基于任務的k/n(G)系統艦船備件需求預測

劉海濤, 邵松世, 張志華

(1.海軍工程大學基礎部, 湖北 武漢 430033; 2.海軍工程大學艦船與海洋學院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

艦船備件是確保艦船維修保障活動有效實施、遂行海上任務的重要物質基礎。特別是對于大型艦船,一方面由于艦船海上任務時間長、裝備運行強度高等原因,備件需求涉及的種類多、數量大;另一方面由于海上補給困難,備件需求還受到艦船自身攜行能力、艦上維修條件因素等的影響[1-2]。因此,在深入分析艦船裝備維修特點的基礎上,發展適合于艦船裝備的備件需求預測方法是當前艦船裝備維修保障研究的重要內容之一[3-5]。

k/n(G)系統在艦船裝備結構設計中有廣泛應用,其備件需求預測與資源配置問題受到很多學者關注[6-7]。文獻[8]采用有限源排隊論獲取備件短缺數的概率分布,并通過邊際分析算法確定k/n(G)結構系統的備件數量。文獻[9]針對艦船編隊在航無補給的情況,建立了艦船出航期間設備冗余和外場更換件冗余系統任務成功概率的評估模型,通過瞬時可用度求出了任務成功概率。但上述方法均未考慮定期維修對備件需求的影響。文獻[10]則在定期維修模式下,針對故障件批量送修的大型k/n(G)系統資源配置問題,建立了系統平均備件短缺概率模型,但對于執行海上任務的艦船裝備而言,其難以滿足批量送修對供應鏈的要求。文獻[11-12]通過建立馬爾可夫模型研究維修模式對k/n(G)系統備件需求的影響,指出定期維修與事后維修相結合有助于降低維修成本,但所建立模型以系統穩態可用度為決策依據,不適合于艦船裝備特點。

事實上,維修模式對備件需求有重要影響[13-14]。對于執行海上任務的艦船裝備而言,首先由于備件補給十分困難,海上期間的維修活動主要依賴隨艦攜行的備件,且以換件維修為主;其次為了提高戰備完好性,通常還在出航前的準備階段對裝備進行集中檢修,以保證裝備的良好初始狀態;最后對于k/n(G)系統,當部件故障不影響裝備運行時,通常可以選擇待海上任務結束后對故障件進行集中修理。由此可見,其維修模式表現為事后維修與任務后檢修相結合的特點。

因此,為了更好地描述艦船裝備在這一維修模式下的備件需求,本文針對其特點建立備件需求模型,為了方便理解和簡化計算,進一步給出需求模型的近似計算方法和工程解釋,并對算法有效性進行驗證。

1 基本假設與模型準備

考察由n個相互獨立工作的相同部件組成的k/n(G)系統,即當且僅當正常工作部件不少于k個時,系統正常工作。為了更好地建立備件需求模型,提出如下假設。

假設 1在執行海上任務期間,采取事后維修與任務后檢修相結合的維修模式，即在執行海上任務之前,對艦船裝備進行集中檢修,保證艦船裝備完好狀態。在執行海上任務過程中,采取事后維修方式,即當部件故障不影響系統工作時,不進行維修,系統故障后立即進行維修。在執行海上任務結束后,集中對艦船裝備進行任務后檢修,恢復裝備的正常狀態。

假設 2不考慮事后維修的維修時間。在艦船執行海上任務期間,通常采取換件維修的方式,由于與任務時間相比,換件維修所需時間極少,因此維修時間暫且忽略不計。

假設 3各部件獨立工作,且壽命均服從指數分布E(λ)。指數分布大量存在于艦船裝備中,如印制電路板插件、電子部件、電阻、電容、集成電路等電子類裝備,因此本文針對部件壽命服從指數分布的情況建立備件需求模型,即部件壽命T的概率密度為

(1)

壽命分布函數為

F(t)=1-e-λ t,t≥0

(2)

可靠度函數為

R(t)=1-F(t)=e-λ t,t≥0

(3)

由式(3)可知,k/n(G)系統的可靠度函數為

(4)

假設 4不考慮備件補給。由于海上補給困難,因此假設海上期間系統故障維修所需備件均來自于艦船自身攜帶。

圖1 一個任務期內事后維修與任務后檢修示意圖

2 艦船備件需求的概率分布及特征

在一個海上任務周期[0,T0]內,記備件需求量為隨機變量N,如圖1所示,該需求量包含事后維修和任務后檢修所需備件,但不包含任務前檢修所需備件。顯然,需求量N是一個取非負整數的隨機變量,本節研究N的概率分布及特征。

2.1 N

首先分析故障特點:在周期[0,T0]內,當N

例如,由于N=0表示k/n(G)系統工作到T0時所有部件均未發生故障,因此利用式(3)可知:

