最簡多磁偶極子等效建模方法

金煌煌, 莊志洪, 付夢印, 郭 健, 王宏波

(1.南京理工大學自動化學院, 江蘇 南京 210094;2.南京理工大學電子工程與光電技術學院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

隨著潛艇靜音技術的不斷進步,目前大多數潛艇潛航噪聲已經接近甚至低于海洋背景噪聲水平,單純利用聲吶探測已經不能滿足現代反潛作戰的需求。航空磁探技術具有探測范圍大、執行時間短、不受海洋復雜環境影響等優點,西方認為其是當今提高對潛攻擊最可靠的非聲探測手段。以美軍P-3C、P-8A反潛機為代表,其上均搭載了高精度的磁異常探測裝備,磁異常探測已經成為水下目標探測的重要手段[1-4]。隨著反潛作戰目標環境的日益復雜,如目標類別日趨增多、無人水下航行器(unmanned underwater vehicle,UUV)潛艇模擬器的大量應用,以往應用較為廣泛的基于遠場單磁偶極子模型的磁異常定位方法,由于單磁偶極子模型沒有充分利用潛艇磁異常信號的全部信息,其中包含磁目標磁分布特性、結構特征、運動參數等特征信息量較少,已經不能完全滿足水下目標識別與分類任務的需要。先進的磁異常探測系統應具有從水下潛艇目標探測定位進一步擴展到包括UUV、魚雷、水雷等在內的目標探測和識別能力,甚至包括磁誘餌目標[5-8]。

針對多磁源目標的反演和識別有賴于建立包含目標結構分布信息的高精度磁場模型。對于艦船目標,常用的高精度磁場模型包括等效法模型、均勻磁化的旋轉橢球體陣列模型、均勻磁化的旋轉橢球體與磁偶極子陣列混合模型[9]以及基于三維有限元法的數值模型等[10-13]。在工程應用中,有限元法存在計算量大、空間磁場分布實時獲取困難等問題;而上述其余模型均是基于磁體模擬法的思想,磁體模擬法是用若干具有特定磁矩的磁源所產生的磁場來模擬艦船磁場[14],磁體模擬法也面臨一些問題:① 大型艦船磁場分布數據難以通過現場測量的手段獲取;② 為建立高精度磁場模型,一般通過增加磁源數提升模擬精度,而磁源數的增加同時也帶來了計算機擬合計算量的增加,不利于等效方程的求解[15]。此外,針對磁體模擬法中磁源的磁矩方向、大小、分布的確定問題,目前尚未形成明確有效的方法體系。

本文針對上述磁體模擬法目前存在的問題,開展了不同空間尺度條件下等效磁偶極子個數、分布、磁矩大小方向對測平面上磁場分布等效效果的影響研究,給出了多磁偶極子最簡等效模型建立依據,并以國外某型潛艇模型為例,利用COMSOL多物理場仿真軟件對最簡模型等效效果進行了評估,驗證了最簡模型的有效性。

1 磁體模擬法的理論基礎

從物質的原子結構觀點來看,鐵磁質內電子間因自旋引起的相互作用是非常強烈的,在這種作用下,鐵磁質內部形成了一些微小的自發磁化區域,叫做磁疇。磁疇是指鐵磁體材料在自發磁化的過程中為降低靜磁能而產生分化的方向各異的小型磁化區域。磁疇結構是鐵磁質的基本組成部分[16-17]。

當鐵磁體處于原始退磁中性狀態時,由于鐵磁體內各個磁疇的磁化矢量取在不同的方向上,所以在宏觀上對外不顯示磁性[18-19]。當鐵磁體處于外磁場中時,那些自發磁化方向和外磁場方向成小角度的磁疇其體積隨著外加磁場的增大而擴大并使磁疇的磁化方向進一步轉向外磁場方向。另一些自發磁化方向和外磁場方向成大角度的磁疇其體積則逐漸縮小,這時鐵磁質對外呈現宏觀磁性。當外磁場增大時,上述效應相應增大,直到所有磁疇都沿外磁場排列達到飽和。由于在每個磁疇中各單元磁矩已排列整齊,因此具有很強的宏觀磁性[20-21]。

