改進的壓縮感知限幅噪聲消除方案

莊 陵, 葉華雙

(1.重慶郵電大學通信與信息工程學院, 重慶 400065; 2.移動通信教育部工程研究中心,重慶 400065; 3.移動通信技術重慶市重點實驗室, 重慶 400065)

0 引 言

由于正交頻分復用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技術共有高傳輸速率、對抗頻率選擇性衰落的魯棒性、高頻譜效率的特點，易于被廣泛用于多種無線通信系統。但OFDM信號的較高峰均功率比(peak to average power ratio, PAPR)很大程度上限制了其使用[1-3]。

通常PAPR抑制技術被劃分為3類:信號失真技術[4-5]、編碼技術[6]及多信號概率類技術[7-8]。編碼技術和多信號概率類技術易帶來較高的系統復雜度及額外冗余。信號失真技術中的限幅技術根據信號幅值預設限幅門限,對信號直接剪切,由于其復雜度低、易操作,被廣泛用于PAPR抑制。限幅雖可有效抑制OFDM信號的PAPR值,但會引入帶外泄露與帶內失真即限幅噪聲[9]。帶外泄露可在發射端通過頻域濾波消除[10],但限幅噪聲無法通過濾波消除,導致系統誤碼率(bit error rate, BER)性能顯著下降。

為消除限幅噪聲,文獻[11-12]利用決策輔助重建方案在接收端迭代消除限幅噪聲,補償了限幅過程系統性能的下降,但迭代過程以及額外引入的快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)和逆FFT(inverse FFT, IFFT),帶來較高計算復雜度。

另外,由于OFDM符號的包絡在時域上服從瑞利分布,較大峰值只出現在少數的采樣點,對少數的采樣點限幅處理,產生噪聲在時域上具有稀疏特性,這種稀疏特性使壓縮感知(compressed sensing, CS)算法在消除限幅噪聲中得到廣泛研究[13-17]。

文獻[13-14]中提出預留空子載波的CS算法,該算法預留空子載波作為CS觀測向量,但會降低數據傳輸速率。文獻[15]提出改進的CS算法,利用導頻信號作為CS的觀測值,但導頻子載波對載波間干擾敏感,且易受信道噪聲干擾,會影響CS算法的重構性能。文獻[16]整體量化限幅和功率放大器產生的非線性失真,利用CS算法恢復總的非線性失真,但是從提高CS算法重構精度的角度來說,引入功率放大器產生的失真會破壞限幅噪聲固有的稀疏特性。文獻[17]選取受信道噪聲影響小的子載波作為可靠觀測值,在接收端利用CS算法對限幅噪聲重構,該算法不需要預留空子載波，所以不會降低數據傳輸速率,但該方法無法避免信道以及多徑效應對限幅噪聲的干擾,仍會破壞限幅噪聲在發射端固有的位置分布特點及幅度特性,影響CS觀測向量選取,使CS算法重構精度降低。

通常研究者都與以上文獻相同,在接收端對限幅噪聲進行重構,但噪聲折疊現象[18]嚴重影響限幅噪聲的重構性能。且傳統利用CS算法重構噪聲,選取壓縮觀測值精度低,需要較多的觀測值才能達到預期的BER性能,這會增加計算復雜度?；谝陨峡剂?本文將在發送端而非接收端對限幅噪聲重構。首先,對限幅噪聲的統計特性進行理論推導;其次,根據推導出的統計特性,在預設的限幅比下估計出限幅噪聲采樣點分布位置,選取被限幅的采樣點作為CS觀測值的儲備池,從而給出改進的CS模型;然后,結合預估計稀疏自適應匹配追蹤(sparsity adaptive matching pursuit, SAMP)算法消除限幅噪聲,并給出所提改進方案的復雜度分析;最后仿真驗證所提方案的有效性。

