含球面副并聯機構的可調工作空間求解

沙鑫美，呂小祥

（1.三江學院機械與電氣工程學院，江蘇 南京 210012；2.江蘇南京熱電工程設計院，江蘇 南京 210012）

1 引言

近些年來，并聯機器人已經成為裝備制造、能源發展、航天航空等領域必不可少的組成部分[1]，3-PSR并聯機構是一種少自由度的1T2R 并聯機構，該機構具有較好的力學性能，承載能力強，故而研究者眾多。文獻[2]提出了一種新的3自由度3-PRS空間并聯機器人，并對其位置正反解，奇異性和工作空間進行了研究；文獻[3]在理論推導的基礎上，對空間3自由度并聯機器人3-RPS 并聯機構的虛擬樣機進行了運動學分析；文獻[4]在求得3-PRS并聯機構的位置逆解的基礎上，采用轉化求解對象法對其位置正解進行了解析，方法簡單而有效。

在對并聯機構運動學解析的基礎下，工作空間是衡量并聯機構性能的重要指標[5]，文獻[6]用Matlab 軟件對3-PRS 并聯機器人的工作空間進行研究和仿真；文獻[7-10]分別以并聯機構為研究對象，對機構的工作空間進行了分析研究及仿真，并在此基礎上研究了運動副布置、機構結構參數對機構工作空間的影響；文獻[11]使用三維搜索法，基于該機構的結構參數提出了6-3-3并聯機構在給定姿態下工作空間分析的計算機仿真方法，并用工作空間截交面的截面形狀檢驗其內部是否存在空腔。但是上述3-PSR并聯機構的工作空間是有局限性的，故引入的可調工作空間并聯機構，該機構具有可以滿足機構的不同工作環境，具有很大實用價值。在可調機構方面，文獻[12]用復數方法解決了可調機構的構型綜合問題。在構建含球面副可調空間3-PSR并聯機構的基礎上，建立該機構的幾何模型和運動學方程；然后采用Simulink控制函數建立可變參數，引入影響因子λ，用SimMechanics法對具有可調空間的3-PSR并聯機構的工作空間進行分析求解并展開研究，同時結合結構參數對機構空間的影響進行分析，分析研究滑動副的運動范圍對工作空間的體積的影響。

2 3-PSR并聯機構幾何模型

為3-PSR 并聯機構簡圖，如圖1 所示。該機構包括動平臺（上正三角平臺R1R2R3）和靜平臺（下正三角平臺A1A2A3）以及三條完全相同的支鏈：一個移動副（P）、一個球副（S）與一個轉動副（R）依次聯接而成，三支鏈成中心對稱分布。該機構的靜平臺通過移動副Pi與球副Si相連，轉動副Ri通過連桿li與球副Si相連，動平臺與連桿li通過轉動副Ri相連（其中i=1，2，3）。根據機構的幾何特征，故在靜平臺A1A2A3的幾何中心點O處建立固定坐標系為OXYZ，在動平臺R1R2R3的幾何中心點o處建立如圖動坐標系為：oxyz；動坐標系固接在動平臺上，伴隨著動平臺運動，中心點o處坐標值為（xR，yR，zR）。設靜平臺的外接圓直徑為D，動平臺的外接圓直徑為d，連桿li與豎直面的夾角為θi，連桿li與豎直面的夾角為φi，連桿li的長度為l。滑動副的行程為Li（其中，i=1，2，3）。

圖1 3-PSR并聯機構簡圖Fig.1 3-PSR Parallel Mechanis

3 含球面副并聯機構運動學求解

點Ri和Ai關于靜坐標系｛O｝和動坐標系｛o｝的位置矢量分別表示為ORi和oAi，如圖1所示。則有：

其中，三個列向量分別表示動坐標三個坐標方向在定坐標系中對應的方向余弦。故該矩陣為正交矩陣，故得：

靜平臺連接底端Ai中心到對應支鏈的球鉸中心的長度為Li，則有：

根據旋轉矩陣法式（3）～式（4）可得，局部坐標系相對于全局坐標系的三個坐標軸γ，β，α后得到旋轉后各方向余弦矩陣的為：

由式（13）根據3-PSR并聯機構的各結構參數之間的關系計算式，可以求解機構三個驅動桿的運動情況。根據3-PSR并聯機構運動學方程以及動平臺邊長不變原理可得該機構的約束方程：

