基于RSAMP算法的OFDM稀疏信道估計

季 策, 王金芝, 李伯群

(1.東北大學計算機科學與工程學院, 遼寧 沈陽 110169; 2.東北大學醫學影像智能計算教育部重點實驗室, 遼寧 沈陽 110169; 3.遼寧科技大學電子與信息工程學院, 遼寧 鞍山 114051)

0 引 言

正交頻分復用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)技術是無線通信系統中普遍應用的重要技術之一,對于OFDM系統而言,相關檢測、解調、均衡等技術都需要精準的信道狀態信息[1](channel state information, CSI)。而對于CSI的獲取,信道估計技術尤為關鍵。因此,信道估計是無線通信系統中主要研究方向之一,信道估計的結果可直接影響整個通信系統性能。傳統的用于解決信道估計問題的方法如最小二乘估計方法和最小均方誤差估計方法[2-3]是事先假定無線信道為密集型而提出的估計方法,沒有考慮到無線信道原有稀疏性,因此信道估計需要借助大量的導頻信號完成。而且,傳統的信道估計方法的性能并不理想。

壓縮感知(compressed sensing, CS)[4-6]的出現,帶來了一項獲取和處理信號的新技術,可以實現對可壓縮的信號以遠小于奈奎斯特速率的方式采樣,最終以較少的采樣值高概率準確地重構出原始信號。目前無線通信系統逐漸寬帶化,大量研究表明無線信道展現出較強的稀疏特性[7],加之CS理論的成熟和完善,其在無線通信領域的應用越發廣泛。通過對比傳統的和基于CS的信道估計方法發現,后者能夠以較少的導頻獲得較好的估計性能。目前應用較廣泛的基于CS的信道估計方法有正交匹配追蹤(orthogonal match pursuit, OMP)算法[8-9]、子空間(subspace pursuit, SP)算法[10-11]、分段正交匹配追蹤(stagewise orthogonal match pursuit, StOMP)算法[12-13]和廣義正交匹配追蹤(generalized orthogonal match pursuit, GOMP)算法[14-15]。上述算法的重構精度較高且易于實現,但是要想利用其進行信道估計必須提前知道信道的稀疏度,然而現實應用中信道的稀疏度均是不可知的,所以上述算法在現實應用的信道估計問題中并不適用。關于稀疏度不可知的問題,在稀疏度自適應匹配追蹤(sparsity adaptive match pursuit, SAMP)算法[16]提出后得到了解決,其不需要提前獲知稀疏度,而是通過步長的方式逐步擴大支撐集來接近真實稀疏度,自適應地完成信號的重構。2018年,文獻[17]提出了一種稀疏度自適應貪婪迭代(sparsity adaptive greedy iterative, SAGI)算法,該算法設計了一種新的稀疏度估計方法,避免了稀疏度的欠估計問題。改進之后的算法不需要提前獲知稀疏度,且相比于SAMP算法提高了重構效果,降低了運行時間。但是由于預測稀疏度和確定迭代方向時步長取值過小,導致運行時間降低的幅度比較小。

針對OFDM系統信道稀疏度未知的情況以及SAGI算法存在的缺點,本文提出了一種基于有限等距性質(restricted isometry property, RIP)的稀疏度預測自適應匹配追蹤(RIP based prediction-sparsity adaptive matching pursuit, RSAMP)算法。首先利用提出的稀疏度過估計判據,降低了稀疏度預測的運行時間、提高了稀疏度預測的準確性;其次對算法觀測矩陣進行了優化處理,通過降低觀測矩陣的相干性提高了算法的重構性能。仿真結果顯示,對于OFDM系統信道估計,本文的RSAMP算法相比于SAMP、SAGI算法有更好的估計性能,且運行速度更快。

1 OFDM系統模型

本文考慮具有N個子載波和P個導頻子載波的OFDM系統,用X表示發送端發送信號,用Y表示接收端接收信號,則Y可以表示為

Y=XH+n=XWh+n

(1)

式中:X=diag(X1,X2,…,XN)是N×N維矩陣;H=[H(1),H(2),…,H(N)]是N×1維向量,為信道頻域的響應值;n=[n(1),n(2),…,n(N)]是N×1維向量,為高斯白噪聲;W是N×L維矩陣,為DFT矩陣的子矩陣,其中L是信道長度。