由上述磁疇理論可知,鐵磁體在磁化空間中的磁感應場分布是由鐵磁體內部一系列磁疇的磁感應場分布疊加形成。磁疇的體積形狀分布與材料的微觀性質密切相關,對微觀結構的磁疇來說,在一定測高范圍內,其磁感應場分布都可以由磁偶極子的磁感應場分布等效。而多個磁疇的疊加磁感應場可用已知磁感應場分布的磁性物體來等效,該方法稱之為磁體模擬法或等效磁源法。對艦船磁感應場來說,常用的磁性目標磁場建模磁體模擬模型有:旋轉橢球體模型、磁偶極子陣列模型、旋轉橢球體與磁偶極子陣列混合模型[22-25]。

2 等效磁偶極子陣列磁矩分布對等效效果的影響

2.1 空間尺度定義

實際工程應用中,磁偶極子陣列模型相較于其他兩種模型在模型計算復雜度上大幅降低,同時在遠距離磁場分布等效時具備較好的等效精度。目前,磁偶極子陣列模型中磁偶極子的個數選擇、磁矩大小和方向的確定以及磁偶極子的分布等對鐵磁體磁場分布等效效果的影響尚無較為系統的研究和成熟的理論。

對鐵磁體磁場分布的等效效果的研究分析是建立在特定的測高平面和鐵磁體的結構尺寸上的,因此本文提出空間尺度的概念,即定義空間尺度α=H/LT,其中H為測平面高度,LT為鐵磁體或磁偶極子陣列的最大結構尺寸。

2.2 多磁偶極子等效模型磁矩方向的選擇

潛艇等艦船目標一般都由高強度合金鋼制成,其外殼屬于鐵磁性物質,在加工和制造過程中,材料內部應力的反復變化、溫度的升降變遷以及局部地磁場的影響,都會引起鐵磁材料內無磁滯磁化的形成,歸結為目標的永久磁場[26]。永久磁場的形成是鐵磁材料的靜態磁化過程,其內部磁疇的磁化主要包含磁疇壁的位移磁化過程和磁疇轉動磁化過程。疇壁位移磁化指的是在外磁場作用下,自發磁化方向接近于外磁場方向的磁疇長大,而自發磁化方向與外磁場方向偏離較大的近鄰疇相應地被壓縮,使疇壁發生位置變化;磁疇轉動磁化過程是鐵磁體在外磁場作用下,其磁疇內所有磁矩一致向著外磁場方向轉動的過程[27]。

因此,在利用多磁偶極子等效模型進行艦船等目標磁場等效時,由磁疇磁化理論可知,其內部絕大多數磁疇最終將趨于和外磁場方向一致,即等效磁偶極子磁矩方向可選取排列一致的磁化方向。

2.3 磁偶極子磁矩大小、分布的最簡等效條件

多磁偶極子最簡等效條件即尋求在特定空間尺度條件下,用最少個數的磁偶極子組合等效目標鐵磁體空間磁場分布。首先考慮兩個磁偶極子等效成單磁偶極子的等效條件。單磁偶極子在空間某測點處產生的磁感應強度B為

(1)

式中:μ為相對磁導率；M為單磁偶極子的磁矩矢量；r為空間測點相對單磁偶極子的相對位置矢量。如圖1所示,使磁偶極子M1、M2在空間某測點處產生的磁感應強度B1和B2疊加后與單磁偶極子M0產生的磁感應強度B0等效,需滿足矢量疊加原理:B0=B1+B2。

圖1 2個磁偶極子與單磁偶極子的等效示意圖

測點處于無限遠時,r1=r2=r0,此時2個磁偶極子與單磁偶極子等效需滿足:

(2)

可得等效條件為M0=M1+M2,即兩個磁偶極子等效成單磁偶極子的磁矩條件為兩個磁偶極子磁矩方向與單磁偶極子保持一致,磁矩大小之和等于單磁偶極子磁矩大小。

兩個磁偶極子磁矩大小的分布決定著等效單磁偶極子的相對位置,在相對大空間尺度條件下研究其影響規律。用一條等高測線上各測點處,兩個磁偶極子疊加磁感應場之和與單磁偶極子磁感應場各分量等效均方誤差對等效效果進行量化評估。假設兩個磁偶極子磁矩大小之比M2/M1=3,分別位于(-1,0,0)和(1,0,0)處,測線坐標為(x,0,z),x∈(-∞,+∞),相對空間尺度取10,則磁感應場三分量的等效效果分別為

(3)

(4)

(5)

等效單磁偶極子位置與磁感應強度等效均方誤差對應關系如圖2所示,磁感應場三分量具有和位置一致的對應關系。且等效單磁偶極子在兩個磁偶極子連線上的位置分布與磁矩大小分布具有同比例關系(磁矩比例為3∶1,等效單磁偶極子位于連線3/4處時其等效誤差趨近于0)。