1 改進的發送端系統模型

1.1 發送端限幅噪聲的統計特性

N維向量表示一個OFDM符號序列,序列中每一個元素首先通過M進制的星座映射,X(k)(0≤k≤N-1)表示第k個子載波攜帶的頻域信息,在過采樣因子為L的情況下得到時間離散OFDM復信號表示為

(1)

X(k)統計獨立且同分布,均值為0,方差可表示為E[|X(k)|2]=E[|x(n)|2]=2σ2,由中心極限定理可得當OFDM系統有較大子載波數目N,則x(n)包絡服從瑞利分布,過采樣下OFDM信號序列的PAPR表示為

(2)

在OFDM系統中常用互補累積函數(complementary cumulative distribution function, CCDF)描述信號的PAPR。因此過采樣下OFDM時域信號幅度大于預設門限值z的概率定義為

CCDF(z)=1-(1-e-z2)LN

(3)

發送端對時域OFDM符號進行過采樣處理,很好地避免了限幅信號經過D/A轉換器峰值再生,限幅信號表示為

(4)

式中:A是限幅閾值;θ是xL(n)的限幅角度限幅比,定義為

(5)

根據限幅信號時域特性,限幅信號可以描述為原始信號與限幅噪聲之和：

(6)

當OFDM系統子載波數目足夠大時,xL(n)的包絡服從瑞利分布,則限幅后信號平均功率可表示為

(7)

限幅信號經由時域進行LN點的傅里葉變換至頻域信號,當過采樣因子大于1,為消除限幅引入的帶外泄露,需要對限幅后的OFDM頻域序列進行濾波處理,濾波后的限幅信號表示為

(8)

式中:C(k)是限幅噪聲的頻域表示。為描述C(k)的統計特性,根據Bussgangs理論,限幅信號可描述為

(9)

式中:dL(n)為過采樣下的限幅噪聲；f為衰減因子,可表示為

(10)

結合式(8)和式(9)推導出濾波后限幅信號為

D(k)=C(k)-(f-1)X(k),0≤k

(11)

(1-e-γ2-f2)E{|X(k)2|}

(12)

(2-2f-e-λ2)E{|X(k)2|}

(13)

當L>1時,上述限幅噪聲第k個子載波對應方差可以表示為

(14)

式中:SD(k)是限幅噪聲每個子載波對應的功率譜,與限幅噪聲的互相關函數互為傅里葉變換。限幅噪聲的互相關函數及自相關函數分別表示為

(15)

(16)

1.2 改進的發送端CS模型

由限幅噪聲的統計特性推導可知,無論在奈奎斯特采樣還是過采樣下,限幅噪聲的方差、平均功率及信號衰減因子均和限幅比有關。因此,當采樣點的包絡超過預設閾值,對該點的幅值限幅處理,可預估計出噪聲的位置,即分布于原始信號出現極大峰值的采樣點附近,將這些限幅后的采樣點作為壓縮感知的輸入,在發送端重構限幅噪聲,改進CS模型如圖1所示。

圖1 改進CS模型

在不考慮濾波對限幅噪聲分布影響的前提下,限幅噪聲可描述為

(17)

由于對OFDM時域序列過采樣處理,使離散信號類似于連續時間信號,故用一系列拋物脈沖描述限幅噪聲,因此式(17)可以改寫為

(18)

式中:fi(·)為第n個子載波處產生的第i個限幅噪聲脈沖;Np為產生脈沖總數,即限幅噪聲的稀疏度,其平均值描述為

(19)

2 CS重構算法

2.1 SAMP算法

發射端確定了限幅噪聲的位置及限幅采樣點數目,可通過選擇矩陣T從限幅噪聲選取部分觀測向量作為CS的待估計信號為

(20)

式中:T的維度為R×LN,由LN×LN單位陣I的R行組成;Φ=TF是M×LN的傳感矩陣,擁有良好的嚴格等距特性;A為傳感矩陣;F是LN×LN傅里葉變換矩陣,記

(21)