設S為P×N維的選擇矩陣,利用S從接收信號Y中選擇導頻信號,則導頻信號為

YP=XPWPh+nP

(2)

式中:Yp=SY是P×1維向量;XP=SXST是P×P維矩陣;WP=SW是P×L維矩陣;nP=Sn是P×1維向量。對于接收端而言,Yp,XP,WP均為已知信號,因此向量h的估計等價于稀疏信號的重構,可以利用CS重構算法重構向量h,然后通過式(1)求解出信號頻域響應值H。向量h的估計[18]具體描述為

y=Φh

(3)

式中:y=YP是觀測向量;Φ=XPWP為觀測矩陣。

2 SAGI算法

傳統的SAMP算法通過步長s逐步接近信號稀疏度以完成信號的重構,雖然無須稀疏度先驗消息,但是步長s的選擇會對算法的重構精度和時間帶來較大的影響,若s取值較小,則算法需要進行大量的迭代,進而增加了重構時間;若s取值較大,則導致稀疏度的估計值與真實值之間的差異過大,進而降低了重構精度[19-20]。SAMP算法的主要實現步驟如下。

步驟 1輸入觀測矩陣Φ,測量向量y,步長s。

步驟 2初始化稀疏度r0=y,步長L=s,支撐集T0=?,迭代索引n=1。

步驟 3通過式u=|〈Φ,r〉|計算相關系數,并從u中取出最大的L個值對應的索引存入索引集Fn,并更新候選集Cn=Tn-1∪Fn。

2018年,針對SAMP算法存在的不足,文獻[17]提出了SAGI算法,通過新的稀疏度估計方法可以獲取較精確的初始支撐集和殘差,提高了算法重構的成功率,并適當減少了算法的運行時間,SAGI算法的具體實現步驟如下。

步驟 1輸入觀測矩陣Φ,測量向量y。

步驟 2初始化稀疏度K0=1,索引集F0=?。

步驟 3通過式u=|〈Φ,r〉|計算相關系數,并從u中取出最大的K0個值對應的索引存入索引集F0。

步驟 5在K0-和K0+方向分別迭代,并計算對應的殘差rK0-和rK0+,迭代方向為殘差減小的較快的方向,如果rK0-減小的較快,則s=-1,否則s=1。

步驟 7從u中取出最大的L個值對應的索引存入索引集Fn中,并更新候選集Cn=Tn-1∪Fn。

SAGI算法雖然較SAMP算法在重構效果方面有明顯提升,但由于在預測稀疏度和確定迭代方向時步長取值均為1,導致算法迭代次數并沒有明顯的減少,所以算法運行時間只是小幅度減少。針對該問題,本文提出了一種基于RIP的稀疏度預測方法,該方法可以快速精確地逼近信號的真實稀疏度,同時為了在SAGI算法的基礎上進一步提升算法的重構性能,本文算法對觀測矩陣采取了優化。

3 RSAMP算法

3.1 基于RIP的稀疏度預測

由于文獻[17]中提出的SAGI算法預測的稀疏度存在欠估計問題,因此在完成稀疏度預測后需要確定迭代方向,再利用自適應的方式完成信號的估計。為了更快更準確地預測稀疏度,本文給出了稀疏度過估計的判據。

假定觀測矩陣Φ滿足RIP準則[21],即如果存在一個常數δk∈(0,1),使得對于任意信號x(稀疏度為K),都滿足:

取相關系數u中前K個最大元素的索引得到集合F0。

由于

(4)

則根據RIP準則,有

(5)

(6)

式(5)和式(6)相乘得

(7)

根據矩陣范數的不等式關系可知

(8)

進一步整理得

(9)

由此可得

F0?F

(10)

