關于算術序列中素數的Dirichlet定理的某些注記

劉寶慶，錢 錕，李國全

（天津師范大學數學科學學院，天津300387）

1 引言及主要結論

以N表示全體非負整數的集合，記N+=N{0}.定義P={p∈N：p為素數}.對一個有限集A，以|A|表示其基數.設m、n∈N+，且n≥2，對于x≥1，定義

著名的Dirichlet定理[1]斷言：如果（m，n）=1，則算術序列{m+jn：j∈N+}中含有無限多個素數，即m，n）=+∞.Dirichlet定理的一個精確形式為下面的定理1.

定理1[2]設m、n∈N+，且n≥2.如果（m，n）=1，則有

其中Φ（n）=|{l∈N+：l＜n，（l，n）=1}|.

對于一個集合B?P，定義其相對密度為

由熟知的素數定理，定理1蘊含下面的定理2.

定理2 設m、n∈N+，且n≥2.記B={p∈P：p≡m（modn）}.如果（m，n）=1，則

設Fq為一個含有q個元的有限域.以A=Fq[t]表示Fq上的多項式環，將它的商域Fq（t）記為K.對a、b∈A，且b≠0，定義：當a≠0時，當a=0時，|a|=0.則|·|為K上的一個非阿基米德絕對值.K在|·|下的完備化為

K∞是Fq上關于1/t的形式Laurent級數域.A、K和K∞分別起著與Z、Q和R類似的作用.關于A中的數論及K∞上的分析可參見文獻[3-6].

A與Z有很多相似的數論性質，因此在框架A中考慮上面的問題是自然的.本文的目的是研究定理1和定理2在框架A中的對應結論.

設a、b∈A{0}，且degb≥1，對x≥1，定義

其中Ω={ω∈A：ω為首1不可約的}.關于定理1的對應結果，本文得到如下結論.

定理3 設a、b∈A{0}，且degb≥1，假設（a，b）=1.

（1）記?（b）=|{c∈A：|c|＜|b|，（b，c）=1}|，則

（2）對于1/q≤η≤1，存在數列{xN}，使得

對于S?Ω，定義其相對密度為

關于定理2的對應結果，本文得到如下結論.

定理4 設a、b∈A{0}，且degb≥1.記S={ω∈Ω：

設a∈A{0}，定義a的因子數為

D（a）=|{c∈A{0}：c為首1的，c|a}|

數論中的許多重要問題都涉及因子數估計，具體可參見文獻[4-10].定理3和定理4的結果可用于估計A{0}中元的因子數.

定理5 存在一個僅與q有關的常數M≥1，使得對a∈A{0}，當|a|≥M時，有D（a）≤|a|1/lnln|a|.

推論[4]?ε＞0，存在一個僅與q和ε有關的常數M′≥1，使得對于a∈A{0}，有D（a）≤M′|a|ε.

注上面推論是文獻[4]給出的因子數估計.當|a|充分大時，定理5改進了文獻[4]的結果.

2 主要結論的證明

設a、b∈A{0}，degb≥1，對N∈N+，設定義

引理1[3]設a、b∈A{0}，且degb≥1.如果（a，b）=1，則其中C≥1是一個僅與q和degb有關的常數.

引理2 設a、b∈A{0}，且degb≥1.如果（a，b）=1，則數列{?（b）Nπ（N?，a，b）/N?}是收斂的，具體地，有

證明由引理1可得

因為

為證明引理，只需說明

對j≥1，記由

可得

?1＜λ＜q，注意到，當x≥λ時，x-1≥（1-1/λ）x，所以有

因此

由λ的任意性可得

綜上可知式（1）成立.引理結論得證.

引理3 設a、b∈A{0}，且degb≥1.如果（a，b）=1，則

證明對x≥1，存在唯一的Nx∈N，使得因此，由引理2可得

再由引理2可知引理結論成立.

引理4 設a、b∈A{0}，且degb≥1.如果（a，b）=1，則

證明對x≥1，存在唯一的Nx∈N，使得因此，由引理2可得

對N∈N，記則由引理2可得

綜上可知引理結論成立.

定理3的證明結論（1）是引理3與引理4的直接推論.下面證明結論（2）.

當η=1時，由引理2，取數列為{}即可.當η=1/q時，由引理4的證明可知，數列滿足要求.現在假設1/q＜η＜1.

對N∈N+，定義則由引理2可得定理證畢.

對x≥1，定義π（x）=|{ω∈Ω：|ω|≤x}|.由文獻[3]中關于多項式的素數定理，應用與引理2類似的證明方法可得引理5.

引理5 數列{Nπ（N?）/N?}是收斂的，并且

定理4的證明對x≥1，存在唯一的Nx∈N，使得由引理2和引理5可得

定理證畢.

引理6 存在僅與q有關的常數L≥1，使得當x≥L時，有

證明由定理3和定理4可得

由此可知引理結論成立.

命題?ε＞0，存在僅與q、ε有關的常數T，使得對a∈A{0}，當|a|≥T時，有D（a）≤|a|(1+ε)ln2/lnln|a|.

證明設a∈A{0}，不妨設a是首1的，且|a|≥存在l∈N+，兩兩不同的ω1，…，ωl∈Ω，以及α1，…，αl∈N+，使得定義函數λ（x）：（1，+∞）→R為

引入記號

于是D（a）=D1（a）D2（a）.記

由

可得s（a）≤ln|a|/lnλ（|a|）.注意到1+αj≤2αj，則有

可知αj≤ln|a|/ln 2，再由可得

由引理6，當|a|≥T′時，有

定義函數μ（x）：（T′，+∞）→R為

因此，當|a|≥T時，有

命題證畢.

定理5的證明因為，故存在ε0＞0，使得（1+ε0）ln 2＜1.對ε0應用命題即可.定理證畢.

推論的證明存在僅與q、ε有關的常數M″≥M，使得對一切x≥M″，有.因此，由定理5，當|a|≥M″時，有D（a）≤|a|1/lnln|a|≤|a|ε.另一方面，當|a|≤M″時，有

因此，取M′=qM″即可.