命制數(shù)列結(jié)構(gòu)不良多選題初探*

福建省漳州市第一外國語學(xué)校(漳州八中) (363000) 馮精華

2019年教育部已明確提出立足全面發(fā)展育人目標(biāo)，構(gòu)建高考考查內(nèi)容體系.新時(shí)期數(shù)學(xué)高考內(nèi)容改革的重要特征是由能力立意轉(zhuǎn)變到素養(yǎng)導(dǎo)向，其題型變化主要體現(xiàn)在試卷中增加了多選題和結(jié)構(gòu)不良問題.區(qū)分度更好的多選題,為不同層次學(xué)生都提供了更為廣闊的發(fā)揮空間.而結(jié)構(gòu)不良問題是指那些初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)、解決方法至少有一項(xiàng)不清晰的問題.這類問題的五個(gè)主要特征是：問題條件部分缺失或冗余；問題目標(biāo)界定不明確；具有多種解決方法、途徑；具有多種評價(jià)解決方法的標(biāo)準(zhǔn)；所涉及的概念、規(guī)則和原理不明確等.

學(xué)生解答多選題時(shí)，通常無法再使用“排除法”、“特殊法”等等這些單選題常用的解題技巧.還有，學(xué)生早已習(xí)慣了解答結(jié)構(gòu)良好問題，對于題目條件和結(jié)論不確定性的結(jié)構(gòu)不良問題常常表現(xiàn)出不適應(yīng),無法清楚找出解決問題的切入點(diǎn).本文基于結(jié)構(gòu)不良問題的上述五個(gè)特征，對數(shù)列結(jié)構(gòu)不良的多選題進(jìn)行分類命制與探析，請同仁們斧正.

一、問題條件部分缺失或冗余

對于條件部分缺失的問題，需要學(xué)生結(jié)合題意選擇或創(chuàng)設(shè)問題的條件，從而達(dá)到問題的目標(biāo)狀態(tài)，因此其答案通常具備多樣性和規(guī)律性.而條件冗余的問題通常表現(xiàn)為初始信息過多，需要根據(jù)目標(biāo)狀態(tài)利用相關(guān)信息，對條件判斷與篩選，進(jìn)行合理搭配，進(jìn)而解決問題.

例1 已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前4項(xiàng)和為a1+14，若要使a2,a3+1,a4成等差數(shù)列，則需添加的條件可能是( ).

例2 已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+4，為求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an，下列條件多余的是( ).

A.a1=1 B.an+1+2=3(an+2)

C.an+1+3an-1=4anD.an+1-an=2×3n

剖析：由已知得數(shù)列{an}僅滿足一個(gè)遞推關(guān)系，還需加一個(gè)條件來確定該數(shù)列，若a1=1，則可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an，因而A選項(xiàng)不多余；由an+1=3an+4可得an+1+2=3(an+2)，說明B選項(xiàng)多余；由an+1=3an+4，可得an=3an-1+4，兩式相減得an+1-an=3an-3an-1，即an+1+3an-1=4an，說明C選項(xiàng)多余；令bn=an+1-an，則bn=3bn-1(n≥2)，故{bn}是以b1=a2-a1=6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以bn=6×3n-1=2×3n，說明D選項(xiàng)多余.故選B、C、D.

對這類問題的命制，需要教師具備較強(qiáng)的發(fā)散性思維，從思維的不同方向、不同角度去推理，從問題的側(cè)面或反面去命制問題，體現(xiàn)思維的廣闊性和問題的多樣性.

二、問題目標(biāo)界定不明確

對于目標(biāo)界定不明確的問題，需要學(xué)生從題目中分析諸多現(xiàn)象，提煉有用的數(shù)學(xué)信息，設(shè)計(jì)問題的目標(biāo)，并將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和技能遷移其中，以便解答.

例3 為貫徹生態(tài)文明思想，我市準(zhǔn)備用幾年的時(shí)間把正在使用的1萬輛燃油公交車更換為電力型和混合動力型機(jī)動車，并先在年初投入128輛電力型公交車和400輛混合動力型公交車.并計(jì)劃以后每年電力型公交車點(diǎn)的投入是上一年的1.5倍，而混合動力車的投入每年比上一年多投a輛.若我市準(zhǔn)備在7年內(nèi)讓燃油車全部“下崗”，則a的可能取值是( ).