P(N=0)=R(T0)…R(T0)=exp(-nλT0)

(5)

類似地,由于N=1表示k/n(G)系統工作到T0時有1個部件發生故障,系統仍正常工作,備件需求發生在任務后檢修時刻,因此

nexp[-(n-1)λT0][1-exp(-λT0)]

(6)

以此類推,由于N=n-k表示k/n(G)系統工作到T0時有n-k個部件發生故障,系統無故障,因此

(7)

綜合式(5)～式(7)可得,當j=0,1,…,n-k時，有

(8)

2.2 n -k+1≤N≤2(n -k)+1時的概率分布

當n-k+1≤N≤2(n-k)+1時,部件故障特點為:①當故障數達到n-k+1時,正常部件個數低于k,因此系統發生故障,需要進行事后維修,維修后所有部件均正常工作;②當故障數再增加n-k個,即故障數達到2(n-k)+1時,由于系統仍有k個部件正常工作,因此不需維修。

由此可見,n-k+1≤N≤2(n-k)+1表示系統在[0,T0]內有且僅有1次故障。根據上述特點,可以利用概率元法[15-16]求出n-k+1≤N≤2(n-k)+1時的概率分布。

例如,由于N=n-k+1表示k/n(G)系統工作到T0時部件故障次數為n-k+1,因此記第n-k+1次部件故障發生時刻為t,則系統在t時刻發生故障,此時需對系統中所有故障部件進行更換,更換后在[t,T0]內不再有部件發生故障。因此，[0,T0]周期內的部件故障情況如圖2所示。

圖2 一個任務期內有n-k+1個部件故障示意圖

接下來求P(N=n-k+1)。首先,在[0,t]內有n-k個部件發生故障的概率為

(9)

然后,在t時刻,由于系統僅有k個部件正常工作,因此利用指數分布的“無記憶性”可知,在[t,t+dt]內有1個部件發生故障的概率為

(10)

最后,在t+dt時刻,由于已經對系統中故障部件進行了更換,即所有部件均正常工作,因此在[t+dt,T0]內無部件發生故障的概率為

P(N(t,T0)=0)=e-nλ(T0-t)

(11)

綜合式(9)～式(11),可得

P(N=n-k+1)=

(12)

以此類推,可以求出當j=1,2,…,n-k時,系統在[0,T0]周期內發生n-k+1+j次故障的概率。

事實上,由于N=n-k+1+j表示系統在[0,t]內有n-k個部件發生故障、在[t,t+dt]內有1個部件發生故障、在[t+dt,T0]內有j個部件發生故障,因此其故障情況如圖3所示。

圖3 一個任務期內有n-k+1+j個部件故障示意圖

由此可見,當j=1,2,…,n-k時,

P(N=n-k+1+j)=

(13)

式中:P(N(t,T0)=j)表示在[t+dt,T0]內有j個部件發生故障的概率。

又因為在t+dt時刻所有部件均正常工作,因此,

(14)

將式(9)、式(10)和式(14)代入式(13),當j=1,2,…,n-k時,整理得

P(N=n-k+1+j)=

(15)

綜合式(12)和式(15),當n-k+1≤N≤2(n-k)+1,j=0,1,2,…,n-k時,備件需求N的概率分布為

P(N=n-k+1+j)=

(16)

2.3 N>2(n -k)+1時的概率分布

當N>2(n-k)+1時,可仿照第2.2節思路求備件需求N的概率分布。但考慮到對于具備冗余設計的k/n(G)系統,一方面隨著技術、工藝和管理水平的提高,系統在一個海上任務期內故障大于1的概率應較小;另一方面從裝備保障實踐來看,在一個海上任務期內同一裝備發生兩次故障的情況確實極少,因此可以將備件需求N>2(n-k)+1的概率進行合并,即

(17)

綜合第2.1～第2.3節可知,在事后維修與任務后檢修相結合的維修模式下,備件需求的概率分布可以由式(8)、式(16)和式(17)共同描述。

2.4 需求分布的特征

利用備件需求的概率分布,可以求出在[0,T0]周期內備件需求的相關數字特征。

(1)備件需求的一、二階矩

在[0,T0]周期內的備件需求的期望為

(18)

方差為

(19)

二階原點矩為

(20)

(2)平均維修間隔時間

記k/n(G)系統的壽命為Ts,系統兩次維修間的間隔時間為隨機變量Y,根據海上任務時間T0可知:

(21)

因此,維修間隔時間的分布函數可表示為

(22)

由此可知,維修間隔時間的期望,即平均維修間隔時間為

E(Y)=E(Y|Ts>T0)P(Ts>T0)+

E(Y|Ts≤T0)P(Ts

(23)

代入式(4),整理可得

(24)

(3)平均維修次數

利用維修平均間隔時間E(Y),可以得到在[0,T0]周期內的平均維修次數為

(25)