這與K0≤K是矛盾的,因此判據成立。

證畢

3.2 觀測矩陣的優化處理

SAMP算法和SAGI算法均采用高斯矩陣、伯努利矩陣等隨機矩陣作為觀測矩陣,其中觀測矩陣原子間的相干性會影響其與殘差的匹配,而觀測矩陣與殘差的匹配是否精確會影響算法整體重構性能。由CS理論可知,觀測矩陣原子間的相干性越低,觀測矩陣與殘差的匹配越準確[23]。通過研究發現主成分分析方法可以通過線性變換的方式將一組相干變量轉化成一組不相干變量。因此,本文利用主成分分析的思想對觀測矩陣進行優化,減弱其原子之間的相干性,以進一步提高算法的重構性能。其中相干性表示為

在滿足RIP性質的前提下對觀測矩陣進行如下處理:

設矩陣P為正交矩陣,通過觀測矩陣Φ的正交變換獲得矩陣C,即

C=PΦ

(11)

假設矩陣C滿足μ(C)<μ(Φ),用C觀測原始信號x,得

w=Cx

(12)

即w=Cx等價于y=Φx。

整理得

x=CTw=(PΦ)Tw=

(PΦ)TPy=(ΦTPTP)y=(PTPΦ)Ty

(13)

進一步整理得

y=(PTPΦ)x

(14)

令Z=PTPΦ,當PTP=(ΦΦT)-1時,

Z=(ΦΦT)-1Φ

(15)

綜上,通過上述線性變換將矩陣Φ轉換為低相干性矩陣Z。

3.3 算法實現

本文提出的RSAMP算法的具體實現步驟如下。

步驟 1輸入觀測矩陣Φ,測量向量y,觀測數M。

步驟 3i=i+1,Ki=round[(Kmin+Kmax)/2]。

步驟 4對觀測矩陣Φ做優化處理,得觀測矩陣Z。

步驟 5通過公式u=|〈Z,r〉|計算相關系數,并從u中取出最大的Ki個值對應的索引加入索引集F0。

步驟 7在K-和K+方向分別迭代,并計算對應的殘差rK-和rK+,迭代方向為殘差減小的更快的方向,如果rK-減小的更快,則s=-1,否則s=1。

步驟 9從u中取出最大的K個值對應的索引加入索引集Fn中,并更新候選集Cn=Tn-1∪Fn。

4 仿真實驗和分析

為了驗證RSAMP算法的重構性能,本文在Matlab R2016仿真環境下進行了實驗。主要驗證基于RIP的稀疏度預測方法的有效性、觀測矩陣優化后的低相干性和RSAMP算法信道估計性能的優越性。其中SAMP算法的運行時間和重構精度會因步長s取值的不同而產生差異,本文考慮到時間和精度的折中問題,通過實驗和分析將SAMP算法的步長s取值為5。

4.1 基于RIP的稀疏度預測方法的驗證

仿真1主要驗證本文提出的基于RIP的稀疏度預測方法的可行性,并對比RSAMP與SAMP、SAGI算法的單次運行時間。仿真選取的實驗信號為一維隨機信號,其中信號長度N=256,觀測數M=128,信號稀疏度K的預測范圍為[5,32],在其他參數不變的情況下,令稀疏度K從5變化至32,比較預測稀疏度與真實稀疏度。為避免隨機因素對實驗結果造成影響,仿真1涉及的數據均是運行100次后求得的平均。

通過圖1可以明顯看出,RSAMP算法預測的稀疏度與真實的稀疏度之間的差異非常小,由此可證明基于RIP的稀疏度預測方法是有效的。SAGI算法在稀疏度預測階段由于步長取值為1,所以需要進行多次迭代,加之其預測的稀疏度與真實稀疏度之間的差值較大,在確定迭代方向之后同樣需要迭代多次。而基于RIP的稀疏度預測方法由于動態的增大了步長,所以在信號觀測數M=128時,最多迭代5次即可完成預測。此外RSAMP算法預測的稀疏度與真實的稀疏度之間的差值僅為1,所以在確定迭代方向之后僅需迭代一次即可,進一步減少了算法運行的時間。