圖2 等效單磁偶極子位置分布與等效誤差的關系(磁矩比例為3∶1)

為進一步確定兩個磁偶極子磁矩不同比值條件下,等效單磁偶極子位置的分布規律,假設磁矩大小比例從0.1不斷增大到10,獲取等效單磁偶極子位置即等效誤差最小位置,如圖3所示。圖3中擬合曲線為x0=(p-1)/(p+1),其中p=M2/M1,即等效單磁偶極子位置滿足與2個磁偶極子磁矩大小分布同比例關系。

圖3 等效單磁偶極子位置與雙磁偶極子磁矩大小比值的關系

2.4 相同磁矩大小的多磁偶極子對單磁偶極子磁場分布等效一致性

為確定2個磁偶極子在特定空間尺度下具備最簡等效的有效性,分別在不同的空間尺度下,對2個和3個磁偶極子與單磁偶極子的測平面磁場分布等效效果進行計算評估。等效效果用測平面上各測點的磁感應場總場值的平均絕對百分比誤差(mean absolute percentage error, MAPE)來定量評估,將等效一致性(equivalent consistency, EC)定義為EC=1—MAPE。

多個磁偶極子在空間測點處的磁感應強度即為每個磁偶極子在空間測點處的磁感應強度矢量疊加,磁感應強度總場為磁感應強度矢量的模。

(1)2個磁偶極子與單磁偶極子等效一致性

2個磁偶極子磁矩大小分別取單磁偶極子磁矩大小的一半、磁矩方向與單磁偶極子磁矩方向一致,單磁偶極子位于2個磁偶極子分布中心,空間尺度分別取0.5、1、3、4(即測平面高度分別為2個磁偶極子間距的0.5、1、3、4倍)時,2個磁偶極子產生的磁感應場總場分布和單磁偶極子總場分布圖以及等效一致性結果如圖4所示。

圖4 不同空間尺度下兩個磁偶極子與單磁偶極子的磁總場分布

(2)3個磁偶極子與單磁偶極子等效一致性

3個磁偶極子磁矩大小分別取單磁偶極子磁矩大小的1/3、磁矩方向與單磁偶極子磁矩方向一致,單磁偶極子位于3個磁偶極子分布中心,空間尺度分別取0.5、1、3、4時,3個磁偶極子產生的磁感應場總場分布和單磁偶極子總場分布圖如圖5所示,不同空間尺度下2、3個磁偶極子的等效一致性結果對比如表1所示。

圖5 不同空間尺度下3個磁偶極子與單磁偶極子的磁總場分布

表1 不同空間尺度下2、3個磁偶極子與單磁偶極子磁總場等效一致性對比

由上述結果可以得到以下結論:

(1)大空間尺度條件下,多磁偶極子陣列對單磁偶極子磁感應場分布等效時磁矩方向與單磁偶極子磁矩方向一致;

(2)2磁偶極子對單磁偶極子等效時,2磁偶極子磁矩大小之和等于單磁偶極子磁矩大小,且等效單磁偶極子位置分布受2個磁偶極子磁矩大小分布等比影響;

(3)等效磁偶極子數越多等效精度越高,2個磁偶極子已經具備較高的等效一致性,空間尺度大于3后等效一致性差異不大。

進一步對兩個磁偶極子等效一致性的下界進行分析。在滿足上述等效結論的前提下,單磁偶極子磁矩方向取隨機方向,2個磁偶極子大小分布取隨機分布,以等效一致性大于99%為最低等效條件,滿足上述隨機條件的100組仿真結果如圖6所示,結果表明,2個磁偶極子空間磁場分布與單磁偶極子空間磁場分布等效下界為空間尺度不小于3,即在任意等效磁矩大小、方向下,當空間尺度大于3時,2個磁偶極子與單磁偶極子空間磁感應場分布等效一致性均大于99%。

圖6 等效一致性下界分析

更多的仿真結果表明:空間尺度大于等于3的條件下,同樣滿足等效單磁偶極子位置與2個磁偶極子磁矩大小分布同比例,且單磁偶極子的磁矩大小等于2個等效磁偶極子磁矩大小之和的等效關系。