(4)一次維修的平均備件需求量

利用平均維修次數RT0和備件需求的期望E(N),可以得到在[0,T0]周期內一次維修平均備件需求量為

(26)

3 艦船備件需求的近似計算方法

由第2節可知,基于事后維修與任務后檢修的備件需求模型可以更加準確地反映k/n(G)系統在一次海上任務期內的備件需求。但由于需求模型較復雜,備件需求的概率分布大多用積分形式表示且計算復雜,不便于理解和使用。為此,本節研究隨艦備件需求的近似計算方法并給出需求模型的工程解釋。

3.1 基本思路

考察某裝艦數為1的伽馬型部件,其壽命TG服從Gamma分布,TG～Gamma(a,b),概率密度函數為

(27)

分布函數為

(28)

首先,對于裝艦數為1的伽馬型部件,由文獻[17-18]可知,部件與其所配置的備件組成冷儲備系統,因此利用Gamma分布的可加性,其備件需求的計算較為容易,滿足快速計算的要求。

其次,Gamma分布具有良好的適應性,即當參數取不同值時可以反映不同分布類型,當a為正整數時,f(x)是愛爾蘭分布;進一步，當a=1時,f(x)是指數分布。

因此近似計算的基本思路是:若通過適當選取伽馬型備件參數a和b的取值,使得其備件需求與基于事后維修和任務后檢修的備件需求近似相同,則可以將伽馬型備件的備件需求近似作為基于事后維修與任務后檢修的備件需求。

3.2 近似計算模型及其工程解釋

由第3.1節基本思路可知,近似計算模型的核心在于如何確定Gamma分布中參數a和b的值,使得伽馬型備件需求與真實需求近似一致。本節首先給出近似計算模型,即參數a和b取值的確定方法,然后分析模型的工程解釋。

(1)近似計算模型

記k/n(G)系統在事后維修與任務后檢修相結合維修模式下的備件需求N的分布列為

P(N=j)=pj,j=0,1,2,…

(29)

N的期望和方差如式(18)和式(19)所示。

另一方面,對于裝艦數為1的伽馬型部件,記其備件需求NG的分布列為

(30)

NG的期望和方差分別表示為

(31)

(32)

顯然,式(29)代表k/n(G)系統在事后維修與任務后檢修相結合條件下的真實備件需求,可以利用第2節所建模型進行計算,但模型較復雜,不便于理解和使用。

而式(31)表示裝艦數為1的伽馬型部件在相同任務時間內的備件需求,且計算簡單。由文獻[18]可知,當j=0,1,2,…時,

(33)

式中:G(j)(T0)表示Gamma分布的j重卷積,即

進一步地,由于當分布列相同時,兩者的一、二階矩也必然相同,因此近似計算模型也可表示為

(34)

參數a和b的取值也可由式(34)確定。

(2)模型的工程解釋

由式(27)可知,當a=1時,Gamma分布退化為指數分布,參數b即為該指數型備件的失效率。容易計算在[0,T0]內的備件平均需求為

E(NE)=bT0

(35)

而在事后維修與任務后檢修相結合的維修模式下,k/n(G)系統在[0,T0]內的備件平均需求E(N)可表示為

(36)

式中:E(NR)為k/n(G)系統在一次維修活動中的平均備件需求量;T0/E(Y)為[0,T0]內的平均維修次數。

由此可見,作為Gamma分布的一個特例,若采用指數型備件進行近似需求計算,則式(34)變為

(37)

觀察式(37)可以發現:一方面,參數b反映指數型備件的失效率;另一方面,在事后維修與任務后檢修相結合的模式下,由于E(Y)表示維修平均間隔時間,E(NR)表示在一次維修活動中的備件需求量,因此E(NR)/E(Y)恰好反映了k/n(G)系統在一個工作周期內的失效率。

因此,式(37)本質上反映了當采用指數型備件作為近似需求時,核心在于利用E(NR)/E(Y)對指數型備件的失效率進行調整,而E(NR)/E(Y)恰好反映了在事后維修與任務后檢修相結合維修模式下的備件失效率。

實際計算發現,采用式(37)進行近似計算具備較高精度,因此作為更一般情形,式(34)表示的近似計算模型是合理的。

需要注意的是,在式(37)中,平均維修間隔時間E(Y)可以利用式(24)直接計算,但第2節給出的E(NR)計算方法較為復雜。為此,接下來給出一種E(NR)的快速估算方法。

根據全概率公式,一次維修的平均備件需求量E(NR)可近似表示為

E(NR)?E(NR|Ts>T0)P(Ts>T0)+

E(NR|Ts≤T0)P(Ts

式中:E(NR|Ts≤T0)=n-k。

由式(4)可知,

(38)

(39)