根據實際的工程應用，機構的球副Si的實際轉角轉動受限。為了避免桿件在轉動過程中發生干涉，則該機構球副的轉角約束條件如下：

該機構滑塊驅動副行程限制約束條件如下：

式中：Li，Limin,Limax—第i個支鏈滑塊Pi的移動距離、最小和最大極限行程。機構的轉動副Ri的轉角在實際轉動中受限，其轉角約束條件如下：

故由式（1）～式（14）以及約束條件式（15）～式（17）共17個方程中，除了已知參數和結構參數外，聯立求解方程組，可求得機構活動平臺的位置參數。該機構滑塊驅動副行程限制約束和連桿的桿長約束對機構的工作空間影響較大，故在分析的過程中以滑桿的移動行程和連桿桿長作為變量。設定滑桿的移動行程和連桿桿長之比為λ。

4 SimMechanics模型構建

利用數學工具Matlab中的SimMechanics模塊對并聯機構系統進行建模，其可為多體動力機械系統及控制系統提供直觀有效的建模分析手段。在Simulink工具箱中建立3-PSR并聯機構多體動力機械系統圖，如圖2所示。

圖2 3-PSR并聯機構多體動力機械系統圖Fig.2 SimMechanics Structure of 3-PSR Parallel Mechanism

根據影響因子的定義，采用PID 控制3-PSR 并聯機構的滑桿的移動行程和連桿桿長之比λ。在Simulink 工具箱中建立機構多體動力參數控制系統，如圖3所示。機構SimMechanics結構框圖，如圖2所示。Env用來設置工作環境；Body Sensor來測量剛體的數據，Scope采集到的數據保存到Workspace中，以供后處理使用。在控制系統中，我們對該機構的影響因子λ實現PID控制，從而達到機構可調工作空間的目的。

圖3 機構多體動力參數控制系統圖Fig.3 Multi-Body Dynamic Parameter Control System Diagram

5 可調工作空間算例分析

根據機構的運動學以及影響因子的分析，機構的位置工作空間，由球副和轉動副轉角限制的兩側邊界，最大、最小桿長限制的上下邊界組成。該機構滑塊驅動副行程限制約束和連桿的桿長約束對機構的工作空間影響較大，故在分析的過程中以影響因子λ作為變量。通過PID控制來實現影響因子λ的調節，這樣即達到了計算工作空間的目的，也實現了可調工作空間的求解，在實際機構的應用中起到了理論和算例的雙重支撐。

假定3-PSR 并聯機構的基本尺寸，靜、動平臺直徑為D=100，d=50，夾角θi的初始值為60°，夾角φi的初始值為0°，連桿的長度li=100，滑動副的初始行程為Li=160（其中長度單位均為mm，i=1，2，3）。3-PSR并聯機構的位置工作空間就是求解該機構動平臺中心點o可達空間的所有點的集合。根據機構SimMechanics的結構框圖可得機構在不同λ值下的工作空間圖。

從圖4～圖7中可得：3-PSR 并聯機構的可調位置工作空間隨著λ的增大，該機構的可達工作空間X，Y，Z向的數值也隨之變大，從中比對可知，機構的可調位置工作空間范圍有限，形狀規整分布均勻；在X和Y向的工作空間呈對稱形式，其工作空間的體積隨著影響因子λ的值的變大而變大，其變化曲線，如圖8所示。

圖4 λ=0.3時3-PSR并聯機構位置工作空間圖Fig.4 Position Workspace of 3-PSR Parallel Mechanism when λ=0.3

圖5 λ=0.4時3-PSR并聯機構位置工作空間圖Fig.5 Position Workspace of 3-PSR Parallel Mechanism when λ=0.4

圖6 λ=0.5時3-PSR并聯機構位置工作空間圖Fig.6 Position Workspace of 3-PSR Parallel Mechanism when λ=0.5

圖7 λ=0.6時3-PSR并聯機構位置工作空間圖Fig.7 Position Workspace of 3-PSR Parallel Mechanism when λ=0.6

圖8 工作空間體積隨影響因子λ變化圖Fig.8 Variation of Workspace Volume with Influence Factor λ

6 結語

主要針對含球面副并聯機構的可調工作空間展開研究。

（1）利用封閉矢量法求解了含球面副并聯機構的運動學方程，綜合考慮運動副約束條件，構建了3-PSR并聯機構多體動力機械系統及控制系統；

（2）以主要影響因素：滑桿的移動行程和連桿桿長之比為λ，PID多體動力控制系統研究分析得到該機構在不同的影響因素λ時的工作空間圖，達到可調工作空間的目的；

（3）結果表明，含球面副并聯機構的位置工作空間形狀規整、內部連貫，內部無明顯連續的空洞；3-PSR并聯機構的可調位置工作空間隨著λ的增大，該機構的可達工作空間X，Y，Z向的數值也隨之變大，從中比對可知，機構的可調位置工作空間范圍有限，形狀規整分布均勻；在X和Y向的工作空間呈對稱形式。

（4）該機構的工作空間體積隨著影響因素λ的增大呈現擬線性的變化過程，對機器人后續應用設計提供了重要依據。