2.5 多磁偶極子陣列最簡等效條件

采用磁體模擬法進行鐵磁體等效時,一般采用大量橢球體或磁偶極子組成的陣列以提高等效精度,由上述仿真結果可知,在相對大空間尺度條件下,較少數量的磁偶極子陣列具備和較多數量的磁偶極子陣列近似的等效一致性,因此需要研究不同空間尺度條件下的多磁偶極子陣列的最簡等效組合,以降低等效磁矩大小及分布的計算復雜度。

以位置均勻分布的8個磁偶極子陣列為研究對象,取測高為該陣列的線長,即空間尺度小于等于1(此時磁偶極子陣列等效的鐵磁體長度大于陣列的線長)。分別對磁矩大小不同分布的兩種典型情況下測平面磁總場分布進行仿真,如圖7所示。

圖7 磁矩大小不同分布的8磁偶極子陣列測平面磁總場分布圖

仿真結果表明,當空間尺度為1時,八磁偶極子陣列模型在測平面上的磁總場分布最多呈現出兩個磁偶極子分布的分辨率。更多的仿真表明,無論磁偶極子陣列所含磁偶極子數多少,其在空間尺度為1條件下的測平面磁感應場分布最多呈現兩個磁偶極子分布的分辨率。即無論線陣上有多少個磁偶極子,在空間尺度約為1進行等效時,由于磁偶極子的相互影響(即上文中論述的當測高大于兩個磁偶極子間距時，其磁場空間分布可等效為單磁偶極子),僅有兩端的磁偶極子有顯著貢獻?？臻g尺度大于3時,進一步簡化為單磁偶極子。而對于空間尺度小于1的測面,這種相互影響較弱,空間尺度越小,呈現的磁偶極子分布數增加。

為進一步明確多磁偶極子陣列最簡等效條件,假設一位置均勻分布的多磁偶極子陣列模型含磁偶極子個數為2N,磁偶極子間距為L,則陣列線長為(2N-1)L,測高H取與線長等值,如圖8所示。

圖8 多磁偶極子陣列示意圖

假設多磁偶極子個數為4,如圖9所示,由于測高H=(4-1)L=3L滿足等效所需的測高條件,進行一次等效成兩個磁偶極子后,兩個磁偶極子間最大可能的間距為3L,故此時測高和間距相等,無法滿足繼續往上等效的條件。同理可知,特定空間尺度條件下的多磁偶極子陣列最簡等效條件,即求多磁偶極子陣列無法滿足繼續下一次等效的條件時,最后一次可等效的磁偶極子陣列所含磁偶極子個數。

圖9 多磁偶極子陣列逐層等效示意圖

由上例可推,當空間尺度為1時,2N個磁偶極子經過M次等效之后,磁偶極子間間距最大可為(2M-1)L,則多磁偶極子陣列最簡等效條件需同時滿足(2N-1)L≥3(2M-1)L和(2N-1)L≤3(2M+1-1)L,M取整可得M=N-2。因此,空間尺度為1時,無論N取多大,其最簡等效模型均為4磁偶極子陣列。

綜上,可知空間尺度較小條件下,多磁偶極子最簡等效條件如下:當空間尺度為1～3時,最簡等效磁偶極子數為4;當空間尺度為1/3～1時,最簡等效磁偶極子數為8,當測高與鐵磁體寬度比值滿足相應關系時同樣依次類推。磁偶極子位置采取均勻分布,大大降低了等效計算的復雜度,磁矩方向與大空間尺度條件下磁偶極子等效磁矩方向一致。

3 COMSOL仿真軟件獲取潛艇磁感應場空間分布

如前所述,磁體模擬法存在的另外一個問題是,大型艦船磁場分布數據難以通過現場測量的手段獲取。針對求解潛艇磁感應場問題,COMSOL Multiphysics AC/DC 模塊以有限元法為基礎,通過求解如下靜磁場基本方程,并利用磁屏蔽特征以及外部對磁化場絕緣建立邊界條件,可以獲取潛艇在已知地磁場背景場條件下的磁感應場空間分布。

在無電流區域,靜磁場的基本方程如下:

(6)

定義磁標勢Vm滿足:

(7)

利用磁感應強度與磁場強度之間的本構關系:

B=μ0μrH

(8)

以及

(9)

可以得到磁標勢Vm的方程

(10)

對于潛艇磁感應場,其背景場為已知地磁場,則需要求解的微分方程為

(11)

式中:Be為背景地磁場。

以國外某型潛艇為研究對象,建立其幾何模型,背景地磁場矢量、外殼厚度、材料相對磁導率盡可能按真實情況給定,潛艇模型及其在不同測平面上的磁總場分布如圖10和圖11所示。

