一類Picone不等式的最優常數

汪 暉，齊宗會，馬海騰，劉建春，許貴橋

（1.天津師范大學數學科學學院，天津300387；2.天津商業大學寶德學院，天津300384；3.天津財經大學管理可計算建模協同創新中心，天津300222；4.天津天獅學院數理教學部，天津301700）

1 引言和主要結論

對于1≤p≤+∞，全體p冪Lebesgue可積函數f：[a，b]→R構成的空間記為Lp[a，b]，其范數記為‖·‖p.對于r∈N（正整數集），用Wpr表示函數類：

Wpr={f(r-1)在[a，b]上絕對連續，‖f(r)‖p＜+∞}

函數與其導數的范數之間的關系在調和分析和函數逼近論中扮演著重要角色.關于這方面的研究有許多著名不等式，如Landau-Kolmogorov不等式、Gorny不等式、Wirtinger不等式、Picone不等式、Schmidt不等式和Sobolev不等式等，其中Picone不等式是一類非常重要的不等式.最早的Picone不等式出現在1927年[1]：對任意具有r-階連續導數的2T-周期函數f，有

關于Picone不等式的研究主要集中在兩方面：一方面討論某些微分方程的解函數的各階導數范數之間的關系，如：文獻[2]給出了半線性動力學方程的Picone不等式，文獻[3]給出了一類一階非線性動態系統的Picone不等式；另一方面討論Sobolev空間中的函數本身或其導數有零點時各階導數范數之間的關系，這方面的研究與插值逼近誤差估計中的最優常數C（r，s，p，q）的確定是同一問題，這里HΘf是f基于r個插值結點的代數多項式插值，且0≤s≤r.文獻[4]首先對Lagrange插值確定了C（r，s，∞，∞），0≤s＜r.之后，文獻[5]對Hermite插值確定了C（r，s，∞，∞）.注意到文獻[4-5]的證明都是基于繁雜的極值討論，且所得結果都是p=q=∞的情形，文獻[6]討論了基于分段三次Hermite插值的誤差，首次利用計算積分型算子范數的方法確定了C（3，s，1，1）和C（3，s，∞，∞），0≤s≤2.之后，文獻[7]利用計算積分型算子特征值的方法確定了Birkhoff插值基于結點{0，1}的C（r，0，2，2），文獻[8]利用與文獻[7]相同的方法確定了基于等距結點的分段Hermite插值的C（r，0，2，2）.

注意到文獻[7-8]的結果所對應的是精確的Wirtinger不等式，即s=0，本文基于Lagrange插值得到了一類新的精確的Picone不等式，即1≤s≤r-1的情形.本文主要結論如下：

定理設a≤x1＜x2＜…＜xr≤b，則對任給的滿足條件f（x1）=f（x2）=…=f（xr）=0的函數f∈Wqr[a，b]，有精確不等式

2 定理的證明

首先介紹與Picone不等式相關的Lagrange插值.若x0，x1，…，xn∈[0，1]且互不相等，那么對于f∈C[0，1]，存在一個次數不高于n的多項式Ln（f，t）（稱為Lagrange插值多項式）滿足插值條件

下面引入關于Lagrange插值的積分型余項表達式.對于0≤i≤n，令

并且定義特征函數χt（s）：

由文獻[9]的式（8）可得

特別地，若f（xi）=0（1≤i≤n），那么取x0=x，則式（5）可變形為

其中

結合式（4）和式（6）可得

對B（x，t）關于x求s階導數，可得

這里當i＜0時，記xi=0，行列式第一行最后的“1”變為“0”.由式（8）可知在[0，1]2上當0≤s≤r-2時連續，當s=r-1時逐段連續，并且f的s階導數為

令H和G為2個Hilbert空間，其范數分別為‖·‖H和‖·‖G.設S：H→G為緊線性算子，則非負自伴算子W=S*S：H→H也是緊的，其中S*表示S的對偶算子.W的特征對序列記為{（λj，ej）}j∈N，即λ1≥λ2≥…≥λj≥…，并且W（ej）=λj ej，則S的范數為

