方程x+lnx=0有關(guān)的變形及應(yīng)用

福建省龍巖第一中學(xué) (364000) 林文柱 福建省龍巖市第一中學(xué)錦山學(xué)校 (364000) 許佳蕾

方程的根因設(shè)而不求，可顯其表達(dá)的豐富，方程的式因本質(zhì)屬性，可顯其隱含的規(guī)律，方程的解因方法不同，可顯其數(shù)學(xué)的美麗.下面對(duì)方程x+lnx=0的形和式作一些探究.

即ln(m+2)=-x(m+1)，由-2-1時(shí)，左邊大于0，右邊小于0，等式不成立.所以m=-1，即x+lnx=0.

例1求證：e-x+xlnx≥x-x2.

解法3：不等式變形得x-1e-x+x+lnx-1≥0，即e-x-lnx+x+lnx-1≥0.設(shè)-x-lnx=t，則x+lnx=-t，代入不等式得et-t-1≥0，令h(t)=et-t-1，則h′(t)=et-1.所以h(t)≥h(0)=0.

類型2方程x2ex+lnx=0的根等價(jià)x+lnx=0的根

解析1：原方程變形得x2ex=-lnx?lnx+x=ln(-lnx)+(-lnx)，令f(x)=x+lnx，則原方程等價(jià)f(x)=f(-lnx)，由函數(shù)f(x)=x+lnx在(0,+∞)上為單調(diào)遞增，所以x=-lnx，即x+lnx=0.

類型3方程2x2e2x+lnx=0的根等價(jià)2x+lnx=0的根.

例3 (2019福建省質(zhì)檢理科試題21)已知函數(shù)f(x)=x(e2x-a).

(1)若y=2x是曲線y=f(x)的切線，求a的值；

(2)若f(x)≥1+x+lnx，求a的取值范圍.

推廣2 若mn>0，則關(guān)于x方程mnx2enx-k+ln(mx)-k=0的根等價(jià)方程nx+ln(mx)=k的根，也等價(jià)方程(m+n)x-ek-nx+ln(mx)=k的根，也等價(jià)方程nek-nx+mln(mx)=mk的根.

例4 已知x0是方程x2ex-2020+lnx-2020=0的一個(gè)根，則e2020-x0+lnx0=.

總之，對(duì)準(zhǔn)求解的目標(biāo)，把數(shù)學(xué)表達(dá)式作適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)變形，讓數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性通過不同的途徑展示其發(fā)生和發(fā)展過程，再歸屬成一般性的規(guī)律，總會(huì)有山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村的體會(huì).