《有序數(shù)對》的教學(xué)思考

廣東韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (512005) 官運(yùn)和

初中的一些教研活動或教學(xué)技能比賽中，經(jīng)常會選擇《有序數(shù)對》這一內(nèi)容，公開發(fā)表有關(guān)《有序數(shù)對》教學(xué)設(shè)計的論文也不少，足以說明《有序數(shù)對》具有豐富素材.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)《有序數(shù)對》的過程中，經(jīng)常出現(xiàn)一些現(xiàn)象：把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)不到位，把握教材不夠全面，知識理解不透，設(shè)定教學(xué)目標(biāo)不準(zhǔn)確，揭示數(shù)學(xué)思想方法不理想，講解“有序”的有效性出現(xiàn)偏差，過度練習(xí)時有發(fā)生，等等.

一、教學(xué)案例

從七年級下學(xué)期《有序數(shù)對》的實際課堂教學(xué)與一些公開發(fā)表的論文介紹的關(guān)于《有序數(shù)對》的教學(xué)設(shè)計來看，不少老師是這樣設(shè)計或者類似這樣設(shè)計：

環(huán)節(jié)一：激趣引新.(1)小林的座位在第一列，你能找到他的座位嗎？(2)小林的座位在第三行，你能找到他的座位嗎？(3)小林的座位在第一列、第三行，你能找到他的座位嗎？(4)你認(rèn)為需要幾個數(shù)據(jù)能確定一個位置？

如圖1，同學(xué)A的座位在第一列、第三行，他的座位記為數(shù)對(1,3)，即規(guī)定列數(shù)寫在前，行數(shù)寫在后，請用數(shù)對表示同學(xué)B、C、D、E的位置.

圖1

環(huán)節(jié)二：探究新知.請座位是(4,3)的同學(xué)舉手，結(jié)果有二個同學(xué)舉手，為什么？因為沒有說前面的4是行數(shù)還是列數(shù).從而強(qiáng)調(diào)有序數(shù)對是有序的二個數(shù).得到定義：我們把這種有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a，b).

環(huán)節(jié)三：知識鞏固.(1)如圖2，實驗樓的位置用有序數(shù)對(1,5)表示，請用有序數(shù)對表示花壇和其它建筑物的位置；(2)如圖3，魚的位置用有序數(shù)對(2,1)表示，請用有序數(shù)對表示其它動物的位置；(3)如圖4，B的位置是(2,1)，請表示五角星的五個端點的位置；(4)如圖5，士的位置用有序數(shù)對(4,1)表示，請用有序數(shù)對表示其它棋子的位置；(5)只有一層的電影院里，若將5排2號記作(5，2)，則4排3號可以表示為( )；(6，7)表示的含義為( ).

圖2

圖3

圖4

圖5

環(huán)節(jié)四：有獎游戲.規(guī)定列數(shù)在前，行數(shù)在后，同時顯示二個同學(xué)的座位號，看誰先站起來.

環(huán)節(jié)五：合作提升.如圖6，小華從A走到B的一條最短路線是：

圖6

A(2,5)→(3,5)→(4,5)→(5,5)→(5,4)→B(5,3).分組討論，寫出小華從A走到B最短的其它路線.總共有幾條？

環(huán)節(jié)六：課堂總結(jié).學(xué)習(xí)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

二、案例分析

以上教學(xué)設(shè)計有以下幾個方面值得思考：

1.學(xué)生的原有認(rèn)知

小學(xué)已學(xué)過“用數(shù)對確定位置”，在具體情境中，學(xué)生能夠在方格紙上用數(shù)對(正整數(shù)對)表示位置，知道數(shù)對與方格紙上點的對應(yīng)關(guān)系.上述教學(xué)設(shè)計中的知識鞏固環(huán)節(jié)的教學(xué)內(nèi)容基本上就是小學(xué)數(shù)學(xué)教材上《位置》的內(nèi)容，另外，小學(xué)數(shù)學(xué)教材上的《位置與方向》是用距離和角度表示位置，是高中極坐標(biāo)的基礎(chǔ).初中的《有序數(shù)對》屬于提高篇，學(xué)習(xí)有序數(shù)對是從小學(xué)中的整數(shù)對拓展到實數(shù)對，是從用數(shù)對確定位置拓展到有序數(shù)對確定更多意義上的量.教學(xué)這一內(nèi)容的時候不可低估學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知能力.

2.有序數(shù)對的理解

3.教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定

本節(jié)是直角坐標(biāo)系的第一小節(jié)，是學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)，為建立直角坐標(biāo)系服務(wù)，但不能僅僅停留在為建立直角坐標(biāo)系服務(wù)，有序數(shù)對表示平面上點的位置與直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示點的位置，是一般與特殊的關(guān)系，因此這里要突出一般性.由上面的知識的理解的分析也知道有序數(shù)對的一般性意義十分廣泛，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的很好素材.教學(xué)實踐中有的教師始終離不開“行與列”、“直角”，就連菱形的網(wǎng)格都不用，固定在長方形網(wǎng)格，甚至是正方形網(wǎng)格.