算法1 SAMP算法輸入:(1)Mmin×LN的傳感矩陣A=Φ(2)Mmin×1的觀測向量C^(n)=θA,該觀測值選取與預估計的限幅噪聲位置有關,選取范圍為R={n|‖x(n)‖2>λE{x(n)}}(3)步長S輸出:(1)信號稀疏表示系數(2)Mmin×1維殘差rM=^c(n)-θ^MA處理過程:步驟1 初始化r0=c^,Λ0=?,L=S,t=1;步驟2 計算u=abs[ATrt-1],選取u中L個最大值,將這些對應A的列序號j構成列序號集合Sk;步驟3 Zk為Λk∪Sk,At={aj},其中j∈Sk;步驟4 求解c^=θtAt的最小二乘解 θt=argminθt‖c^-θtAt‖=(ATtAt)-1ATtc^;步驟5 從θ^t中選出絕對值最大的L項記為θ^tL,對應的At中L列記為AtL,對應的A列序號記為ΛtL,令F=ΛtL;步驟6 更新殘差rnew=^c-AtL(ATtLAtL)-1ATtL^c;步驟7 當殘差的值為0則停止迭代進入步驟8;如果‖rnew‖2≥‖rt-1‖2,更行步長L=L+S返回至步驟2繼續迭代;若前面兩個條件均不滿足,則令Λt=F,rt=rnew,t=t+1,如果t≤Mmin則停止迭代直接進入步驟8,反之返回至步驟2繼續迭代;步驟8 重構所得θ^在ΛtMmin有非0值,其值即為最后一次迭代的θ^tMmin;步驟9 重構信號為c=θ^tMmin。

發射端恢復出限幅噪聲,去噪OFDM時域限幅序列表示為

(22)

去噪OFDM時域限幅序列通過高斯信道,接收信號y(n)首先通過模數轉換器(D/A),移除循環前綴,經由FFT后得到頻域表達式為

Y(k)=H(k)Xnew(k)+W(k),0≤k≤N-1

(23)

式中:H(k)表示信道頻域響應;W(k)為加性高斯白噪聲;Xnew(k)為去噪OFDM頻域限幅序列。假設信道頻域響已知且精準同步,迫零均衡信道量化可得

H-1(k)Y(k)=Xnew(k)+H-1(k)W(k)

(24)

將式(23)代入式(9)和式(11)推導出X(k)最大似然估計值(maximum likelihood, ML)為

(25)

Mmin=min(Ne-γ2lnN,0.8N)

(26)

2.2 改進方案的復雜度分析

(1)基于CS限幅噪聲觀測值向量的選取。本文對限幅噪聲的位置進行了預先估計,在選取的觀測值向量包含了確定位置的噪聲,其大小記為Mq,Np

(2)執行IFFT/FFT相應的計算復雜度為O(LNlog2LN);

綜上可得基于改進方案的SAMP算法復雜度可表示為O(LNlog2LN+KMqLN)。與傳統的CS算法相比,所提方案選取CS觀測值是來自預估計出位置的限幅采樣點,縮小了可靠觀測值的選取范圍,在較小的Mq下,該方案擁有較低計算復雜度。

3 仿真結果與分析

為驗證改進CS算法對系統性能的提升,本文采用Matlab軟件分別在高斯信道下做3個方面的仿真及分析:① 不同限幅比下,信號PAPR抑制程度及限幅噪聲稀疏特性;② 比較所提改進方案、傳統SAMP算法以及文獻[17]中OMP算法在壓縮觀測值數目不同時對限幅噪聲的重構概率影響;③ 對比3種算法在不同限幅比下的系統BER性能。具體參數如表1所示。

表1 仿真參數

3.1 限幅比與PAPR分析

如圖2所示,分析不同的限幅比對信號PAPR影響,當CCDF(PAPR>PAPR0)=0.1時,r=0.8對應的PAPR值約為4.5 dB,r=1.6對應的PAPR值約為7.5 dB,而原始信號對應PAPR值約為14.3 dB。