下面考慮積分型算子的算子范數.設K（x，t）為定義在[0，1]2上的逐段連續函數，定義

則對于所有的1≤p、q≤+∞，S均為從Lq[0，1]到Lp[0，1]的緊線性算子.S從Lq[0，1]到Lp[0，1]的算子范數記為‖S‖p，q，則有

另外，由文獻[10]可知

引理設0≤x1＜x2＜…＜xr≤1，則對任給的滿足條件f（x1）=f（x2）=…=f（xr）=0的函數f∈Wqr[0，1]，有精確不等式

其中C（r，s，p，q）是由

給出的算子Ts從Lq[0，1]到Lp[0，1]的范數.另外，C（r，s，p，q）滿足

其中λ1是算子

的最大特征值，這里

證明若f∈Wqr[0，1]滿足f（x1）=f（x2）=…=f（xr）=0，則由式（9）取n=r可得

由式（22）可得

另一方面，對任意的g∈Lq[0，1]，令

其中Lr是基于插值節點x1，x2，…，xr的Lagrange插值多項式.由Lr f的最高次數不超過r-1，容易驗證f(r)=g，f（x1）=f（x2）=…=f（xr）=0，因此式（22）可轉化為

由式（24）可得由式（23）和式（25）可得式（15）成立，另外，結合式（16）和式（12）、式（13）、式（10）分別可得式（17）、式（18）、式（19）.引理證畢.

定理的證明對于f∈Wqr[a，b]，令g（t）=f（a+（b-a）t），則g∈Wqr[0，1]，由引理及該變換經計算可得定理結論.

3 定理的算例

下面給出利用式（17）～式（19）計算最優常數的一個算例.

由式（26）可驗證得

先考慮C（3，1，1，1）.當時，由式（17）、式（26）～式（27）直接計算可得

因此

然后考慮C（3，1，∞，∞）.當時，由式（18）、式（26）～式（27）直接計算可得

因此

下面考慮C（3，1，2，2）.由式（19）和式（27）可得

類似可得

由式（33）可知僅需計算K1（*x，t）在上的值.由式（26）和式（21）計算可得

設g為由式（20）給出的算子W1的正特征值λ所對應的特征向量，即λg（x）=W（1g，x）.當時，結合式（34）及關系式

計算可得

在式（35）中令x=0，可得

對式（35）兩端求一階導數，并令x=0，可得

對式（35）兩端求四階導數可得

由式（39）容易驗證此時g（x）仍然滿足式（38），并且有

對式（41）求一階導數可得

將式（36）～式（37）和式（40）分別代入式（41）～式（42），經化簡得到如下含有4個未知數cj（j=1、2、3、4）的線性方程組

方程組（43）對應的系數行列式滿足

使用Mathematica軟件計算得μ1≈4.73，并且有λ1=μ1-2.結合式（17）可得C（3，1，2，2）≈0.211.

以下考慮s=2的情形.由式（8）可得

由式（44）可驗證得

先考慮C（3，2，1，1）.當時，由式（17）、式（44）～式（45）計算可得

結合式（17）和式（46）可得

然后考慮C（3，2，∞，∞）.當時，由式（18）、式（44）～式（45）計算可得

結合式（18）和式（48）可得

下面考慮C（3，2，2，2）.由式（19）和式（45）可得

類似可得

由式（51）可知僅需計算K2*（x，t）在上的值.由式（44）和式（21）計算可得

設g為由式（20）給出的算子W2的正特征值λ所對應的特征向量，即λg（x）=W2（g，x）.當時，由式（52）并利用max{a，b}和min{a，b}關于a、b的表達式計算可得

在式（53）中令x=0，可得

對式（53）兩端求三階導數可得

由式（56）容易驗證此時g（x）仍然滿足式（55），并且有

對式（58）求二階導數可得

取x=0，再結合式（54）、式（58）、式（59）和式（53）可得

將式（54）和式（57）分別代入式（58），并計算式（60），經化簡得到如下含有3個未知數cj（j=1、2、3）的線性方程組

其中：

方程組（61）對應的系數行列式滿足

由上式可得μ1=π，因此λ1=π-2.結合式（19）可得C（3，2，2，2）=π-1.