兩道不等式問題引發的探究

福建省莆田第五中學 (351100) 陳建英

1.試題呈現

題1 已知x，y,z∈R,且x+y+z=1,求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值.

題2 已知a,b,c為正數，且滿足abc=1,證明：(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

2.探究規律

3.猜測論證

由以上所發現的規律，可得：

4.結論應用

例2(2016年北京大學優秀中學生暑期學堂(綜合營)試題題3)設a,b,c為實數，證明：當(a-b)2≥2c時，對任意實數x都有(x-a)2+(x-b)2≥c.

例4(第21屆全俄中學生數學奧林匹克試題)已知x,y∈R，求證2x4+2y4≥xy(x+y)2.

證明：當n=2,m=4時，由結論1得

例5(《數學教學》2010(6)“數學問題”703)已知a,b,c,d∈R+,且abcd=1，求證a3+b3+c3+d3≥a+b+c+d.

證明：當n=4,m=3時，由結論1得

=x1+x2+x3+x4.

5.教學心得

以上從兩道高考試題出發引導學生進行探究，發現其共性和個性，揭示一般的規律，得到了兩個有用的結論，并應用所得結論解決一系列的試題和數學問題，使學生經歷了在教師引導下的“發現—猜想—論證—結論—應用”的“再創造”過程，感受到數學問題之間的內在聯系，收到了“解兩題，通一片”的效果.以一些典型試題為案例，引導學生進行探究性學習，提出有意義的問題，探究適當的結論或規律，并應用之解決有關問題，這有助于提高學生學習數學的興趣，增強學生學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神，提升創新意識和數學素養.