圖2 不同限幅比下OFDM信號的PAPR性能分析

由此可見,無論是低限幅比還是高限幅比,限幅操作對信號的PAPR值都有良好抑制效果。由式(19)可知,限幅比越小則引入的非0元素越多,為保證限幅噪聲在時域中具有稀疏性,滿足改進CS算法對限幅噪聲重構條件,也要同時滿足對信號的PAPR充分抑制,因此第3.2節和第3.3節選取限幅比取值范圍為 1.3≤r≤1.6進行仿真。

3.2 3種算法的限幅噪聲重構概率對比

本節選取r=1.4,對比3種算法的限幅噪聲重構概率。如圖3所示,當壓縮觀測值數目為70時,所提改進方案(s=1,5,10)的重構概率分別為0.967、0.959、0.947，SAMP算法(s=1,5,10)的重構概率分別為0.873、0.864、0.795,而文獻[17]所提方案的重構概率僅為0.688。由此可見,所提改進方案在步長s分別為1,5,10時,對應的限幅噪聲重構概率總是好于SAMP(s=1,5,10)算法以及文獻[17]所提算法。文獻[17]中所提算法及SAMP算法為獲得更高的重構概率,需增加CS觀測值,由復雜度分析可知,該方法雖獲得重構概率上的增益,但付出高計算復雜度的代價,而本文在較少的壓縮觀測值下,便可擁有較高的的重構概率,原因有以下兩方面:① 式(20)中用于重構限幅噪聲的觀測值來自于被限幅的采樣點,使落在該采樣點下的限幅噪聲作為CS的的儲備池,縮小了CS觀測值的選取范圍;② 發送端對限幅噪聲重構,避免了信道及多徑效應對限幅噪聲幅值和位置產生干擾。

圖3 不同壓縮觀測值的重構概率

另外,由圖3可知,當s=1時,在相同的觀測值數目下,所提改進方案擁有更高的重構概率,但算法收斂速度慢;當s=10時,所提改進方案提升了算法收斂速度,卻降低重構概率。為兼顧該算法的收斂速度及重構概率,后文選取參數s=5,M=80,用所提改進方案對限幅噪聲重構。

3.3 不同限幅比下3種算法的系統BER對比

由第3.2節可知,在同一限幅比下,相同數目的CS觀測值對限幅噪聲重構,所提改進算法的重構概率最高。為進一步說明所提方案的有效性,本節對比不同限幅比下,SAMP算法、文獻[17]的OMP算法以及本文所提改進方案的BER性能。如圖4所示,在相同限幅比下,所提改進方案的BER性能總是優于SAMP算法及文獻[17]的BER性能。信噪比為14 dB,且發送端限幅比分別為1.4、1.6時,文獻[17]的BER分別為1.8×10-3、5×10-4;SAMP的BER分別為7×10-4、5.1×10-4;本文所提改進方案的BER分別為4×10-4、2×10-4。

圖4 不同的限幅比下算法的BER性能

由此可見,所提方案在對限幅噪聲位置預估計的改進CS算法,可以獲得更優的BER性能。另外,在低限幅比下,盡管限幅操作引入更多的限幅噪聲,所提改進方案依然能自適應限幅噪聲的稀疏性,有效地重構限幅噪聲,提升系統BER性能。

4 總 結

傳統的CS算法利用壓縮觀測值在接收端對限幅噪聲重構,但噪聲折疊現象的存在,降低了限幅噪聲的重構精度,為提升重構概率,需增加壓縮觀測值數目,但付出了較高計算復雜度的代價。

本文針對以上問題提出改進方案。首先,經過限幅噪聲數理統計特性的推導,隨后選取預估計出噪聲位置的采樣點作為CS觀測值,然后發送端對限幅噪聲重構。仿真結果表明所提方案既能夠減少用于重構限幅噪聲的壓縮觀測值數目,降低算法的計算復雜度,又能夠有效重構限幅噪聲,提升系統BER性能。