4.數(shù)學(xué)思想方法的揭示

大家都明白數(shù)學(xué)教學(xué)要突出數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，但在實際教學(xué)中往往是在課堂總結(jié)的時候，歸納出什么什么數(shù)學(xué)思想方法，而不是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗這種數(shù)學(xué)思想方法.在有序數(shù)對教學(xué)的實際課堂中，有的老師在課堂總結(jié)中提到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，但課堂教學(xué)中根本就沒體現(xiàn)出來，學(xué)生體驗不到由數(shù)到形，也體驗不到由形到數(shù)，只是看到老師給出的“數(shù)形結(jié)合”的文字.其實這節(jié)課對“一一對應(yīng)”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“特殊與一般”都可以有很好的體驗和揭示.

5.“有序”的教學(xué)

大家都知道有序數(shù)對的“有序”是教學(xué)重點，但教學(xué)實踐中講解“有序”的有效性往往出現(xiàn)偏差.在觀察到的課堂中與文[1]有相似的教學(xué)設(shè)計：請坐在(3，4)位置上的同學(xué)舉手示意，結(jié)果有兩個人舉手，因為沒有明確規(guī)定是先數(shù)行還是先數(shù)列，從而強(qiáng)調(diào)出“有序”.從表面上看好像沒什么問題，先數(shù)行后數(shù)列不同于先數(shù)列后數(shù)行，說明有序，但要是這樣講解的話，給學(xué)生的感覺是“有序即此(3，4)非彼(3，4)”，明顯不合有序數(shù)對的本意，其實，先數(shù)行還是先數(shù)列是問題中的規(guī)定，而我們往往是在某規(guī)定下再來討論數(shù)學(xué)問題，有序數(shù)對的“有序”的實質(zhì)是(3，4)≠(4，3)，我們要離開3、4的幾行幾列具體含義而抽象出數(shù)學(xué)概念“有序數(shù)對”，因此，講解有序很簡單，規(guī)定先數(shù)列后數(shù)行，(3，4)與(4，3)位置上的同學(xué)不同.另外，如果列是用數(shù)Ⅰ，Ⅱ，…，行是用數(shù)1，2，…來表示，這樣(Ⅱ,3)與(3,Ⅱ)就可以表示同一個位置，這樣的(Ⅱ,3)是數(shù)對，但不是有序數(shù)對.

6.同型練習(xí)題題量的把握

為了加強(qiáng)對有序數(shù)對概念的理解，強(qiáng)化變式訓(xùn)練，是應(yīng)該的，但同型練習(xí)題題量要有一個度，前面介紹的教學(xué)設(shè)計中的練習(xí)，同一題中找4—7個位置的數(shù)對，第1—4道題雖然情景有些變，但情境沒有變，都是“垂直”、“找位置或位置的有序數(shù)對”；文[2]在練習(xí)鞏固、深化提高環(huán)節(jié)中，若(1，3)表示第一列第三排，要求在網(wǎng)格圖中用彩筆把(5，2)、(4，3)、(3，4)、(2，5)、(2，6)、(3，7)、(4，7)、(5，6)、(6，7)、(7，7)、(8，6)、(8，5)、(7，4)、(6，3)共十四個位置的圓形涂上顏色，題量是不是有點多呢，是不是可以省出時間去學(xué)習(xí)或思考別的問題.

7.上述圖6這道題的教學(xué)

求圖6中小華從A走到B的最短路線這道題是一道好題，是培養(yǎng)學(xué)生能力的好題，是這一課時能夠呈現(xiàn)精彩的地方，但是在教學(xué)實際中幾乎沒有看到精彩，也許是前面花時間太多的原因，到這兒沒多少時間了，只能草草收場.作者觀察到有兩種表現(xiàn)：第一、學(xué)生(或小組)先練習(xí)，然后學(xué)生(代表)報告結(jié)果，在同學(xué)們的共同努力下一般是能夠找到答案的，老師給予表揚(yáng).第二、教師講解，講解分類去找的方法，指出長方形關(guān)于對角線對稱，因此只要在對角線一邊去找最短路線.對于分類討論方法，分類標(biāo)準(zhǔn)的制定與方法的實施不是一個簡單的教學(xué)問題，需要長期的具體的教學(xué)與指導(dǎo)，學(xué)生才能掌握.對這題的教學(xué)單是學(xué)生練習(xí)，給出答案是不夠的，教師應(yīng)該講解分類去找的方法，做到不重復(fù)，不遺漏；對于表現(xiàn)二，不能說長方形關(guān)于對角線對稱，軸對稱是數(shù)學(xué)的精確概念，與生活中的俗語有區(qū)別，長方形關(guān)于對角線是不對稱的，只是關(guān)于中心對稱.

數(shù)學(xué)教學(xué)的備課，基礎(chǔ)問題是備兩頭，即備學(xué)生、備教材.備學(xué)生要掌握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，備教材要吃透教材.教學(xué)有法，需認(rèn)真掌握.