殼的寬帶振動是在不同的實驗條件下獲得的，然后用隨機子空間法(SSI)確定其模態參數。

3.1 實驗模態分析(EMA)

SA35M是一種自對中滑動軸承，如圖1(a)所示，表1列出了其幾何參數。

表1 SA35M軸承的幾何參數

文中用錘擊法獲得該軸承的模態參數。軸承通過彈性繩懸掛，使用錘子激發寬帶響應，然后通過安裝在外殼上的加速度傳感器獲得寬帶響應，其頻率響應從1 Hz到約20 kHz。重復測試5次獲得自由狀態下固有頻率和阻尼比的均值，列在表2中。

表2 SA35M軸承的模態參數

3.2 轉子軸承試驗臺

如圖6所示，三相交流異步電機驅動支撐在一對測試軸承上的轉軸旋轉，由編碼器測量轉速，采用液壓裝置對軸施加徑向負載。

實驗分別在不同的工作條件下進行。速度分別為600、900、1 200、1 500 r/min，徑向負載分別為0.1、0.5、1.0、2.0 kN，潤滑劑的黏度分別為5 VG(0.004 5 Pa·s)，15 VG(0.013 5 Pa·s)，37 VG(0.033 3 Pa·s)，46 VG(0.041 4 Pa·s)。

3.3 不同工作條件下的實驗信號

從頻譜圖7(a)可以看出，轉速較低時軸承在高于10 kHz時達到固有頻率，大致與通過 EMA 獲得的模態一致，它驗證了微觀流固耦合作用所激發的共振現象的出現。由圖7(b)可見，振動成分主要發生在2個頻率范圍內，即低頻段(3 000～7 000 Hz)和高頻段(7 000～11 000 Hz)內。轉速提高會導致激勵強度提高，2個頻段內固有頻率處的振幅也會增大。

圖7 徑向載荷1 kN和潤滑劑黏度0.033 3 Pa·s條件下，軸承在不同轉速下的振動

通過SSI方法獲得五階模態參數，分別對應于EMA中的第3、4、8、9、10模態，這些模態參數更易激發和提取。其中的第3、4階模態對應的轉速和固有頻率之間的關系表現出類似的趨勢。在1 200 r/min以內，隨著轉速提高，它們的固有頻率逐漸上升。而其他3階模態參數與轉速沒有表現出明顯的相關性，由此可以推斷第3、4階模態都出現在對流體動力潤滑更加敏感的頻率范圍內。

如圖8所示，徑向載荷主要影響第3、4階模態參數，這兩階固有頻率分布在對流體潤滑敏感的頻率范圍內。在7 000～11 000 Hz頻率范圍內，固有頻率隨著徑向載荷增加而振幅的變化并不明顯。因此可以看出，高頻帶內的振幅僅由激勵強度決定，當徑向載荷加大時，振幅會增大；另外低頻帶內的振幅同時受到激勵強度和系統FRF的影響；較大的徑向載荷會導致低頻范圍內的阻尼比增加，從而降低了相應模態的振幅。

圖8 在轉速1 200 r/min和潤滑劑黏度0.033 3 Pa·s條件下，軸承在不同徑向載荷下的振動

如圖9所示，由于潤滑劑黏度影響水平和豎直方向的激勵強度，低頻段內兩階模態頻率會隨著潤滑劑黏度的增加而略有下降，而振幅幾乎保持不變。

圖9 在轉速1 200 r/min和徑向載荷1 kN情況下，軸承在不同潤滑劑黏度下的振動

4 結論

對軸承的隨機共振進行了分析，研究了不同操作條件下的激勵和模態參數，并進行實驗驗證。主要結果如下：

(1)系統剛度越高，受潤滑影響模態的階數越少。

(2)隨著速度提高，敏感頻段內的固有頻率增大，響應振幅也增大。速度達到一定的值時由于阻尼比的增加而下降，這個速度轉折點由Sommerfeld數決定。

(3)在低頻范圍內，徑向載荷增加會導致固有頻率和阻尼比增加，響應振幅降低。

(4)系統使用高黏度的潤滑劑時，低頻范圍內的固有頻率降低，阻尼比增大。