又因為當j=0,1,2,…,n-k+1時,

(40)

因此,

E(NR|Ts>T0)P(Ts>T0)=

(41)

由此可見,E(NR)可表示為

(1-Rs(T0))(n-k)

(42)

3.3 算法設計

根據第3.2節的近似計算模型,隨艦備件需求近似算法流程如下。

輸入艦船任務時間長度T0,k/n(G)系統參數k和n,備件失效率λ。

輸出備件需求分布列P(N=j)=pj,平均需求量E(N)。

步驟 1根據式(37)設定伽馬型備件參數:即a=1,b=E(NR)/E(Y),其中E(Y)由式(24)確定,E(NR)由式(42)確定。

步驟 2利用式(33)計算伽馬型備件需求分布列:

P{NG=j}=G(j)(T0)-G(j+1)(T0)

步驟 3將伽馬型備件需求分布近似作為備件需求真實分布,即令

P(N=j)=P{NG=j}

步驟 4利用式(18)計算備件需求平均需求量E(N):

4 算法驗證

為驗證近似算法的精度,首先依據工程背景設定備件失效率、任務時間、k/n(G)系統等初始參數。然后,利用第3節近似算法計算備件需求的近似分布及分布特征。接下來,根據第2節建立的備件需求模型計算備件需求的真實分布和分布特征。最后,比較二者的近似程度。具體步驟如下。

步驟 1初始參數設定:依據工程背景,在適當范圍內設定參數λ、T0、k和n的取值。

步驟 2伽馬型備件參數的確定:利用式(37)計算伽馬型備件參數a和b的值。

步驟 3伽馬型備件需求分布及特征的計算:

利用式(33)計算該伽馬型備件需求的分布,記為

利用式(31)計算該伽馬型備件的平均需求量。

步驟 4真實備件需求分布及特征的計算:

利用式(8)、式(16)和式(17),計算備件需求的真實分布,記為

P(N=j)=pj,j=0,1,2,…

利用式(18)計算備件的真實平均需求量。

步驟 5誤差比較:定義需求分布的平均誤差為

(43)

平均備件需求相對誤差為

(44)

例如,取定λ=0.000 1,T0=1 000,k=2,n=4,利用式(37)計算得到a=1,b=3.858 3×10-4。進一步,利用式(31)和式(33)計算得到,伽馬型備件需求分布如表1所示,平均需求量為E(NG)=0.385 8。另一方面,利用式(8)、式(16)～式(18)計算得到備件需求真實分布,如表2所示,平均需求量為E(N)=0.380 6。

表1 伽馬型備件需求分布

表2 伽馬型備件需求真實分布

利用式(43)和式(44)計算得到,需求分布的平均誤差為error1=0.006 6,備件平均需求量的相對誤差為error2=0.013 0,近似分布誤差的整體情況如圖4所示。可以看到,對于上述取定的參數,基于Gamma分布的艦船備件需求近似算法具有良好精度。

圖4 在取定參數下備件需求分布誤差示意圖

接下來,取定k=2,n=4,改變參數λ和T0的取值,計算結果如表3所示。

表3 2/4(G)系統在不同參數下的近似結果(k=2,n=4)

觀察表3,可以發現如下規律。

(1)當λT0較小(≤1)時,需求分布誤差和平均需求誤差均較小,這說明近似算法在λT0≤1具有良好的精度。

(2)整體上隨著λT0的增大,需求分布誤差和平均需求誤差均呈現增大的趨勢。特別當λT0=2時，誤差達到了76.8%,保守起見,當λT0>1時,不應采取近似算法,而使用第2節所建立模型直接計算。

(3)從備件保障實踐來看,通過調研發現:實際中λT0超過1的部件項數極少,僅占5%左右,因此近似算法適用于絕大部分備件需求計算問題。

(4)當λT0不變,如表3中λT0=1時,參數λ和T0的變化不影響備件需求。

綜上所述,為了進一步驗證近似算法的精度,接下來分別針對λT0≤1和參數k、n的典型取值進行計算,結果如表4所示。

表4 k/n(G)系統在不同參數下的計算結果

觀察表4可以看到,當λT0≤1時,備件需求的近似計算方法整體上具有較高的精度,滿足近似計算的需要。

5 結 論

隨著技術水平的進步和管理水平的提高,艦船海上期間的裝備維修保障正逐漸轉變為事后維修與任務后檢修相結合的模式。本文針對這一維修模式特點,通過建立備件需求模型,對常見的k/n(G)系統在一個任務期內的備件需求進行預測,并提出了較簡便的近似計算方法,可以為裝備備件保障提供參考。但模型僅給出了系統故障不超過1次時的備件需求,雖適用于95%以上的備件需求預測問題,但采用需求模型對備件需求直接計算仍較復雜,接下來還需進一步對需求分布進行完善。

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