一類非線性高階退化擬拋物方程的有限差分方法

李清純，張繼紅，梁波

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028) *

對于帶有p-雙調和算子的拋物方程的研究有很多，其中文獻[1]提出了當p>2時，如下的退化擬拋物方程：

(1)

本文基于文獻[1]所給出的方程考慮下述退化擬拋物方程問題

(2)

其中p≥2為常數(shù)，k>0為粘性系數(shù)，f(x,t)為關于x,t的二元函數(shù).

在方程(2)中，當p=2時，方程為一個四階拋物型偏微分方程.近年來關于對四階拋物方程解的研究受到許多學者的關注：文獻[2]對一類四階拋物型方程構造兩層含參數(shù)的差分格式，并分析其截斷誤差證明穩(wěn)定性；文獻[3]基于泛函的極小值原理，利用不動點定理證明一類四階拋物型方程的定態(tài)解的存在性；文獻[4]利用有限差分法對帶有非線性項的晶體BCF模型進行數(shù)值計算，得到了較高的精確結果.

當p>2時，方程為帶有p-Laplace算子的退化擬拋物方程.目前關于p-Laplace方程也有不少研究：文獻[5]對具有梯度項的p-Laplace方程對應的逼近方程利用最大模估計以及能量估計等證明了其弱解的存在性；文獻[6]利用集中緊性原理以及相關不等式研究了含Sobolev臨界指數(shù)的p-Laplace方程解的存在性問題.

本文將對退化擬拋物方程(2)分p=2和p=3兩種情況研究其數(shù)值結果.

1 有限差分法

在方程(2)中，不妨假設k=1.

ut-uxxt+(|uxx|p-2uxx)xx=f(x,t)

(3)

接下來對方程(3)中各項方程進行離散.

考慮內(nèi)網(wǎng)點(xk,tn)處，ut|(xk,tn)-uxxt|(xk,tn)+(|uxx|p-2uxx)xx|(xk,tn)=f(xk,tn)

對導數(shù)項ut采用向前差分法：

(4)

對導數(shù)項-uxxt采用中心差分法及向前差分法近似：

(5)

(6)

將得到的方程各項代入方程(3)中合并，有

(7)

(8)

k=2,3,…,N-2，n=0,1,…,M.

本文取xa=a+h,xb=b-h，則初邊值條件為

(9)

那么式(8)、(9)就是式(2)當k=1時的有限差分方程.

2 數(shù)值實驗

下面給出數(shù)值實驗，a=0,b=π,h=π/30.在差分格式(8)中，分別考慮函數(shù)p=2和p=3兩種情況，并結合初邊值條件方程(9)，就具體算例，給出相應的數(shù)值結果.

例1p=2,f(x,t)=2t+sinx，τ=h4，T=0.005，并與方程真實解u(x,t)=t2+sinx進行比較，得到的圖像如圖1所示，其中實線表示真實解，圓圈表示數(shù)值解，圖2為相應的絕對誤差圖.

圖1 p=2數(shù)值解與真實解對比圖 圖2 p=2絕對誤差圖

例2f(x,t)=2sinx-2t2·sign(sinx)·sign(t)+3t2·sign(sinx)·sign(t)sin2x+t|sinx|·|t|sinx，p=3,τ=h4，T=0.005，并與方程真實解u(x,t)=tsinx進行比較，可以得到數(shù)值解與真實解對比圖以及絕對誤差結果，如圖3、4所示.

圖3 p=3時數(shù)值解與真實解對比圖 圖4 p=3絕對誤差圖

從圖中可以看出，利用有限差分法對含有粘性松弛因子和p-雙調和算子的退化擬拋物方程的數(shù)值求解是可行的.p=2時的計算結果非常理想，絕對誤差可以達到10-5，但是p=3時，由于方程非線性項作用增強，方程變得復雜，所得到的數(shù)值結果不太理想.同時兩種情況，當時間T較大時，數(shù)值計算效果都不太好.

3 結論

本文就有限差分法討論了一類非線性高階退化擬拋物方程的數(shù)值結果.首先對方程各項的時間和空間導數(shù)項，尤其是非線性空間導數(shù)項進行了離散化處理，并通過適當?shù)牟罘直平玫搅似湎鄳牟罘址匠?其次選取適當?shù)某踹呏禇l件，利用給出的差分格式，通過Matlab軟件進行了數(shù)值實驗.由于本文所研究方程本身是一個極其復雜的，高階的非線性的偏微分方程，對其進行數(shù)值求解，存在著較大的難度.本文也只是做了一個初步的嘗試，運用最簡便快捷的有限差分法對其進行數(shù)值近似，數(shù)值結果表明了有限差分法的有效性.但是數(shù)值實驗也發(fā)現(xiàn)，當時間延長時，由于所采用的向前差分格式的局限性，不一定能夠保證方法在長時間行為的數(shù)值穩(wěn)定性，同時對時間步長的要求也非常高.這一點需要在今后的研究中進一步進行完善，在保證數(shù)值穩(wěn)定性的前提下，使用盡量簡潔快速的算法是下一步的研究目標.