圖1 算法預測稀疏度與真實稀疏度間的對比

表1 不同算法的單次運行時間

4.2 觀測矩陣低相干性的驗證

仿真2主要驗證本文優化處理得到的觀測矩陣Z的低相干性,并對比了不同觀測數下相干性比值的改變。仿真選取的實驗信號為一維隨機信號,其中信號長度N=256,稀疏度K=10,信號觀測數M的取值范圍為[40,210],在其他參數不變的情況下,令觀測數M從40變化至210,觀察相干性比值的變化。為避免隨機因素對實驗結果造成影響,仿真2涉及的數據均是運行100次后求得的平均值。

仿真2采用相干性比值來衡量矩陣Z的低相干性。本文相干性比值的定義為

(16)

通過圖2可得知相干性比值μ>1,即μ(Z)<μ(Φ),由此可以說明優化處理后獲得的矩陣Z的相干性低于矩陣Φ的相干性,而且隨著觀測數M的增大,矩陣Z的低相干性更加明顯。

圖2 不同觀測數下相干比值的變化

4.3 基于RSAMP算法信道估計性能驗證

仿真3主要驗證本文提出的RSAMP算法的信道估計性能,將其與SAMP、SAGI算法進行對比,同時為了檢驗優化觀測矩陣的有效性,在仿真3中也對比了未優化觀測矩陣的RSAMP算法(簡稱為URSAMP)。在OFDM系統中,采用16QAM映射方式,信道長度L=100,子載波數N=512,非零抽頭個數為6,系統參數在一個OFDM符號周期內不發生改變。為避免隨機因素對實驗結果造成影響,仿真3涉及的數據均是運行1 000次后求得的平均值。具體系統仿真設置參數如表2所示。

表2 系統仿真參數

仿真3采用均方誤差(mean square error, MSE)、誤碼率(bit error rate, BER)和運行時間來衡量算法信道估計的性能[24]。

(1)MSE性能分析

本文MSE的定義為

(17)

對于OFDM系統而言, MSE值越小,信道估計誤差就越小。信噪比越小表示信號受到的干擾越大,當信噪比相同時,算法的MSE值越小表示算法的抗干擾能力越好。通過圖3可以明顯看到,隨著信噪比的增大,SAMP、SAGI、RSAMP算法的MSE值均開始減小,但本文提出的RSAMP算法相比其他兩種算法具有更小的MSE值,而且隨著信噪比的增大優勢更加明顯。

圖3 不同信噪比下MSE性能對比

(2)BER性能分析

對于OFDM系統而言,BER值越低,信道估計就越準確。在信噪比較小時,信道受到噪聲的影響較大,導致各算法BER值間的差異較小。通過圖4可以明顯看到,隨著信噪比的增大,噪聲的影響逐步減弱,SAMP、SAGI、RSAMP算法的BER值均開始減小,但本文提出的RSAMP算法相比其他兩種算法具有更小的BER值,而且隨著信噪比的增大優勢更加明顯。

圖4 不同信噪比下BER性能對比

通過圖3和圖4可以看出RSAMP算法的MSE值、BER值均低于URSAMP算法,即優化觀測矩陣提高了算法的信道估計性能,驗證了優化處理的有效性。URSAMP算法相較于SAGI算法而言,因具有更精確的支撐集和初始殘差,所以信道估計性能略優于SAGI算法。

(3)運行時間分析

對于實際的應用而言,算法信道估計的運行時間也是需要重點考慮的因素。在同等條件下, SAMP、SAGI、RSAMP算法信道估計的運行時間如圖5所示。

圖5 算法信道估計的運行時間

通過圖5可以看出,SAMP、SAGI、RSAMP信道估計的運行時間分別為11.771 5 s、9.515 2 s、4.550 9 s。本文提出的RSAMP算法由于改進了稀疏度預測方法,因此在時間方面具有明顯的優勢。

5 結 論

本文研究了OFDM系統稀疏信道估計問題,針對SAGI算法在時間和性能方面存在的不足,提出了RSAMP算法,該算法通過提出一種基于RIP的稀疏度預測方法以及觀測矩陣的優化處理,不僅縮短了算法的運行時間,還提高了算法的重構性能。此外,本文從MSE、BER和時間方面對比了RSAMP算法與SAMP、SAGI算法信道估計的性能,仿真結果顯示,在相同條件下,RSAMP算法較SAMP、SAGI算法具有更低的MSE值、BER值和運行時間。