圖10 COMSOL建立的某潛艇模型

圖11 潛艇磁感應場空間分布示意圖

從COMSOL仿真結果可以看出,隨著空間尺度的不斷減小,潛艇磁矩分布特征也逐漸突出,與前述結論一致,表明在越小的空間尺度下需要越多的磁偶極子數進行潛艇磁感應場分布的等效。

4 基于COMSOL潛艇磁感應場分布的多磁偶極子最簡等效模型驗證

特定空間尺度下鐵磁體多磁偶極子最簡等效建模方法主要包括以下步驟:

步驟 1利用大空間尺度測平面的磁感應場數據,求解遠場單磁偶極子模型的磁矩矢量;

步驟 2由測平面高度確定及鐵磁體的尺寸,確定鐵磁體三維(長寬高)空間尺度;

步驟 3依據多磁偶極子最簡等效條件,對確定空間尺度下對應位置均勻分布的最少個數多磁偶極子模型,由測平面的磁感應場數據,求解各個磁偶極子的磁矩大小。

如圖12所示,對于潛艇這種形狀不完全規則的鐵磁體,參照其形狀特征,取其長軸方向上的中心點為原點,其遠場等效磁偶極子位置為(x0,0,0),磁矩矢量M=(Mx,My,Mz),則由式(1),在測平面上獲取兩個以上已知測點坐標的磁感應場矢量值,建立方程組如下,即可采用L-M(levenberg-marquardt)算法對上述4個未知數求解從而獲得單磁偶極子模型的磁矩矢量,本文中利用1stOpt最優化擬合軟件進行參數求解。

圖12 潛艇近遠場磁偶極子模型與測點關系示意圖

(12)

式中:i=1,2,…;ri=(rix,riy,riz)為各測點相對單磁偶極子模型的位置矢量;Bi=(Bix,Biy,Biz)為各測點Qj測得的磁感應強度矢量。由COMSOL潛艇模型求解得到其遠場單磁偶極子磁矩矢量為

M=(1.875 4×106,-6.651 2×104,1.347 2×105)Am2

在空間尺度為1的測平面上獲取該潛艇模型的磁感應強度分布,由于該潛艇另外兩維結構尺寸遠小于測高,故建立最簡4磁偶極子模型如圖12所示,其中各磁偶極子在位置上沿長軸均勻分布,磁矩方向與遠場單磁偶極子模型磁矩方向相同,因此4個磁偶極子磁矩矢量滿足

(13)

只需求解3個獨立未知數,即可獲得空間尺度大于等于1情況下的潛艇最簡多磁偶極子模型。

潛艇在空間尺度為1的測平面上測點Qj(xj,yj,zj)處的磁感應強度矢量為Bj=(Bjx,Bjy,Bjz),則根據磁矢量疊加建立等效方程組如下：

(14)

式中:rij=(rijx,rijy,rijz)為測點Qj相對第i個磁偶極子Dj的相對距離。

為評估此最簡多磁偶極子模型的等效效果,取空間尺度大于等于1的多個測平面數據與模型計算數據進行比較。如圖13所示,分別在空間尺度為1和2時,給出由最簡多磁偶極子模型計算和COMSOL潛艇模型計算得到的測高平面上的總場分布,另由電磁場的唯一性定理可知,求解電磁場的定解問題時,只要滿足給定的控制方程和邊界條件,其解必定唯一[28]。結合最簡多磁偶極子模型在多個空間尺度上的等效一致性如圖14所示?？梢钥闯?空間尺度為1的條件下建立的4磁偶極子最簡模型，具備在空間尺度大于等于1時空間多尺度條件下的高等效一致性,且等效一致性隨著空間尺度的增大而提高,充分滿足電磁場的唯一性定理。

圖13 最簡多磁偶極子模型和COMSOL潛艇模型計算的總場分布圖

圖14 空間多尺度條件下最簡多磁偶極子模型等效一致性

5 結 論

大型艦船的消磁、基于磁場測量的目標識別分類等任務,離不開對目標磁場分布的精確建模,磁體模擬法作為解析等效建模方法一直存在著等效計算量大的問題。本文通過研究不同空間尺度下磁偶極子個數、分布、磁矩大小方向等對等效一致性的影響,系統性地提出了空間多尺度條件下多磁偶極子最簡等效建模方法。利用COMSOL多物理場仿真軟件獲取潛艇空間磁場分布,對建模方法進行了驗證評估,確認了該方法的有效性,為相關研究奠定了理論基礎。