A.145 B.146 C.147 D.148

剖析：本題中的“7年內(nèi)”是一個(gè)不明確的目標(biāo)，可能是第5年，第6年等等.通過分析，學(xué)生需要提煉出這樣的信息：當(dāng)a取最小整數(shù)時(shí)，該市的燃油車公交車經(jīng)過7年剛好完成了全部更換.其解答如下：

正由于目標(biāo)的不確定，學(xué)生容易感到“前途迷茫”，信心不足，也就更需要強(qiáng)大的心理素質(zhì)和良好的數(shù)學(xué)品質(zhì).因此，命題者要注意問題難度的設(shè)置，建議剛開始時(shí)從真實(shí)的生活情境出發(fā)，著眼于中低難度的問題，等時(shí)機(jī)成熟，再適當(dāng)增加難度.

三、具有多種解決方法、途徑

具有多種解決方法、途徑的結(jié)構(gòu)不良問題，通常與所學(xué)知識無過多關(guān)系，總是沒有固有、統(tǒng)一的解決辦法，更能考驗(yàn)學(xué)生的主動思維.

例4 設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，則下列方法中能推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的是( ).

剖析：選A、B、C，解析略.本題既根植于課本，又高于課本；既與課程標(biāo)準(zhǔn)和教材內(nèi)容緊密聯(lián)系，以教材中的基本問題為依托，又將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為符合學(xué)科邏輯的結(jié)構(gòu)不良問題.

學(xué)生在解題過程中，往往會難以找到連接問題初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)的有效方法，從而沒能關(guān)聯(lián)到有用條件.這就需要學(xué)生合理猜想、大膽的推測，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造一個(gè)“新”的問題解決方案，這種創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)調(diào)動了學(xué)生的主動思維，促進(jìn)了學(xué)生問題解決能力的發(fā)展.

四、具有多種評價(jià)解決方法的標(biāo)準(zhǔn)

此類問題的解決方案通常沒有統(tǒng)一的答案，解決方法顯得靈活且無序，需要命題者應(yīng)用多種評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)加以保障.有效且合理的評價(jià)能促進(jìn)學(xué)生突破思維障礙、超越問題本身，還能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考，培養(yǎng)高階思維.

例5 觀察下列數(shù)表

1

以下解釋正確的是( ).

A.第n(n≥3)行共有n個(gè)數(shù)，各數(shù)排列成公差為1的等差數(shù)列；

B.第n(n≥2)行第1個(gè)數(shù)等于第n-1行最后一個(gè)數(shù)加1；

D.98在第14行第8列.

剖析：選A、B、C.此類問題較多體現(xiàn)在解答題，而以多選題的題型出現(xiàn)的較少.但由于多選題“全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分”這一評價(jià)方式，該類問題也能具備良好的區(qū)分度.

命制此類問題時(shí)，教師首先要根據(jù)考查意圖，在選題時(shí)貼近學(xué)生的知識水平、生活經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生能充分地理解題意，再考慮剔除偏離目標(biāo)的細(xì)枝末節(jié)，保留關(guān)鍵性事實(shí)，對試題進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?

五、涉及的概念、規(guī)則和原理未明確

這類結(jié)構(gòu)不良問題通常是不以考察某一具體知識為主要目的，而是以思維訓(xùn)練的形式呈現(xiàn)，以考查學(xué)生思維的靈活性與開闊性，主要表現(xiàn)在所指向的概念、規(guī)則等不明確，無法利用固定的辦法和途徑去解決，需要學(xué)生嘗試或創(chuàng)造各種方法以達(dá)到目標(biāo).

例6 十三世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，… 該列數(shù)從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是( ).

A.a10=65 B.an+1=an+2-an

C.a1+a3+a5+…+a2019=a2020

上述問題由于現(xiàn)實(shí)情境，沒有直接表述出固定的定理、規(guī)則或常識，只是隱含了關(guān)鍵的解決信息，這需要學(xué)生嘗試或創(chuàng)造各種方法來解決問題.

結(jié)構(gòu)不良問題給學(xué)生提供了更為廣闊的思維空間，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.希望同仁們能重視數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問題的命制，以期更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).值得一提的是，有些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問題可能包含上述多種特征，在區(qū)分其結(jié)構(gòu)類型時(shí)，需要根據(jù)問題最為顯著的特征來判斷，而其解決的方式方法，更應(yīng)具體問題具體分析.